数列解答题练习答案

13-14学年度上学期高三理数综合练习 高三理科数学寒假作业数列答案1.在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，即a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，则9m89n92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).2已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以数列an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设数列an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.3.在等比数列an中，a26，a318， (1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由 a26，a318，得公比q3，因此a12，故an23n1.(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn4.已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，111a1，ann1(nN*)5.设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，又S131a3(a3)，故数列Sn3n是首项为a3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，当n1时，a1a不适合上式，故anan1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12n2a30a9.又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，)(二)数列综合问题 （数列与函数、不等式等知识的综合问题）6.在数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(1)证明an2(n2，nN*)，bn.n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内均为减函数结合函数f(x)的图象可得，当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.7将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b24，b510.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a131.求Sn；记Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围解(1)设等差数列bn的公差为d，则解得所以bn2n.(2)设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有135(2n1)n2个数，且321342，a10b48，所以a13a10q38q3，又a131，所以解得q.由已知可得cnbnqn1，因此cn2nn1.所以Snc1c2c3cn，Sn，因此Sn44，解得Sn8.由知cn，不等式(n1)cn，可化为.设f(n)，计算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5).因为f(n1)f(n)，所以当n3时，f(n1)bn对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围解(1)因为aSnSn1(n2)，所以aSn1Sn2(n3)，两式相减得aaSnSn2anan1，所以anan11(n3)又aS2S1，且a11，得aa220，由a20，得a22，所以anan11(n2)所以ann.(2)法一bn(1n)2a(1n)n2(a2)n1a，令g(t)t2(a2)t1a，当1时，g(t)在2，)上为增函数，且g(1)g(2)，所以b1b2b31.法二令bn1bn2n1a20，所以a12n，对任意nN*恒成立，所以a1.故实数a的取值范围是(1，)9.已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：(nN*)解：(1)an12an1(nN*)，an112(an1)，an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an12n.即an2n1(nN*)(2)证明：，k1,2，n，(nN*)10 已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.(1)解由题意，知f(x)axx22.又f(x)max，所以f.所以a21.又当x时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立因为当x时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式0ak成立因为f(x)axx2的对称轴为直线x，所以当x时，f(x)为增函数所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立根据，知对任何nN*，不等式an成立11设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求证：an是首项为1的等比数列；(2)若a21，求证：Sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件证明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.综上，a2对所有nN*成立从而an是首项为1，公比为a2的等比数列(2)当n1或2时，显然Sn(a1an)，等号成立设n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要证的不等式化为：1a2aa(1a)(n3)，即证：1a2aa(1a)(n2)，当a21时，上面不等式的等号成立当1a21时，a1与a1，(r1,2，n1)同为负；当a21时，a1与a1，(r1,2，n1)同为正；因此当a21且a21时，总有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式对r从1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立.12如下图，已知点的横坐标为。从曲线C：上的点作直线平行于x轴，交直线l：于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点，点的横坐标构成数列。（1）求数列的通项公式；（2）当，时，证明；（3