数学分析(华东师大)第九章定积分

第 九 章 定 积 分1 定积分概念 一 问题提出不定积分和定积分是积分学中的两 大基 本问 题 .求不定 积分 是求导 数的 逆 运算 , 定积分则是某种特殊和式的极 限 , 它们 之间 既有区 别又 有联系 .现 在先 从 两个例子来看定积分概念是怎样提出来的 .1 . 曲边梯形的面积 设 f 为闭区 间 a , b 上 的连 续函 数 , 且 f ( x ) 0 . 由曲线 y = f ( x ) , 直线 x = a , x = b 以及 x 轴所 围成 的平 面图 形 ( 图 9 - 1) , 称 为曲边梯形 .下面讨论曲边梯形的面积 ( 这是求任何曲线边界图形面积的基础 ) .图 9 - 1图 9 - 2在初等数学里 , 圆面积是用一系列边 数无 限增多 的内 接 ( 或 外切 ) 正 多边 形 面积的极限来定义的 .现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积 .在区间 a , b 内任取 n - 1 个分点 , 它们依次为a =x0 x1 x2 xn - 1 x n = b,这些点把 a , b 分割成 n 个小区间 xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .再用 直线 x = xi , i = 1 , 2 , n - 1把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形 ( 图 9 - 2 ) .在每个小区间 xi - 1 , xi 上任取一点 i , 作 以 f (i ) 为高 , x i - 1 , xi 为底 的 小矩形 .当分割 a , b 的分点较多 , 又分割得较细密时 , 由于 f 为连续函 数 , 它 在 每个小区间上的值变化不大 , 从而可 用这些 小矩 形的 面积近 似替 代相应 小曲 边1 定积分概念201梯形的面积 .于是 , 这 n 个小矩形 面积 之和 就可 作为 该曲 边梯 形 面积 S 的近 似 值 , 即nS i = 1f (i )xi ( xi =xi -xi - 1 ) .( 1) 注意到 (1 ) 式右边的和式既依赖于对区间 a , b 的分割 , 又与所 有中间点 i ( i = 1 , 2 , , n ) 的 取法 有关 .可 以 想象 , 当 分点 无 限增 多 , 且 对 a , b 无限 细 分 时 , 如果此和式与某一常数无限接近 , 而且与分点 xi 和中间点i 的选取无关 , 则 就把此常数定义作为曲边梯形的面积 S .2 . 变力所作 的 功 设 质 点 受 力 F 的 作 用沿 x 轴由点 a 移动到点 b, 并设 F 处处平行 于 x 轴 ( 图 9 - 3 ) .如 果 F 为 常力 , 则它 对 质点所作的功为 W = F( b - a) .现在的问题是 ,图 9 - 3F 为变力 , 它连续依赖于质点所在位置的坐 标 x , 即 F = F( x) , x a , b 为 一 连续函数 , 此时 F 对质点所作的功 W 又该如何计算 ?由假设 F( x ) 为一 连续 函数 , 故在 很小 的一 段位 移 区间 上 F( x ) 可以 近 似 地看作 一 常 量 .类 似 于 求 曲 边 梯 形 面 积 那 样 , 把 a , b 细 分 为 n 个 小 区 间 xi - 1 , xi , xi = xi - xi - 1 , i = 1 , 2 , , n ; 并在每个小区间上任取一点 i , 就有F( x) F(i ) , x xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .于是 , 质点从 xi - 1 位移到 xi 时 , 力 F 所作的功就近似等于 F(i )xi , 从而nW F(i )xi .( 2)i = 1 同样地 , 对 a , b 作无限细分时 , 若 (2 ) 式右边的和 式与某 一常数无 限接近 ,则就把此常数定义作为变力所作的功 W .上面两个例子 , 一个是计算曲边梯形面积的几何问题 , 另一个是求变力作功 的力学问题 , 它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近 .在科学技术中还有许 多同样类型的数学问题 , 解决这类问 题的思 想方 法概括 说来 就是“分 割 , 近似 求 和 , 取极限”.这就是产生定积分概念的背景 . 二 定积分的定义定义 1 设闭区间 a, b 内有 n - 1 个点 , 依次为a =x0 x1 x2 xn - 1 x n = b,它们把 a , b 分成 n 个小 区间 i = xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .这些分 点或这 些 闭子区间构成对 a , b 的一个分割 , 记为T = x0 , x1 , xn 或 1 ,2 ,n .小区间 i 的长度为 xi = x i - xi - 1 , 并记202第九章 定 积 分称为分割 T 的模 . T = max xi ,1 i n注 由于 xi T , i = 1 , 2 , , n , 因此 T 可 用来 反映 a , b 被 分 割的细密程度 .另外 , 分割 T 一旦给出 , T 就随之而确定 ; 但是 , 具有同 一细 度 T 的分割 T 却有无限多个 .定义 2 设 f 是定义在 a , b 上的 一个 函数 .对于 a , b 的一 个 分割 T =1 , 2 ,n , 任取点 i i , i = 1 , 2 , n , 并作和式ni = 1f (i ) xi .称此和式为函数 f 在 a , b 上的一个积分和 , 也称黎曼和 .显然 , 积分和既与分割 T 有关 , 又与所选取的点集 i 有关 .定义 3 设 f 是定义在 a , b 上的 一个 函数 , J 是一 个确 定的实 数 .若对 任 给的正数 , 总存在某一正数 , 使得对 a , b 的任何分割 T , 以及在其上任意选 取的点集 i , 只要 T , 就有ni = 1f (i )xi - J ,则称函数 f 在区间 a , b 上可积 或黎 曼可 积 ; 数 J 称为 f 在 a , b 上 的 定积 分或黎曼积分 , 记作bJ =f ( x) d x .( 3)a其中 , f 称为被积函数 , x 称为积分变量 , a , b 称为积分 区间 , a、b 分别 称为 这 个定积分的下限和上限 .以上定义 1 至定义 3 是定积分抽象 概念 的完 整叙述 .下 面是 与定积 分概 念 有关的几点补充注释 .注 1 把定积分定 义的 - 说法和 函数极限 的- 说法相 对照 , 便会 发 现两者有相似的陈述方式 , 因此我们也常用极限符号来表达定积分 , 即把它写作J =lim T 0ni = 1bf (i )xi =f ( x )d x .( 4)a然而 , 积 分 和 的 极 限 与 函 数 的 极 限 之 间 其 实 有 着 很 大 的 区 别 : 在 函 数 极 限limx af ( x) 中 , 对每一个极限变量 x 来说 , f ( x ) 的值是唯 一确定 的 ; 而 对于积分 和的极限而言 , 每一个 T并不唯一对应积分和的一个值 .这使得积 分和的极 限 要比通常的函数极限复杂得多 .注 2 可积性是函数的又一分析性质 .稍后 ( 定理 9 .3) 就会知道连续函数是 可积的 , 于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示 :1) 连 续 曲 线y=f ( x) 0 在 a , b 上 形 成 的 曲 边 梯 形 面 积 为1 定积分概念203bS =f ( x ) d x;a2) 在 连 续 变 力F ( x ) 作 用 下 , 质 点 从a 位 移 到 b 所 作 的 功 为 W=bF( x )d x .a注 3 ( 定积 分的几 何意 义 ) 由 上 述 1) 看到 , 对 于 a , b 上 的 连 续 函 数 f , 当 f ( x) 0 , x a , b 时 , 定积 分 (3 ) 的几 何 意义就是该曲边梯形的面积 ; 当 f ( x ) 0 ,bx a , b 时 , 这 时 J = - -f ( x) d xa是位 于 x 轴 下 方 的 曲 边 梯形面积的 相 反图 9 - 4数 , 不妨称之为“ 负面积”; 对于一般非定号的 f ( x ) 而 言 ( 图 9 - 4 ) , 定积 分 J 的 值则是曲线 y = f ( x ) 在 x 轴 上方 部分所 有曲 边梯 形的 正面 积与 下 方部 分所 有 曲边梯形的负面积的代数和 .注 4 定积分作为积分和的极限 , 它的值只与被积函数 f 和积分区间 a, b有关 , 而与积分变量所用的符号无关 , 即bbbf ( x) d x =f ( t ) d t =f () d =.aaa 例 1 求 在 区 间 0 , 1 上 , 以抛 物 线 y = x2 为 曲 边 的 曲 边 三 角 形 的 面 积( 图 9 - 5) . 解 由注 3 , 因 y = x2 在 0 , 1 上连 续 , 故所 求面积为1S = x2 d x =limnii2 x.0 T 0i = 1为求得此极限 , 在定 积 分 存 在的 前 提 下 , 允 许 选 择某种特殊的分割 T 和特殊的点集 i .在此只 需取等分分割 :T = 0 , 1, 2, n - 1 , 1 , T = 1 ;n i - 1nn i - 1 in图 9 - 5并取 i =nn, n, i = 1 , 2 , n .则有2nS = lim i - 1 1= lim 1 n( i - 1) 2n i = 1nnn 3 i = 1n= limn ( n - 1) n (2 n - 1 )16 n3=3 .204第九章 定 积 分习 题1 . 按定积分定义证明:bkd x = k( b - a) .a2 . 通过对 积分区间作等分分割 , 并取适当的点集 i , 把定积分看作是对 应的积分和的 极限 , 来计算下列定积分 :( 1)n1x3 d x; 提示 : i3 = 1 n2 ( n + 1 )20i= 141b( 2)ex d x; (3 )0bex d x;a( 4)d x (0 a 0 , 要 证存 在 0 , 当 T 时 , 有ni = 1f (i ) xi - F( b) -F( a) 0 , 存 在 0 , 当 x、2 牛顿莱布尼茨公式205x a , b 且 | x- x| 时 , 有f ( x) -f ( x) .b -a于是 , 当 xi T 时 , 任取 i xi - 1 , x i , 便有 |i - i | , 这就证得ni = 1f (i ) xi - F( b) -F( a) n= f (i ) -f (i ) xii = 1n i = 1f (i ) -f (i ) xib -a nx= .ii = 1所以 f 在 a , b 上可积 , 且有公式 (1 ) 成立 .注 1 在应用牛顿莱布尼茨公式时 , F( x ) 可由积分法求得 .注 2 定理条件尚可适当减弱 , 例如 :1) 对 F 的要 求可 减 弱为 : 在 a , b 上连 续 , 在 ( a , b) 内 可导 , 且 F( x ) =f ( x) , x ( a , b) .这不影响定理的证明 .2) 对 f 的要 求可 减 弱为 : 在 a, b 上可 积 ( 不 一定 连 续 ) .这 时 ( 2 ) 式 仍 成b立 , 且由 f 在 a , b 上可积 , (2 ) 式右 边当 T 0 时的 极限 就是f ( x ) d x ,a而左边恒为一常数 .( 更一般的情形参见本节习题第 3 题 .)注 3 至5 证得连续函数 必有 原函 数之 后 , 本 定理 的条 件中 对 F 的假 设 便是多余的了 .例 1 利用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分 :b1)2)xn d x( n 为正整数 ) ;abe x d x; 3 )ad x (0 a M + G.xkni = 1f (i ) xif (k )xk- f (i ) xii k M + G xk -G =M .xk由此可见 , 对于无论多小的 T , 按上 述 方法 选取 点集 i 时 , 总 能使 积分 和 的绝对值大于任何预先给出的正数 , 这与 f 在 a, b 上可积相矛盾 .208第九章 定 积 分这个定理指出 , 任何可积函数一 定是 有界的 ; 但要注 意 , 有界 函数却 不一 定 可积 .例 1 证明狄利克雷函数在 0 , 1 上有界但不可积 .D( x) =1 ,x 为有理数 ,0 ,x 为无理数证 显然 | D( x ) | 1 , x 0 , 1 .对于 0 , 1 的任一分割 T , 由有理数和无 理数在 实数中的 稠密性 , 在属 于 Tnn的任一小区间 i 上 , 当取 i 全为有理数时 , D(i ) xi = xi = 1 ; 当 取i = 1ni = 1i 全为无理数时 , D(i ) xi = 0 .所以不论 T 多 么小 , 只要点集 i 取i = 1法不同 ( 全取有理数或全取无理数 ) , 积分和有不同 极限 , 即 D( x) 在 0 , 1 上 不 可积 .由此例可见 , 有界是可积的必要 条件 .所 以在 以后讨 论函 数的可 积性 时 , 总 是首先假设函数是有界的 , 今后不再一一申明 . 二 可积的充要条件要判断一个函数是否可积 , 固然可以根据定义 , 直接考察积分和是否能无限 接近某一常数 , 但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知 , 因此这是极其困难 的 .下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关 , 而不涉及定积分的值 .设 T = i | i = 1 , 2 , , n 为对 a , b 的任一分割 .由 f 在 a , b 上有界 , 它 在每个 i 上存在上、下确界 :Mi = sup f ( x) , mi =inf f ( x ) , i = 1 , 2 , n .x i作和x inS( T ) = i = 1nMi xi , s( T) = i = 1mixi ,分别称为 f 关于 分 割 T 的 上 和 与 下 和 ( 或 称 达 布 上 和 与 达 布 下 和 , 统 称 达 布 和 ) .任给 i i , i = 1 , 2 , n , 显然有ns( T ) i = 1f (i ) xi S ( T) .( 1)与积分和相比较 , 达布和只与分割 T 有关 , 而与点 集 i 无关 .由不等 式 ( 1 ) , 就 能通过讨论上和与下和当 T 0 时的极限来揭示 f 在 a , b 上是否可积 .所 以 , 可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的 .定理 9 .3 ( 可积准则 ) 函数 f 在 a , b 上可积的充要条件是 : 任给 0 ,3 可 积 条 件209总存在相应的一个分割 T , 使得S( T ) - s( T) 0 , 总存 在相 应 的某一分割 T , 使得i xi 0 , 存在 0 , 对 a, b 中任意两点 x、x, 只要 | x- x| , 便有f ( x) -f ( x) .b -a所以只要对 a , b 所 作 的分 割 T 满足 T 0 , 取 满足 0 2 ( M - m) b - a , 其中 M 与 m 分别为 f 在 a , b 上的上确界与下确界 ( 设 m M , 否则 f 为常量函数 , 显然 可积 ) .记 f 在 小区间 = b - , b 上的振幅为 , 则 ( M -m) 2 ( M -m)= .2 因为 f 在 a , b - 上连续 , 由 定理 9 .3 知 f 在 a , b - 上 可积 .再 由定 理 9 .2( 必要性 ) , 存在对 a , b - 的某个分割 T= 1 ,2 ,n - 1 , 使得2i xi .T 令n =, 则 T = 1 ,2 , n - 1 ,n 是对 a , b 的一个分割 , 对于 T , 有ixi = i xi + 2 + 2= .TT根据定理 9 .2( 充分性 ) , 证得 f 在 a , b 上可积 .定理 9 .6 若 f 是 a , b 上的单调函数 , 则 f 在 a , b 上可积 .证 设 f 为增函数 , 且 f ( a ) 0 , 只要 T , 这时就有f ( b) - f ( a )i xi ,T所以 f 在 a , b 上可积 .注意 , 单调函数即使有无限多个间断点 , 仍不失其可积性 .例 2 试用两种方法证明函数0 ,x = 0 ,f ( x) =1n , 1n + 1 0 , 由于 lim 1 = 0 , 因此当 n 充分大时 1 , 这n nn2说明 f 在, 1 上 只 有 有 限 个 间 断 点 .利 用 定 理29 .4 和定理 9 .2推知 f 在, 1上可 积 , 且存 在对2图 9 - 82 , 1的某一分割 T, 使得2i xi .T再把小区间 0 , 2与 T合并 , 成为对 0 , 1 的一 个分 割 T .由于 f 在0 , 上2的振幅 0 1 , 因此得到i xi = 0 2 + i xi p ,在区间 0 , 1 上可积 , 且0 ,x = 0 , 1 以及 (0 , 1 ) 内的无理数1f ( x) d x = 0 .0分析 已 知 黎曼 函 数 在 x = 0 , 1 以 及一切无理 点处 连续 , 而 在 ( 0 , 1 ) 内 的 一 切有理点处 间断 .证 明它 在 0 , 1 上 可 积 的直观构思如下 : 如图 9 - 9 所示 , 在黎 曼函数的图象中画一条水平直线 y = .在2图 9 - 9此直线上方只有函数图象中有限个点 , 这些点所对应的自变量可被含于属于分割 T 的有限 个小区间 中 , 当 T 足够 小212第九章 定 积 分时 , 这有限个小区间的总长 可为任 意小 ; 而 T 中 其余 小区间 上函 数 的振 幅不 大T于2 , 把这两部分相合 , 便可证得 ixi 0 , 在 0 , 1 内 使得 1 的有 理 点 p 只 有有 限个 , 设它 们 为q2qr1 , , rk .现对 0 , 1 作分割 T = 1 ,2 , ,n , 使 T 2 k , 并把 T 中所有小区间分为 i | i = 1 , 2 , , m 和 i | i = 1 , 2 , , n - m 两 类 .其中 i 为 含有 ri | i = 1 , 2 , , k 中点的 所有小区 间 , 这类小 区间的个 数 m 2 k( 当所 有 ri 恰好都是 T 的分割点时才有 m = 2 k) ; 而 i 为 T 中所 有其余不 含 ri 中 点的小区间 .由于 f 在 i 上的振幅 i 12, 于是m i xi 1m22 xi 1 2 k T ;2i = 1i = 1而 f 在 i 上的振幅 i 2 , 于是n - mn - m i xi i = 1把这两部分合起来 , 便证得 xi .22i = 1nmn - mixi = ixi + ixi 0 , 存在 a0 , 当 T 时 ,ni = 1从而f (i ) xi - J | k | ,即 k f 在 a , b 上可积 , 且bni = 1kf (i )xi -kJ 0 , B 0 ( 否则 f 、g 中 至少有 一个 恒为零 值函 数 , 于是 fg 亦为 零值 函 数 , 结论显然成立 ) .任给 0 , 由 f 、g 可积 , 必分别存在分割 T、T, 使得214第九章 定 积 分f ii xi T, gxi2 BT 2 A .令 T = T+ T( 表示把 T、T的所有分割点合并而成的一个新的分割 T) .对于 a , b 上 T 所属的每一个 i , 有f gi=supx, xisupx, xif ( x) g( x) -f ( x) g( x)g( x) f