数学系常微分方程试卷C及答案

数计学院 系 级 班 姓名 _ 学号 _ 任课教师 审题人 密封线 试卷（C） 试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程 题 号一二三四五六七总 分分 数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷； 2、考试所用时间：120分钟。 3、使用班级 数计学院 数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程所有常数解是 2方程的基本解组是 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 4函数组的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零,是它们在区间I上线性无关的 条件 5的通解是 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D） 7. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 8阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2 第 1 页（共 5页）密封线 年 月 日 9、 微分方程的通解 （ ） A、 B、 C、 D、10如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ） （A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定三、简答题（每小题6分，本题共30分）11.解方程 12. 解方程第2页（共 5 页）密封线 年 月 日13. 解方程 14. 解方程15解方程第 3 页（共 5 页） 年 月 日密封线四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解17求下列方程组的通解 第4页（共 5 页）密封线 年 月 日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，共20分）18一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。19设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有 第5页（共 5 页）12-13-2学期期末考试常微分方程C参考答案及评分标准 制卷 赵志锟 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1； 或 23，（或不含x 轴的上半平面）4充分 5二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6D 7B 8A 9D 10D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11解 当，时，分离变量取不定积分，得 （3分） 通积分为 （6分）12解 令，则，代入原方程，得 （3分） 分离变量，取不定积分，得 （） 通积分为： （6分）13解 对应齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 （3分）代入原方程，确定出 （4分）再求初等积分得 （5分） 因此原方程的通解为 + （6分）14解： 积分因子为 （3分） 取，则原方程的通积分为 （5分） 即 （6分）15解： 原方程为恰当导数方程，可改写为 则 （2分）分离变量，取积分 （4分）得原方程的通积分为 （6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解：对应的齐次方程为。我们有 ，通解为，.2分又由迭加原理，分别求出二方程的特解，其中第一个为：； 第二个为：，.5分 则，为原方程的一个特解，其通解为： 。.10分17解： 方程组的特征方程为 即 （1分）特征根为 ， （2分） 对应的解为 （3分）其中是对应的特征向量的分量，满足 （4分）可解得 （5分） 同样可算出对应的特征向量分量为 （8分）所以，原方程组的通解为 （10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，共20分）18解：由物理知识得： 1分根据题意： 2分故：即： 5分(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 7分又