五奥第9讲容斥原理

第九讲 容斥原理教学目标： 让学生掌握容斥原理的基本类型，并能运用此类题的解题方法灵活地解决问题。教学重点： 1、学会基本的容斥原理公式及其分类。2、运用容斥原理的基本方法解决问题，做到不重不漏。教学难点：1、能解决较复杂的容斥原理问题。2、含三类的容斥原理。教学过程一、故事引入，揭示课题，明确容斥原理的基本类型与解题方法。故事引入：森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。”结果统计出森林中共有70种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。”这个统计对吗？兔子跑过来说：“不对，因为在这个统计中，蝙蝠被算了两次。”正确答案应该是80+701=149（种）。师：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 知识点：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。二、教学例题，掌握技巧。例1、一个班有学生45人，参加数学兴趣小组有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个班，这个班两组都参加的有多少人？分析：直接用公式解答： 30+2245=7（人）课堂练习 32页 练习1答案 25+20=45（人）4010=30.（人）4530=15（人）小结：先计算出所有情况情况，再减去多算的。就可以计算出所用数目。师：刚才我们学了最简单的容斥原理，下面看一个较复杂的例2、在1到1000 的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：先分别求出能被3与被5整除的个数，再减去既能被3整除又能被5整除（即能被15）整除的数。解答： 10003=333（个）1 10005=200（个）3，5=15 100015=66（个）10 333+20066=467（个）1000467=533（个）课堂练习：在1到100的自然数中，能被2或3整除的数共有多少个？答案 1002=50（个）100 3=33（个）1 2，3=6 1006=16（个）6 50+3316=67（个）小结：通过分析，将题目转化为容斥原理。即先分别求出能被3与被5整除的个数，再减去既能被3整除又能被5整除的数。答：能被3或5整除的数共有467个，不能被3或5整除的数共有533个,。师：前面的都是含两个的容斥原理，下面我们来学习三个的。知识点：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。例3、（原例4）某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的多少人？分析：本题是一道容斥原理2的应用，直接用公式即可解答： 25+22+34121814=37（人） 5437=17（人）答：三项都参加的17人。课堂练习33页第5题 答案 ：24+31+20567+3=60（人）刚才是一个直接的容斥原理，下面我们来看一个容斥原理的应用。这一题需要较强的分析能力。例4、（原例5）在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析：师：题目中没有告诉我们木棍的长度，那锯成几段后该怎样计算？能不能设一个长度呢？生：能。师：那设什么数最简单呢?生：10,12,15的最小公倍数。解答：10，12，15=60 6010=6 6012=5 6015=4师：每隔4，5，6就会锯一段，但是中间会有重复的，4，5=20 4，6=12 5，6=30 4，5，6=606020=3 （段） 6012=5（段） 6030=2（段） 6060=1（段） 10+12+15352+1=28（段）答：，木棍总共被锯成28段。小结：本题首先要明白如何设数，在数字大小对题目结果没有影响的前提下，一般情况下设最小公倍数。其次，将分析实际问题中的条件，再用公式解题。例5（原例3）分母是1001的最简分数一共有多少个？注：将“最简分数”改为“最简真分数”并且老师需首先讲解什么是“最简真分数”如时间不够，可选择不讲本题。分析：要求最简分数就只需要求分子不是1001的因数，即求出1001的因数再用1001去减就可以了。1001=711137的倍数有1113个，11的倍数有713个，13的倍数有711个，既是7又是11的倍数有13个，既是7又是13的倍数有11个，既是13又是11的倍数有11个，既是7又是11又是13的倍数有1个，解答：1001=711131113+713+71171113+1=143+91+7771113+1=281（个）1001281=720（个）答：分母是1001的最简分数一共有720个？例6、实验小学举办书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展作品共有20幅，一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？分析：师：有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，说明什么问题？ 生：一+二+三+四+六=28（幅） 一+二+三+四+五=24（幅） 师：28+24表示什么呢？ 生： 一二三四年级的两倍+五六年级的 师：那我们可以求出 一二三四年级的和，再用和差问题就可以求出一二年级的。解答：（28+2420）2=322=16（幅） （ 164）2=6（幅）答：一、二年级参展的书法作品共有6幅。小结：将“不是”转化为“是”，再进行对比，找到突破口。例7、森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜，其中爱吃萝卜的小白兔的数量是爱吃白菜的2倍，而不爱吃白菜的小白兔的数量是不爱吃萝卜的3倍，那么它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？0分析：不爱吃萝卜的小白兔+爱吃萝卜的小白兔=100（只） 不爱吃白菜的小白兔+爱吃白菜的小白兔=100（只）还知道他们之间的倍数关系，因此可以用方程来解。解答：解：设爱吃白菜的小白兔有X只，则不爱吃白菜的小白兔有（100X）只，爱吃萝卜的小白兔有2X只，不爱吃萝卜的小白兔有（1002X）只， 100X=3（1002X） 100X=3006X 5X=200 X=40爱吃白菜 40只 不爱吃萝卜的小白兔有：100240=20（只）不爱吃萝卜 20只4020=20（只）答：它们当中有20只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。小结：碰到 较复杂题目 可以考虑方程 例8题目有问题总结：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。板书设计A、B两类 例1 例2A类B类总和= A类+ B类既A又B 例3 例4A、B、C三类 例5 例6A类B类C类数总和= A类+ B类+C类既A又是B既A又C既B又C +既A又B且C，作业 ：32页2、3、4 33页 6。训练题答案训练A1、25+20