数值分析答案

习题二2-1 已知y=f(x)的数值如下：(1) x0123y2312147(2)x-2-101y154524求Lagrange插值多项式并写出截断误差。解：(1)(2)2-2 已知函数lnx的如下数据x8101214y2.079442.302592.484912.63906试分别用Lagrange线性插值和二次插值计算ln(11.85)的近似值，并估计它的截断误差。解：线性插值公式：当x=11.85时，二次插值： 误差估计：。2-3 设为任意给定的n+1个互不相同的节点，证明：(1) 若f(x)为不高于n次的多项式，则f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。(2) 若是关于这组节点的Lagrange基函数，则有恒等式证明：(1) 因为f(x)是n次多项式，所以它的n+1阶导数为零。故f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。(2) 取，在处进行n次拉格朗日插值，则有由于，故有 。(3) 将按二项式展开，得 ，则 由上题的结论得： 。2-4 已知函数表x0.10.20.40.60.9y0.99500.98010.92110.82530.6216试构造四次Newton插值多项式，计算cos0.47的近似值并估计截断误差。解：自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.10.99500.20.9801-0.1490.40.9211-0.295-0.48670.60.8253-0.479-0.460.05340.90.6216-0.679-0.40.08570.P4(x)=0.9950-0.149(x-0.1)-0.4867(x-0.1)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)+0.(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) (x-0.6)当x=0.47时，P4(x)= 0.8916。2-5 在区间-4,4上给出f(x)=ex在等距节点下的函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问所用函数表的步长应怎样选取？解：在区间xi-1,xi上，记误差则用二次插值的步长应：2-6 对区间a,b作步长为h的剖分，且，证明：在任意相邻两节点间做线性插值，其误差限为。证明：区间上的误差限：误差限：2-7 设,计算差商,及.解：自变量函数值一阶差商1-8862-2975-2089=-2089，。2-8 设在有三阶导数，证明：当证明：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件：xx0x1yf(x0)f(x1)yf(x0)建立差商表：自变量函数值一阶差商二阶差商x0f(x0)x0f(x0)f(x0)x1f(x1)则由newton 插值公式可得：整理得：其中R(x)由以下计算得到：构造辅助函数： 有,三个零点，有,三个零点，则至少有一个零点，记作。则。2-9 用下列函数值表构造不超过3次的插值多项式，并建立误差估计式。x012f(x)129f(x)3解：建立差商表：自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商01121123229741则由newton 插值公式可得：。误差估计式：。2-10 求满足下列条件的Hermite插值多项式xi12yi23yi1-1解： 2-11 求一个不高于4次的插值多项式P4(x)，使得。解：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件：x012P011P01建立差商表：自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0000011111110-1210-1-0.50.25则由newton 插值公式可得：。2-12 根据下表建立三次样条插值函数x123f(x)242f1(x)1-1解：, , 列方程：则三次样条插值函数为： =8-16x+13x2-3x3， 。 =-40+56x-23x2+3x3， 。2-13 已知y=f(x)的如下数值x01234y-8-701956求三次样条插值函数S(x)，满足边界条件(1) S(0)=0，S(4)=48(2) S”(0)=0，S”(4)=24解：用三转角算法计算：(1), , , , , , 列方程组：则三次样条插值函数为：=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。(2) 列方程组：则三次样条插值函数为：=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。用三弯矩算法计算：(1) , , , , , , ，列方程组：(2) 列方程组：第三章 最佳逼近3-1 求下列函数在指定区间上得一次最佳平方逼近多项式并估计平方误差(1) ，解： 设法方程组为：基函数为：，得到：，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：。(2) ，解： 设法方程组为：基函数为：，得到：，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：。(3) ，解： 设法方程组为：基函数为：，得到：，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：。(4) ，解： 设法方程组为：基函数为：，得到：，。于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：。3-2 求，在上的最佳平方逼近多项式，并给出平方误差。解：设法方程组为：基函数为：，得到：，于是法方程组为：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多项式为：。误差估计：由误差估计式：=2.881410-123-3 求参数，使达到极小。解：本题也就是求f(x)=sinx的最佳平方逼近一次多项式。法方程组为：基函数为：，得到：，。于是法方程组为：解之得：，。3-4 已知一组数据如下：xi2468yi2112840用最小二乘法求拟合这组数据的一条直线，并估计平方误差。解：线性拟合：根据基函数给出法方程组，求得 , 法方程组为：解得：c0=-12.5，c1=6.55求得拟合线性多项式函数p1(x)=-12.5+6.55x误差为：先计算出拟合函数值：xi1111P10.600 13.7026.8039.90得到：10.73-5 已知函数值表xi-2-10 12yi01210试用二次多项式拟合这组数据并给出平方误差。解：二次拟合：根据基函数给出法方程组，求得 , 法方程组为：解得：c0=58/35=1.6571，c1=0，c2=-3/7=-0.4286求得拟合线性多项式函数p2(x)=1.6571-0.4286x2误差为：先计算出拟合函数值：xi-2-1012P2-0.05731.22851.65711.2285-0.0573得到：0.22863-6 给出下列数据xi-3-2-124yi14.38.34.78.322.7用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式。解：根据基函数给出法方程组，求得 , 法方程组为：解得：a=3.5，b=1.2。3-7 确定经验公式中的参数，使之与下列数据拟合：xi0.10.20.30.40.50.6yi0.1720.3230.4840.6901.0001.579解： 将经验公式转化为：令 ，则上式转化为：。上表的的数据变为：xi0.10.20.30.40.50.6zi5.8143.0962.0661.4491.0000.633取这时 ，zT =5.814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633,解得：a0=-1.9674，a1=0.9761，a2=0.5034。则 a=1.939，b= -3.908，c=1.987。3-8 在某化学反应里，生成物的质量浓度y(10-3g/cm3)与时间t(min)的关系式为，现测得一组数据如下：xi12346810121416yi4.006.418.018.799.539.8610.3310.4210.5310.61试确定出参数、。解：将经验公式转化为：上表的的数据变为：xi12346810121416zi0.250.1560.1250.1140.1050.1010.09680.0960.0950.094取这时 ，zT =0.25 0.156 0.125 0.114 0.105 0.101 0.0968 0.096 0.095 0.094,解得：= 0.1650，= 0.0789。3-9 用最小二乘法求下列方程组的解 (1) (2) 解：(1) 简化为：两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：具体计算如下： 解得最小二乘解：x1=26/11，x2=15/11(2)简化为：两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：具体计算如下：解得最小二乘解：x=1450/487=2.9774，y=597/487=1.2259第四章 数值积分与数值微分4-1 用四节点复化梯形公式计算积分(1) ， (2) 解：(1) (2) 4-2用四节点复化Simpson公式计算积分 (1) ， (2) 解：(1) (2) 4-3 分别用复化梯形和复化Simpson公式计算积分并使绝对误差限不超过，问需要将区间0, 1多少等分?解：复化梯形：所以区间应该409等分。复化Simpson公式：所以区间应该6等分。4-4 利用积分计算ln2时，若采用复化Simpson公式，问应取多少个节点才能使其误差的绝对值不超过。解： 所以应26等分，节点数为：226+153个。4-5 直接验证Simpson求积公式具有3次代数精确度。证明：当f(x)=1时，等式成立。当 f(x)=x时，等式成立。当 f(x)=x2时，等式成立。当 f(x)=x3时，等式成立。当 f(x)=x4时，等式不成立，所以Simpson求积公式具有3次代数精度。4-6 设函数由下表给出，分别用复化梯形和复化Simpson公式计算积分xi0.60.81.01.21.41.61.8f(xi)5.74.63.53.74.95.25.5解：复化梯形公式：复化Simpson公式：4-7 用两点Guass型求积公式计算积分(1) (2) (3) 解：(1)(2)(3) 4-8 用两点Guass-chebgshev公式计算积分解：4-9 如何用两点Guass型求