数学系常微分方程期末试卷B及答案

数计学院 系 级 班 姓名 _ 学号 _ 任课教师 审题人 密封线试卷（B） 试卷份数 考试 本科 考试科目 常 微 分 方 程 题 号一二三四五六七总 分分 数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷； 2、考试所用时间：120分钟。 3、使用班级 数计学院 数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程的常数解是 。 2方程的基本解组是 。 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 。 4线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式。 5方程的任一非零解 与轴相交。二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6方程过点(0, 0)有（ ）(A) 无数个解(B) 只有一个解 (C) 只有两个解(D) 只有三个解 7. 方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8有界是方程初值解唯一的（ ）条件（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分 （D）充分必要 第 1 页（共 5页）密封线 年 月 日 9、 微分方程的通解 （ ） A、 B、 C、 D、10阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间 （C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分）11. 解方程12. 解方程第2页（共 5 页）密封线 年 月 日13. 解方程 14. 解方程15试讨论方程组的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。第 3 页（共 5 页） 年 月 日密封线四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解17解方程组：第4页（共 5 页）密封线 年 月 日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点19已知微分方程 有积分因子,试求所有可能的函数. 12-13-2学期期末考试常微分方程B参考答案及评分标准（数计学院 ） 制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 23平面4充分必要 5不能二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6A 7C 8C 9D 10D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11解 分离变量得 （3分）等式两端积分得通积分 （6分）12解 令，则，代入原方程，得 ， （2分） 当时，分离变量，再积分，得 （4分） （5分）即通积分为： （6分）13解 方程两端同乘以，得 （2分） 令 ，则，代入上式，得 （3分）通解为 原方程通解为 （6分）14解： 因为，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （4分） 即 （6分）15解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件 ，故奇点为原点（0，0） 2分又由det(A-E)=得 4分所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c为实数 6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解：对应齐次方程的特征方程为 （1分）特征根为： 特征根为， （2分）齐次方程的通解为 （4分） 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 （6分）代入原方程，比较系数确定出，原方程的通解为 （10分）17解： 其系数矩阵为： ， （2分）特征多项式为：，其特征根为：， （4分） 当时，由方程组，可解得特征向量为： （6分） 由 ， （8分）可知方程组的基本解组为： . （10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18证明 由于和是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 （*） （5分） 假如它们有共同零点，那么存在一个点，使得 = 于是 这与（*）式矛盾 （