教师版2013周矶中学专题复习二次函数与直角三角形

2013年中考数学专题复习二次函数与直角三角形例. (二一二年枣庄市本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为点在抛物线的图象上，过点作轴，垂足为，且点横坐标为（1）求证：；（2）求所在直线的函数关系式；ABDCOxy(第25题图)（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由25(本题满分10分) 解：（1） ， 1分为等腰直角三角形，在和中，（AAS）3分（2）C点坐标为，BD=CO=1B点的横坐标为，B点坐标为 4分设所在直线的函数关系式为，则有解之，得BC所在直线的函数关系式为6分（3）存在二次函数解析式为=，对称轴为直线 7分若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使ABDCOxy(第25题图)P1P2 点为直线与对称轴直线的交点由题意，得 解之，得8分若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使，过点作，交对称轴直线于点CD=OA， A（0，2）易求得直线的解析式为，由 得满足条件的点有两个，坐标分别为10分1（2012赤峰）如图，抛物线与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）y=x2bx5，|OC|=5，|OC|：|OA|=5：1，|OA|=1，即A（1，0），（2分）把A（1，0）代入y=x2bx5得（1）2+b5=0，解得b=4，抛物线的解析式为y=x24x5；（4分）（2）点C与点F关于对称轴对称，C（0，5），设F（x0，5），x024x05=5，解得x0=0（舍去），或x0=4，F（4，5），（6分）对称轴为x=2，设直线AF的解析式为y=kx+b，把F（4，5），A（1，0），代入y=kx+b，得，解得，所以，直线FA的解析式为y=x1；（8分）（3）存在（9分）理由如下：当FCP=90时，点P与点E重合，点E是直线y=x1与y轴的交点，E（0，1），P（0，1），（10分）当CF是斜边时，过点C作CPAF于点P（x1，x11），ECF=90，E（0，1），C（0，5），F（4，5），CE=CF，EP=EF，CP=PF，点P在抛物线的对称轴上，（11分）x1=2，把x1=2代入y=x1，得y=3，P（2，3），综上所述，直线AF上存在点P（0，1）或（0，1）使CFP是直角三角形（12分）2如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形（RtOCARtOPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系解答：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，A（0，2），抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（1，0），解得抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，P（6，0），A（0，2），OP=6，OA=2ACAB，OAOP，RtOCARtOPA，OC=，又C点在x轴负半轴上，点C的坐标为C（，0）（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，B（，）如答图所示，过点B作BDx轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6=点M在坐标轴上，且MAB是直角三角形，有以下几种情况：当点M在x轴上，且BMAB，如答图所示设M（m，0），则MD=mBMAB，BDx轴，即，解得m=，此时M点坐标为（，0）；当点M在x轴上，且BMAM，如答图所示设M（m，0），则MD=mBMAM，易知RtAOMRtMDB，即，化简得：m2m+=0，解得：x1=，x2=，此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）当点M在y轴上，且BMAM，如答图所示此时M点坐标为（0，）；当点M在y轴上，且BMAB，如答图所示设M（0，m），则AM=2=，BM=，MM=m易知RtABMRtMBM，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得MAB是直角三角形符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点难点在于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论，不要遗漏3.(2012海南)如图，顶点为P（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON（1）求该二次函数的关系式.（2）若点A的坐标是（6，3），求ANO的面积.（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：证明：ANM=ONMANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.【答案】解：（1）二次函数图象的顶点为P（4，4），设二次函数的关系式为。 又二次函数图象经过原点（0，0），解得。 二次函数的关系式为，即。 （2）设直线OA的解析式为，将A（6，3）代入得，解得。 直线OA的解析式为。 把代入得。M（4，2）。又点M、N关于点P对称，N（4，6），MN=4。 （3）证明：过点A作AH于点H，与x轴交于点D。则 设A（）,则直线OA的解析式为。则M（），N（），H（）。OD=4，ND=，HA=，NH=。ANM=ONM。不能。理由如下：分三种情况讨论：情况1，若ONA是直角，由，得ANM=ONM=450，AHN是等腰直角三角形。HA=NH，即。整理，得，解得。此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使ONA是直角。情况2，若AON是直角，则。 ，。整理，得，解得，。此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使AON是直角。情况3，若NAO是直角，则AMNDMODON，。OD=4，MD=，ND=，。整理，得，解得。此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使ONA是直角。综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，ANO不能成为直角三角形。4（2012湖南衡阳10分）（2012衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式（2）首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；首先表示RF的长，若PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；根据的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180减去这个和值即可判断出RSF的形状解答：解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对称；E是AB的中点，O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）A（2，1）、D（2，1）；由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=1，a=抛物线的解析式为：y=x2（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），则：则：PF=a2+1，PR=a2+1PF=PR由得：RF=；若PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：=a2+1，即：a4a23=0，得：a2=4（舍去），a2=12；a=2，a2=3；存在符合条件的P点，坐标为（2，3）、（2，3）同可证得：QF=QS；在等腰SQF中，1=（180SQF）；同理，在等腰RPF中，2=（180RPF）；QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=1801+2=（360SQFRPF）=90SFR=18012=90，即SFR是直角三角形点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强在解答题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论5（2012广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式考点：二次函数综合题。分析：（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解（2）根据题意求出ACD中AC边上的高，设为h在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标注意：这样的平行线有两条，如答图1所示（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形从而问题得解注意：这样的切线有两条，如答图2所示解答：解：（1）令y=0，即=0，解得x1=4，x2=2，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）（2）SACB=ABOC=9，在RtAOC中，AC=5，设ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D设l1交y轴于E，过C作CFl1于F，则CF=h=，CE=设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，直线AC解析式为y=x+3来源:学.科.网直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，直线l1的解析式为y=x+3=x则D1的纵坐标为（1）=，D1（4，）同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（1，）综上所述，D点坐标为：D1（4，），D2（1，）（3）如答图2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点NA（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3又FE=5，则在RtMEF中，ME=4，sinMFE=，cosMFE=在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3=，FN=MNcosMFE=3=，则ON=，M点坐标为（，）直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3点评：本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用难点在于第（3）问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用6（2012重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，已知RtABC的两条直角边BABC分别在y轴上X轴上，且点B与点O重合，点A(0，3)点C(，)， E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和RtABC在BC的同侧（1）当正方形的顶点F恰好落在边AC上时，求过B.C.F三点的函数解析式；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEF为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，点(2，3)，连接BD，BM，DM，是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；()()（3）在（2）问的平移过程中，设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形。.解答：解：（1）如图，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x，GFBE，AGFABC，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图，过点D作DHBC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2=t22t+8，EFAB，MECABC，即，ME=2t，在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13，过点M作MNDH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2t，DN=DHNH=3（2t）=t+1，在RtDMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（）若DBM=90，则DM2=BM2+BD2，即t2+t+1=（t22t+8）+（t24t+13），解得：t=，（）若BMD=90，则BD2=BM2+DM2，即t24t+13=（t22t+8）+（t2+t+1），解得：t1=3+，t2=3（舍去），t=3+；（）若BDM=90，则BM2=BD2+DM2，即：t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或3+时，BDM是直角三角形；（3）如图，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，CE=，t=BB=BCBEEC=62=，ME=2t，FM=t，当0t时，S=SFMN=tt=t2，当G在AC上时，t=2，EK=ECtanDCB=EC=（4t）=3t，FK=2EK=t1，NL=AD=，FL=t，当t2时，S=SFMNSFKL=t2（t）（t1）=t2+t；如图，当G在CD上时，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC=，EC=4t=BC2=，t=，BN=BC=（6t）=3t，GN=GBBN=t1，当2t时，S=S梯形GNMFSFKL=2（t1+t）（t）（t1）=t2+2t，如图，当t4时，BL=BC=（6t），EK=EC=（4t），BN=BC=（6t）EM=EC=（4t），S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=t+综上所述：当0t时，S=t2，当t2时，S=t2+t；当2t时，S=t2+2t，当t4时，S=t+7（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值考点：二次函数综合题。专题：动点型。分析：（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OCODOA的长，进而确定ACD三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式（2）首先由AB的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分（3）该题的关键点是确定点P的位置，APE的面积最大，那么SAPE=AEh中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点解答：解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；抛物线：y=x2+x+4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直线AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时，2x5（3）SAPE=AEh，当P到直线AB的距离最远时，SABC最大；若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直线L：y=x+；可得点P（，）由（2）得：E（5，），则直线PE：y=x+9；则点F（，0），AF=OA+OF=；PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路8(201山东青岛12分)如图，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t(0t4)s解答下列问题：(1)当t为何值时，PQAB？(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为SPQES五边形PQBCD129？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的