计算机数学基础一求导方法PPT课件

2020/5/18,1,1.4求导方法,本节内容1.4.1按定义求导数1.4.2导数的四则运算法则1.4.3复合函数的求导法则1.4.4求导例题1.4.5隐函数求导法,2020/5/18,2,例1-23求函数f(x)sinx的导数。解,1.4.1按定义求导数,2020/5/18,3,续解即对于任意xR，用类似方法可以得到，对于任意xR，,1.4.1按定义求导数（续一）,2020/5/18,4,例1-24求函数f(x)logax(a0,a1)的导数。解,1.4.1按定义求导数（续二）,2020/5/18,5,续解即对任意x0，特别地，对任意x0，,1.4.1按定义求导数（续三）,2020/5/18,6,定理1-7设函数uu(x)和vv(x)在点x处都可导，则（1-21）（1-22）（1-23）注意：,1.4.2导数的四则运算法则,2020/5/18,7,特别地，如果法则（1-22）中v(x)c（c是常数），因，有（1-24）如果法则（1-23）中u(x)=1，有（1-25）,1.4.2（续四）,2020/5/18,8,求下列函数的导数.,例1:例2:例3例4:,2020/5/18,9,例5求的导数。,2020/5/18,10,课堂练习,求下列函数的导数,2020/5/18,11,2020/5/18,12,思考,求下列函数的导数,2020/5/18,13,定理1-8设yf(u)，ug(x)，且ug(x)在点x处可导，f(u)在相应的点u处可导，则复合函数yfg(x)在点x处可导，且（1-26）或写成（1-27）,1.4.3复合函数的求导法则,2020/5/18,14,显然，复合函数求导法则（1-26）或（1-27）可以推广到多个函数复合的情形。例如，如果yf(u)，ug(v)，vh(x)，满足定理1-8的条件，则有上式右端按yuvx的顺序求导，通常称为链式法则。,1.4.3（续一）,2020/5/18,15,1.4.3（续二）,例1求y=sin6x的导数。例2求函数的导数。,2020/5/18,16,对于幂函数有比较常见的情况,2020/5/18,17,练习,求下列函数的导数：,2020/5/18,18,(1)(c为常数)(2)(3)(4)(5)(6),基本初等函数的导数公式,2020/5/18,19,(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14),（续）,2020/5/18,20,例1求下列函数的导数（其中只有x、t是自变量）：（1）（2）（3）（4）,1.4.4求导例题,2020/5/18,21,（1）解这一类函数的特点是：分母只是的幂函数。对这类函数用负指数最简便，如果用函数相除的求导公式（3）也可以解，但比较麻烦。,1.4.4求导例题（续一）,2020/5/18,22,（2）解对括号的若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最简便，一般不要把括号展开。,1.4.5求导例题（续二）,2020/5/18,23,（3）解（4）解,1.4.4求导例题（续三）,2020/5/18,24,例2（1），求。解,1.4.4求导例题（续四）,2020/5/18,25,练习,求下列各函数的导数,2020/5/18,26,1.4.5隐函数求导法,凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数yf(x)称为显函数。前面介绍的求导法适用于显函数。但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F(x,y)0确定，这种由方程所确定的函数称为隐函数。有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。对隐函数求导就是把其中的一个变量看成另一个变量的函数（虽然并没有用显式表示）。,2020/5/18,27,1.4.4隐函数求导法（续一）,例1求由方程xyyx80所确定的函数的导数。解方法1变换为显函数，因此（a）方法2原方程两边分别对求导（注意：y是x的函数），得因此（b）,2020/5/18,28,例1-32用隐函数求导法求函数yarcsinx的导数。解将yarcsinx改写成xsiny，两边对x求导，得因为函数yarcsinx的定义域是1,1，值域是，因此cosy0，所以即,1.4.4隐函数求导法（续二）,29,仿此题可以证明例2求椭圆在点处的切线方程。解把椭圆方程两边分别对求导，有从而有,1.4.4隐函数求导法（续三）,30,续解将代入上式得将有关数据代入切线方程（1-20）得整理后得,1.4.4隐函数求导法（续四）,31,续解将代入上式得将有关数据代入切线方程（1-20）得整理后得,1.4.4隐函数求导法（续四）,32,补充：导数的应用,一、函数单调性的应用由导数的几何意义知（其中a为曲线f(x)在点x0处的切线与x轴正向的夹角）。由图可知，若f(x0)0，则曲线切线的倾角a都是锐角，函数f(x)单调递增；若f(x0)0,则曲线切线的倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调性。,33,函数单调递增。,的夹角,，斜率为正，,即,34,函数单调递减。,的夹角,，斜率为负，,即,35,上单调增加。,，,36,判断函数单调性的一般步骤：,（1）给出函数定义域；,（2）求一阶导数，用一阶导数的根和一阶导数不存在的点来划分定义区间；,（3）判定一阶导数在每个子区间上的符号。,37,实例,例1讨论的单调性解：先求出f(x)函数的导数，通过考虑导数的正负来判定函