数学建模校内赛

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 2012 年 8 月 20 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号游船业务优化设计模型摘要 旅游业是一种集多种产业和功能于一体的综合产业，乘游船旅游作为旅游业务中的朝阳产业，它与经济的发展有着密切的联系。合理地选择游船规模与制定订票策略成为提高游船效益的关键，本文根据收益最大化原则，利用数值积分模型，用matlab软件编程对游船最大规模问题进行了求解。在求解问题一中三种游船业务的最佳规模时，本文首先采用MATLAB软件编程画出三种游船乘坐人数的正态分布图，观察其分布特点，从而确定出有效的求解方法；其次设出游船最佳业务规模M，建立数值积分模型表示出了每个区段游船的购票人数，根据题意确定成本,利用最大收益原则，进而确定收益的数值积分模型，利用matlab软件编程分别求出了三种游船的最佳业务规模，用matlab工具箱绘制出游船收益图。在求解问题二中AC游船业务的最佳规模时，根据问题一中的方法分别建立出短途旅程AB、BC的收益的数值积分模型，对两者进行求和，利用matlab软件编程求出AB、BC段相等的游船最大业务规模，再与问题一中求出的AC的最大规模求和，从而求解出 AC游船业务的最佳规模为826。 在制定问题三中的订票策略时，为减小空座率，我们首先设定AB、BC的限售票额为都为m,则AC 的限售票额为826-m,进而根据问题一中的求解方法确定游船AC的总体最大收益的数值积分模型，利用matlab软件编程解出AB、BC的限售票额m均为267，AC的限售票额为559，即为游船制定的订票策略。关键词： 收益最大化 数值积分 MATLAB软件 正态分布 概率密度函数 一、问题重述某公司计划在P旅游区的一条河上扩展游船业务。河流的旅游段从A地开始，经过景点B地到达C地结束。根据游船的票价为每公里一元，从A-B，B-C，A-C地的票价分别为70元、90元、160元，目前有A-B，B-C，A-C三种游船。近几年的数据表明，5月份每天购买A-B，B-C，A-C三种游船的乘坐人数服从正态分布，其中均值和方差由表1给出 表一 船次购票人数数学期望购票人数方差A-B250462B-C350852A-C6201452 * 游船的票价为每公里1元。根据估算，上座率65% 可以保本。如果同时开通三种不同的游船，分析三种游船的最佳业务规模。（业务规模指船的最大载人数量）。为了管理方便和河道的畅通，公司考虑只开通由A至C的游船，而把B作为中间的停靠站。该船同时出售A-B，B-C，A-C三种船票。分析该游船的最佳业务规模。设公司按照问题(2)中求出的最佳规模建造了游船并开始运营。当天票的售票时间为每天的上午8：00-8：30. 也可以提前一天在网上订票。而如果A-B，B-C的订票人数差距过大，会影响游船的上座率。而游船的上座率低，就会减少游船的收益，因此需要制定出一个订票策略，尽可能减少空座。 二、问题分析游船旅游作为一项重要的旅游方式，越来越多的人们选择乘游船旅游。合理规划游船最佳业务规模、选择最佳售票方式成为游船获得最大利益的基础。对题目中简化游轮模型进行分析可知，其主要运用到积分求解方法求解各种游船的最佳业务规模，根据各段路程上购票人数的均值与方差合理安排各路段应该投放的船票数量。下面三个问题进行详细分析：1、对问题一分析： 业务规模指船的最大载人数量。游船的最大载人数量如果过高，一方面增加运输成本，另一方面可能导致长期上座率低，从而降低游船盈利能力。如果游船的最大载人数量过低，将导致船票供不应求，必然缩小游船盈利空间。所以我们将结合游船营业利润来确定游船的最佳业务规模。从表一中我们得知，5月份每天购买A-B，B-C，A-C三种游船的乘坐人数服从正态分布。在同时开通三种游船的情况下，三种游船的购票人数相互独立。所以我们应该建立定积分方程，运用MATLAB编程分别求出其最大收益，此时的人数即为最佳业务规模。2、对问题二分析：问题二中条件改为仅开通A-C的游船，由A经B到C。从A地出发到B的游客，在B地就会下车不会影响到B-C的游客乘坐。从A地出发到C地的游客一直在船上。所以我们可以把此时游船的规模分为两部分，一部分由AC段的售票量决定，另一部分由A-B和B-C段的售票量决定。我们仍然根据营业利润最大化原则确定游船的最佳业务规模。3、对问题三分析： 在目前这个问题中，游船已经达到最佳业务规模，并且游客提前可以在网上订票。要想保证游船盈利能力达到理想状态，首先要保证游船各时段的上座率。由于购买AC段直达票的乘客中途不会下船，对上座率影响不会太大。所以要提高上座率就要合理控制A-B段和B-C段短途票的售出比例。 三、模型假设1、游船每天定时出发并且每天只发一班。2、游客的数量随季节变化较小，可忽略不计。3、游客订票后就不会退票。4、不会出现乘客逃票的现象。5、乘客凭票上船，不允许先上船后补票。6、游轮按照严格的限定人数售票，不会出现超载的现象。7、在该路线上近期不会出现其他替代游船。8、游客在AC段票源充足时，不会同时购买AB和BC段的短途票9、公司不会超额售票，即不会出现乘客持票却无座的现象四、定义与符号说明1、 A-B、B-C、A-C段的游船依次编号(=1,2,3)。2、。游船的最大收益3、。游船的最佳业务规模4、。游船的正态分布函数5、。游船正态分布函数的标准差6、。游船正态分布函数的方差7、 。游船正态分布函数均值8、 。游船乘坐的人数9、。远大于的数10、 。乘坐游船的价格11、。只开通A-C时的最大收益12、。只开通A-C时，游船在第段能获得的最大收益13、。只开通A-C时，游船在第段能获得的最大销售收入14、。只开通A-C时，A-B和B-C的最佳业务规模15、。只开通A-C时最佳业务规模5、 模型的建立与求解(1) 、三种游船最佳业务规模模型的建立1、模型分析：由题知,三种游船在第一问完全独立互不影响，确定三种游船的最佳业务规模应采用同一种模型。收益是衡量三种游船业务规模是否为最佳的最有效途径。因此我们采用收益最大化时的人数作为其最佳业务规模。游船的最佳业务规模为，游船的正态分布函数积分区间应该分为两部分0-和-。游船的成本为，建立收益表达式(见式(4)，运用MATLAB软件编程进行求解。2、 公式推导： 已知收益=实际乘坐的人数*票价-成本对于上船人数小于其最佳业务规模的部分，其收益表达式为： (1)对于上船人数大于其最佳业务规模的部分，其收益表达式为： (2)五月份游船购票人数正态分布的概率密度函数为： (3)游船的收益表达式为： （4）其中为船票单价，0.65为船成本。3、 MATLAB求解： 分别画出三种游船乘客人数的正态分布图(MATLAB程序见附录程序一)及游船的收益图(MATLAB程序见附录程序二)。 表2.1 A-B游船乘坐人数正态分布图 表2.2 B-C游船乘坐人数正态分布图 表2.3 A-C游船乘坐人数正态分布图 表2.4 A-B游船收益图 表2.5 B-C游船收益图 表2.6 A-C游船收益图表二 游船最大收益与最佳业务规模表游船最大收益游船最佳业务规模A-B4.9323*103232B-C8.1915*103317A-C2.6127*104564则可知A-B,B-C,A-C三种游船的最佳业务规模分别为：232,317,564人。(2) 、只开通A-C游船时的最佳业务模型1、 模型分析： 当只开通A-C的游船时，B地作为中转站。这时原来A-C、B-C、A-B三种分散的乘客就会出现乘船冲突的现象。由于A-B与B-C并不相互影响，将只开通A-C游船时船的旅程分为两个阶段：船在A-B阶段和B-C阶段。每个阶段的乘客分为两类：第一阶段A-C的乘客和A-B的乘客；第二阶段A-C的乘客和B-C的乘客。可以看出A-C的最佳业务规模没有改变，船上最佳业务规模为A-B的最佳业务规模加上第一问中A-C的最佳业务规模。其中A-B的最佳业务规模由建立的数值积分模型可求（见公式9）。1、 公式整理： 游船的正态分布函数： A-B游船的最大乘船人数：(5)A-B游船的最大收益：(6)B-C游船的最大乘船人数：（7）B-C游船的最大收益：(8)只开通A-C游船时，在A-B、B-C上的收益和：(9)当取得最大值时，对应值为，则船的最佳业务规模为为:(10) 2、MATLAB求解:以A-B和B-C的业务规模为横坐标，收益为纵坐标MATLAB绘图求解(程序见附录程序三)。表3.1只开通A-C游船时A-B、B-C的最佳业务规模 可得最大收益为1.2328*104元，最佳业务规模为262人,已经求知问题二中A-C的最佳业务规模为564人，综上所述最佳业务规模为两者之和即为826人，此时能达到最大的利益为：4.4元.(3) 、订票策略的制定1、 模型分析：制定订票策略的最终目的是提高收益即减少空座率。在问题二的前提下，假设分配给A-B、B-C张票，则给A-C游客最多分得张票，。已知空座率取决于A-B与B-C的订票人数，当两种乘船人数差别增大时其空座率也增大，因此提高收益的最佳售票方案应尽量使A-B与B-C分得的票数相同。图一游船价格分配图2、公式推导：设(826-)为A-C分得的票数，A-B、B-C都为张票。公式整理：A-B分得张票时所获得的最大销售收入：(11)B-C分得张票时所获得的最大销售收入：(12)A-C分得相应票时所获得的销售收入：(13)总最大收益：(14)当收益取到最大值时，所得的即为分给A-B和B-C的船票数，(826-)即为A-C的船票数。3、MATLAB程序求解(见附录程序四)：表四船票分配收益图根据MATLAB求解的结果显示，A-B、B-C分得票数为267张，A-C分的船票559张时，游船收益取得最大值。 六、模型的优缺点模型的优点： 1、在分析游船的最大规模问题中，本文利用收益最大化原则建立了有关收益的数值 积分函数，突出了了求解方法的合理性。 2、本文利用matlab软件编程进行积分求解，增加了结果的准确率和说服力，并用 MATLAB工具箱绘制出了游船在不同规模对应的收益函数图象，直观形象地反 映出了结果。 3、在解决问题三时，我们运用了非线性整数规划模型，目标明确，限制约束，使得 求解结果具有一定的准确性。 4、本文充分利用了题目所给的实际统计数据进行了模型求解，具有较好的实用性。 5、模型简单明了，可以较为广泛地推广使用。模型的缺点： 1、本文的数值积分模型建立对影响游船规模的因素考虑较单一，与实际情况相比较 有一定的差异性。 2、由于题目中给出的是五月份的统计数据，旅游人数不具有全年的代表性，本文的 模型建立缺乏动态性，应进行这方面的适当改进。 3、在解决问题三时，为了简化模型，我们做出了一些假设，对模型的结果产生了一 定的影响。七、模型的推广与改进本文不仅针对游船业务规模进行了有效地设计，还可以推广到公路、铁路、航空等的运输问题，具有广泛的实用性。考虑到本文模型的最大缺点是没有考虑动态变化的因素，因此我们可以建立随机规划模型对其改进，使结果有更好的适应性。 八、参考文献1 张志涌.精通MATLAB.北京：北京航空航天大学出版社，2011,104-1162 高会生,李新叶,胡智奇.MATLAB原理与工程运用.北京电子工业出版社, 2011,116-1233 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.北京:中国科学技术出版社,2007,52-554 姜彬峰，铁路客运座位优化控制研究，/p-9.html,2012-8-20。5 火车票全程对号销售系统优化研究 /view/ceae009ed57.html,2012-8-206 MATLAB正态分布图处理/s/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83%E5%9B%BE+%E6%80%8E%E4%B9%88%E7%9C%8B.html ,2012-8-20。 九、附录 程序一：A-B正态分布曲线MATLAB编程t=0:0.1:500;%绘图区间0-500y=pdf(Normal,t,250,46);%绘制A-B的正态分布图plot(t,y);grid onxlabel(乘坐人数)ylabel(概率密度)title(A-B游船乘坐人数正态分布图)B-C正态分布曲线MATLAB编程t=0:0.1:700;%绘图区间0-700y=pdf(Normal,t,350,85);%绘制A-B的正态分布图plot(t,y);grid onxlabel(乘坐人数)ylabel(概率密度)title(B-C游船乘坐人数正态分布图)A-C正态分布曲线MATLAB编程t=0:0.1:1240;%绘图区间0-1240y=pdf(Normal,t,620,145);%绘制A-C的正态分布图plot(t,y);grid onxlabel(乘坐人数)ylabel(概率密度)title(A-C游船乘坐人数正态分布图)程序二 A-B最大收益MATLAB编程function y=myfun(x)y=x.*exp(-(x-250).2/(2*462)/(sqrt(2*pi)*46);function y=myfun1(x)y=exp(-(x-250).2/(2*462)/(sqrt(2*pi)*46);clearfor m=1:500;%500为大于m的数y1(m)=quad(myfun,0,m)+m*quad(myfun1,m,500)-0.65*m;%乘坐A-B段的乘客数y=70.*y1;%求出A-B段收益endy_max,x_may=max(y);%计算最大收益plot(y)grid onxlabel(乘坐人数)ylabel(A-B收益)title(A-B游船收益图) B-C最大收益MATLAB编程function y=myfun(x)y=x.*exp(-(x-350).2/(2*852)/(sqrt(2*pi)*85);function y=myfun1(x)y=exp(-(x-350).2/(2*852)/(sqrt(2*pi)*85);clearfor m=1:700;%500为大于m的数y1(m)=quad(myfun,0,m)+m*quad(myfun1,m,700)-0.65*m;%乘坐B-C段的乘客数y=90.*y1;%求出B-C段收益endy_max,x_may=max(y);%计算最大收益plot(y)grid onxlabel(乘坐人数)ylabel(B-C收益)title(B-C游船收益图)ClearA-C最大收益MATLAB编程function y=myfun(x)y=x.*exp(-(x-620).2/(2*1452)/(sqrt(2*pi)*145);function y=myfun1(x)y=exp(-(x-620).2/(2*1452)/(sqrt(2*pi)*145);for m=1:1000;%1000为大于m的数y1(m)=quad(myfun,0,m)+m*quad(myfun1,m,1000)-0.65*m;%乘坐A-C段的乘客数y=160.*y1;%求出A-C段收益endy_max,x_may=max(y);%计算最大收益plot(y)grid onxlabel(乘坐人数)ylabel(A-C收益)title(A-C游船收益图)程序三function y=myfun(x)y=x.*exp(-(x-250).2/(2*462)/(sqrt(2*pi)*46);function y=myfun1(x)y=exp(-(x-250).2/(2*462)/(sqrt(2*pi)*46);function y=myfun2(x)y=x.*exp(-(x-350).2/(2*852)/(sqrt(2*pi)*85);function y=myfun3(x)y=exp(-(x-350).2/(2*852)/(sqrt(2*pi)*85);clearfor m=232:317y1(m)=quad(myfun,-,m)+m*quad(myfun1,m,)-0.6