数学培优竞赛新方法(九年级)-第24讲-三角形的四心

第24讲 三角形的四心 几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位， 几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加 勇气，提高修养。 -阿蒂亚知识纵横 重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。（1）重心 三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。 如图，设是的重心，则 （2）外心 三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。 如图，设是的外心，则 （2） 内心 三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。 如图，设是的内心，则 到三角形各边距离相等； （3） 垂心 三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。 如图，设是的垂心，则 共六组四点共圆。例题求解【例1】如图，中，若上的中线 垂直相交于点，则可用的代数式表示为 。 （第19届江苏省竞赛题）思路点拨 设，则由重心性质有；建立的方程组。【例2】已知点是锐角三角形的内心，分别是点关于边的对称点， 若点在的外接圆上，则等于( )A. B. C. D.（“CASIO杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨 由（为的内切圆半径），得同时是外接圆 的圆心。【例3】已知，点在上，经三点的圆交于（如图）求证：为的内心思路点拨 连，即需证为角平分线的交点，充分利用与圆有关的角， 将问题转化为角相等问题的证明【例4】如图所示,分别与圆相切于点，连结 与交于，连结.求证： （江苏省竞赛题）思路点拨 设圆心为，证明是的垂心，则，由切线性质得；一定通 过切点【例5】如图，已知中，是斜边上的高，分别是 的内心。 求证：（1） （2）. （武汉市竞赛题）分析 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等。欧拉线【例6】求证：（1）三角形的一个顶点到垂心得距离，是外心到对边距离的2倍 （2）三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重 心的距离的2倍。学习训练基础夯实1. 如图，中，是的中点，,则的面积 为 。2. 如图，是的内心，是的内心，是的内心若的度数为 整数，则的最小度数为 。3.如图，从圆外一点作的两条切线，连，设交于点，则点 是的 心. （第1题） （第2题） （第3题）4. 如图，是的斜边上的高，分别是的内心，若 ,则= 。5. 如图，锐角三的垂心为，三条高的垂足为则是的（ ） A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心6. 如图，设锐角的三条高线相交于，若， 则的值为（ ）A. B. C. D. （第4题） （第5题） （第6题）7. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）. A. B. C. D. (全国初中数学竞联赛题)8.如图，内接于，于点，于点，相交于点若，则的半径为（） A. B. C. D. （2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）9. 如图，设是的中线，的外心分别为,直线与 交于点，若，求证. （“我爱数学”夏令营竞赛题）能力拓展10.如图，设为三角形的三条高，若，则= . （第10题） （第11题） 11.如图，中，的内切圆圆心作， 分别与相较于，则= . （全国初中数学竞赛试题）12.若锐角的三边比是，它的外心到三边的距离分别为，则等于（ ）。 A. B. C. D.13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心14.如图，的三条中线的长分别是，求的面积。15.如图，已知是的内心，的延长线分别交的外接圆于 交于求证： （第22届加拿大奥林匹克试题）综合创新16.锐角三的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边