数学建模综合题影院座位设计问题

数学模型 张峰华 材料学院 材料成型及控制工程 04 班 刘泽 材料学院 材料成型及控制工程 04 班 杨海鹏 材料学院 冶金工程 03 班 1 一、问题重述 影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边 缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太 大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过；记影院的屏幕高为， 0 30h 上边缘距离地面高为,影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排H 与屏幕水平距离分别为，观众的平均座高为 （指眼睛到地面的距离） ，已知参数,d Dc =1.8. =5， =1.1(单位 m)。 hH4.5,19dDc 求解以下问题： (1) 地板线的倾角时，求最佳座位的所在位置。 0 10 (2) 地板线的倾角一般超过，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线 0 20 倾角。 二、问题的分析 电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座 位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最 佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。 本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形 型满意度函数。 针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函 数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用数学软件运算求解；Matlab 针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大， 即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数， 将自变量转化为地板线倾角； 在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一 步提高。 本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题， 文中将作以下假设。 三、模型假设 1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度； 2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性； 3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性； 4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 5.相邻两排座位间的间距相等，取为 0.8；m 6.对于同一排座位，观众的满意程度相同； 7.所有观众的座位等高为平均座高； 8.影院的的地板成阶梯状。 2 四、符号说明 水平视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 仰角 S 观众对水平视角为的满意程度 地板线与水平线的倾角 S 观众对仰角为的满意程度 d第一排离屏幕水平距离S平均满意程度 D 最后一排离屏幕水平距离 cc , 视角、仰角在综合满意度中的权重 i S h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度 五、模型的建立与求解 5.1 问题一问题一 每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于 两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角， 越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分 上仰，引起不适，要求不超过。 0 30 5.1.15.1.1 模型模型的建立：仰角在满足条件的范围内的建立：仰角在满足条件的范围内, ,观众满意度只取决于视角观众满意度只取决于视角 以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图 1 所示： 其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图ABMSOE 可设视觉线上任意一点的坐标为，屏幕上下点的坐标分别为OEP)tan,(xx c tanxhcH h hH d dD E S tanx B O M N P 屏 幕 地面 地板 视觉线 x c 图 1 影院座位设计的剖面图 x y 3 ，的斜率记为,的斜率记为。),(cHdA),(chHdBAP AP kBP BP k 由斜率公式得： ， (1.1) )( tan tan dx cHx kAP )( tan )tan( dx chHx kBP 则直线和的斜率与夹角满足如下关系：APBP (1.2) )tan)(tan()( )( 1 tan 2 chHxcHxdx dxh kk kk APBP APBP 仰角满足条件：30,0 所以：33 )( tan 033tan0 dx cHx (1.3) tantan33 33cH x dcH 由公式(1.1) (1.2)得到模型为： )tan)(tan()( )( arctanmax 2 chHxcHxdx dxh tantan33 33 0 . . cH x dcH dDx ts 5.1.2 模型模型的求解的求解 当时，用软件运算求解（程序见附录 1） ，得最大视角为 10Matlab ，仰角为，米。即点的坐标为为最佳 9522.13 307274 . 1 xP)3046. 0 ,7274. 1 ( 位置。离屏幕的水平距离为。米2274 . 6 7274 . 1 5 . 4 5.1.3 模型模型的建立：离散加权模型的建立：离散加权模型 在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为 （查阅相关资料间距一般取 0.8 米） ，则在水平方向的间距为，考虑仰角和视角lcosl 对观众的满意度为主要因素。 对模型进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到： (2.1) )(cos) 1( tancos) 1( )( tan tan dlk cHlk dx cHx )tancos) 1)(tancos) 1()cos) 1( )cos) 1( tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh (2.2) 其中，为地板线上的座位的总排数，且。nk, 3 , 2 , 1n191 cos 5 . 14 l n 一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意 4 的看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根 据题意，在假设条件下，对于第排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数k 如下： 1 (2.3) minmax min tantan tantan k k S (2.4) minmax min tantan tantan 1 k k S 式中为第排座位上观众视角和仰角，表示在给定的情况下最 kk ,k maxmax, 优满意度，表示在给定的情况下最差满意度。 minmin, 视角、仰角在综合满意度中的权重分别为，建立第排座位综合满意 k S cc ,k 度函数如下： (2.5) cc ScSc S kk k 根据地板线倾角，通过计算可以得出， 10 8975.154210 . 5 ，主观给定权重，根据模型的建立，可以得出： 9149.400451 . 4 4 . 0, 6 . 0 CC (2.6)1357. 0tan5025 . 0 tan1596. 3 4 . 06 . 0 4 . 06 . 0 kk kkkk k SS cc ScSc S 将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为： 1357 . 0 )(cos) 1( tancos) 1( 5025 . 0 )tancos) 1)(tancos) 1()cos) 1( )cos) 1(*1596 . 3 max 2 dlk cHlk chHlkcHlkdlk dlkh Sk 19, 3 , 2 , 1, cos) 1( tantan33 33 0 . . k lkx cH x dcH dDx ts 5.1.4 模型模型的求解的求解 用软件运算求解（程序见附录 2）可得：米，排，最大满Matlab3635 . 2 x4k 意度为,最大视角为，仰角为,最佳位置离屏幕的6176 . 0 4 S 1282.13 9084.26 水平距离为。米8635 . 6 3635 . 2 5 . 4 5.2 问题二问题二 5.2.1 模型模型的建立的建立 要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求的最大值。由模型可知，第S 排观众的满意度为,则观众平均满意程度函数为：，平均满意度的kS nSS n k k 1 S 大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。所以，要使观众的 满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大， 5 观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度 就越大。 由式(1.1)可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生 改变，且在某一座位(即取某一定值)，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐x 渐增大，见图 2 所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大,仰角不超过 条件的座位所占的比例越大。 02468101214161820 6.8 6.85 6.9 6.95 7 7.05 7.1 7.15 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 14 16 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 图 2 视角和仰角随变化的变化曲线 第一排观众的仰角为，不满足仰角的条件，由模型可知第排座位 9149.40k 所对应的仰角的正切值： nk dlk cHlk k , 3 , 2 , 1, )(cos) 1( tancos) 1( tan 其中为地板线上的座位的总排数：，随着地板线倾角的变化，n1 cos 5 . 14 l n 相邻两排座位间的间距 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线l 倾角不超过，所以，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边 202019 n 缘，即。 0543.15 由模型可求出第排座位所对应的水平视角的正切值为：k )tancos) 1)(tancos) 1()cos) 1( )cos) 1( tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh 5.2.2 模型模型的求解的求解 让地板线倾角在内逐一取值,步长为；让在内逐一取值,步20,0 01 . 0 x 5 . 14, 0 长为 0.01。 对一个取定的，判断所在的位置仰角是否超过，若超过，则该座位的综合x 30 满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所 有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是 否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。 当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出， 8975.151143 . 5 6 。 9149.400 由模型的(2.5)式得： 4 . 06 . 0 4 . 06 . 0 kkkk k SS cc ScSc S （3.1） 所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为： n S S n k k 1 max 取整数其中nnk lkx dDx n ts, 2 , 1, cos) 1( 0 0543.150 2019 . 用软件计算（程序见附录 3）可得：最大平均满意度为，对应地Matlab6572 . 0 S 板线的倾角为。 0543.15 5.3 在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步 提高。 5.3.1 模型的建立与求解模型的建立与求解 由上两问可知,观众的满意程度与仰角,视角和地板线倾角都有关,而每一座位到 屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着的变 化情况。 引理引理 地板线不管设计成什么形状,各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化， 若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动 点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂 直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。 要使每一个座位所对应的视角取最大值,对应的 y 值应在直线上.设计地板线应考 虑以下几个方面：(1)第排座位所在的位置应高于第排座位所在的高度；(2)前k1k 一排的观众不会挡住后一排观众的视线；(3)视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分 布在垂直平分线的附近；(4)仰角的座位所占的比例尽可能大。 假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为 ，第排座lk 位地板线倾角为，第排座位与第排座位地板线倾角变化为。从而可得： k k1k ，故：) 1(0k k )() 1( ) 1tan( )() 1( tan) 1( tan 11 dlk cHkl dlk cHlk n k n k k k 同理可得： 7 ) 1tan(cos)() 1tan(cos()cos) 1( )cos) 1( )tancos) 1)(tancos) 1()cos) 1( )cos) 1( tan 11 2 2 chHkllcHklldlk dlkh chHlkcHlkdlk dlkh n k n k 观众平均满意程度函数为：nSS n k k 1 可算出地板线上的座位的总排数为：，则可计算得当时，1 cos 5 .14 l n 5 . 2 。6692 . 0 maxS 但此时，根据一般习惯，要求地板线倾角，但此时 455 . 2) 119( 20 求得最后一排座位的地板线倾角为，这大大超过观众的心理范围，因此文中将 45 对此进一步的修改。当时，令。当时，即将问题转 20) 1(i 20) 1(i 20 化为问题二中所建立的模型。由于，则地板线倾角增加到第 8 排到达，然 5 . 2 20 后保持不变。 对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用数学软件求得：满意度函数matlab 的最大值。6572 . 0 6643 . 0 maxS 可以通过利用软件来描点，如图 3 所示：Matlab 024681012141618 0 0.5 1 1.5 2 2.5 图 3 从上图可以看出，报告厅座位的前 排呈折线状，以递增,当倾角增加到8 5 . 2 时保持不变，且第一排应抬高米。 202 . 1 六、模型的评价与推广 6.16.1 模型的评价模型的评价 6.1.16.1.1 模型的优点模型的优点: : 模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程 清晰明了,结果科学合理。 模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。 6.1.26.1.2 模型的不足以及需要改进的地方模型的不足以及需要改进的地方: : 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们 的模型对解决实际问题时有一定的局限性。 模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,没有考虑前排观众额部对后排 8 观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。 6.26.2 模型的推广模型的推广 本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用,所建立的模型可用于 大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。同时对于已 知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:运用该模型去 解决会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和 推广性。 八、附 录： 附录一 clear clc H=5; h=1.8; D=19; d=4.5; c=1.1; l=0.8; pi=3.; f=10; for Q=0:0.1:20 for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1) x=(l-1)*cos(Q/180*pi); T=tan(Q/180*pi); A=(d+x)*h/(d+x)2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x); if fA f=A; end end end for Q=0:0.1:20 for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1) x=(l-1)*cos(Q/180*pi); T=tan(Q/180*pi); A=(d+x)*h/(d+x)2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x); if f=A fprintf(Q is:%dn,Q); fprintf(k is:%dn,l); end end end f 附录二 clear 9 clc H=5; h=1.8; D=19; d=4.5; c=1.1; l=0.8; pi=3.; t=10; for Q=0:0.1:20 for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1) x=(l-1)*cos(Q/180*pi); T=tan(Q/180*pi); B=(H-c-T*x)/(d+x); if tB t=B; end end end for Q=0:0.1:20 for l=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1) x=(l-1)*cos(Q/180*pi); T=tan(Q/180*pi); B=(H-c-T*x)/(d+x); if t=B fprintf(Q is:%dn,Q); fprintf(k is:%dn,l); end end end t 附录三 clear; %clc; H=5; h=1.8; D=19; d=4.5; c=1.1; Q=0.1763; %tan(10/180*pi); s=0; for x=2.3635 3.1514 3.9392 4.7271 5.5149 6.3028 7.0906 7.8785 8.6663 9.4542 10.2420 11.0298 11.8177 12.6055 13.3934 14.1812 10 t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q- H+c)/(x+d)+0.1357; if st s=t; end end for x=2.3635 3.1514 3.9392 4.7271 5.5149 6.3028 7.0906 7.8785 8.6663 9.4542 10.2420 11.0298 11.8177 12.6055 13.3934 14.1812 t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q- H+c)/(x+d)+0.1357; if s=t fprintf(nX is:%d,x); fprintf(nk is:%d,x/(0.8*cos(10/180*pi)+1); fprintf(na is:%d,(atan(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q- H+h+c)/pi*180); fprintf(nb is:%dn,(atan(-(x*Q-H+c)/(x+d)/pi*180); end end s 附录四 clear; clc; H=5; h=1.8; D=19; d=4.5; c=1.1; l=0.8; pi=3.; t=