结构动力学最新版本

,结构动力学,结构力学,土木工程与力学学院,2010年3月,（）,授课内容,13.5两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,13.4两个自由度体系的自由振动,原方程：,通解为：,由初始条件：,解为：,13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答,化成单项三角函数的形式:,解又可表达为：,将其展开：,相比较得：,则：振幅,自由振动总位移：,初始相位角,13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答,13.2.3结构的自振周期和自振频率,由式:,可知,时间经后，质量完成了一个振动周期。,用T表示周期，,周期函数的条件:y(t+T)=y(t),1)自振周期计算公式：,2)自振频率计算公式：,用表示频率：每秒钟内的振动次数,13.2.3结构的自振周期和自振频率,3)自振周期和频率的讨论,和T只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；,和T是结构动力特性的重要参数。,T与质量成正比，质量越大，周期越大；与刚度成反比，刚度越大，周期越小。要改变和T，只能改变质量和刚度。,泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，,大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，,金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒,泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，,大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，,金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒,由式,可得，加速度为：,无阻尼自由振动的位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且同步、同相、同达幅值。,在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时刻也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。,惯性力为：,位移,（位移幅值）,（加速度幅值）,（惯性力幅值）,4)简谐自由振动的特性,例13.1求图示梁结构的自振周期和自振频率。,m,EI,解：为求柔度系数，在质点上加单位力1（图乘法）,思考比较图示结构的自振频率,(a),(b),(c),(a)(b)(c),13.2.3结构的自振周期和自振频率,例13.2图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。,解:让振动质量向下单位位移需施加的力为：,k=czA=0.610320=12103kN/m,自振频率为：,13.2.3结构的自振周期和自振频率,例13.3如图所示简支梁，将一重为W的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。,W,解:自由落体后，梁以一定的初速度上下作自由振动，其振动平衡位置为yst。,设：,其中：,初始条件：,13.2.3结构的自振周期和自振频率,1.例如设:则,则振动规律为：,具体例子比较:,13.2.3结构的自振周期和自振频率,13.2.3结构的自振周期和自振频率,2.如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地放置在梁中点，求该系统的振动规律。,比较结果可知，h10cm时的振幅位移是h0的7倍,则振动规律为：,1求结构的自振频率。,作业,2列出图示结构的运动方程并求图示结构的自振频率。,3求结构的自振频率。,思考题P286页13-1，13-2，13-4，13-5，13-6，13-7,作业,13-1结构静力计算和动力计算的主要区别是什么？,13-2结构静力自由度和动力自由度的概念有何异同？,13-4在建立振动方程时，如考虑重力的影响，动位移的方程有无改变？,13-6为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构那些固有量有关？,13-7为了计算自由振动是质点在任意时刻的位移，除了要知道质点的初始速度之外，它还需要知道些什么？,1求图示结构的自振频率。,L/2,M1图,13.2.3结构的自振周期和自振频率,例3求图示结构的频率。,2列出图示结构的运动方程。,解：是单自由度体系。以建立位移方程。,1/2,13.2.3结构的自振周期和自振频率,有机玻璃模型的自由振动记录,铝质模型的自由振动记录,13.2.4阻尼对自由振动的影响,13.2.4阻尼对自由振动的影响,m,k,1)不考虑阻尼,m,k,y=0,c,2)考虑阻尼,阻尼是客观存在的,振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。,（1）产生阻尼的原因,1)结构与支承之间的外摩擦,2)材料之间的内摩擦,3)周围介质的阻力,（2）阻尼力的确定,1)与质点速度成正比,2)与质点速度平方成正比,3)与质点速度无关,粘滞阻尼,m,有阻尼模型,建立动平衡方程,标准化得:,其中:,二阶常微分方程可变为：,设特解为：,特征方程为：,13.2.4阻尼对自由振动的影响,微分方程的解与相应特征方程的根有关,1.振动方程,称为阻尼比,临界阻尼系数,小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动,2.讨论根的三种情况,称为阻尼比,是体系的一种特性，它取决于体系的质量和刚度,阻尼系数是在自由振动一个循环中能量耗散的一种测度。,C,临界阻尼系数是完全抑制振荡的C的最小值。象征着震与不能震荡之间的分界线。,（1）,令：,则代数方程解：,2.讨论根的三种情况,（复根）,(低阻尼体系的自振圆频率),一般建筑物很小，约0.010.1。像我们感兴趣的房屋、桥梁、水坝、核电站、海洋结构等都属这一类；,汽车减震系统，阻尼通常小于临界阻尼的一半0.5,则微分方程通解为：,也可:,1)振幅逐渐衰减；,13.2.4阻尼对自由振动的影响,特点：,2)振幅呈等比级数递减,阻尼对自由振动的影响,图中显示无阻尼=0和有阻尼=0.05的单自由度体系的自由振动反应。无阻尼体系在所有振动周期内的位移幅值是相同的，有阻尼体系则随着每个振动周期衰减的振幅振荡。,表明振幅随时间按指数衰减,1)阻尼振幅对的影响,阻尼对固有振动蘋率的影响,3）阻尼对自由振动衰减速率的影响如图右,2)阻尼对自振频率的影响,当0.2,则0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。,具有四种阻尼水平体系的自由振动,3两个连续峰值之比与阻尼比之间的关系,振幅为随时间衰减相邻两个振幅的比。,13.2.4阻尼对自由振动的影响,对数递减率：,4阻尼比的测定,对数递减率：,13.2.4阻尼对自由振动的影响,对数衰减率与阻尼比之间的精确和近似关系,有机玻璃模型的自由振动记录,13.2.4阻尼对自由振动的影响,4阻尼比的测定,对于实际结构解析确定阻尼比是不可能的，所以这个难以理解的特性将由试验确定。前面我们介绍了两个单层模型上这种试验的自由振动记录,对于弱阻尼体系,或,设yk和yk+n相隔n个周期，则：,13.2.4阻尼对自由振动的影响,利用图示有机玻璃框架模型的自由振动加速度记录，是确定其固有周期和阻尼比,解：,加速度峰值以及它们发生的时刻，可以从试验记录中读到,第一个周期,第十一个周期,5固有周期的测定,13.2.4阻尼对自由振动的影响,体系自由振动的加速度记录,体系的固有周期T也可以通过完成一个振动循环所需的时间由自由振动记录确定，将其与利用理想化体系的刚度和质量计算得到的固有周期相比较，可以知道这些特性的计算精度以及理想化体系和实际结构的相近程度。,5国有周期的测定,13.2.4阻尼对自由振动的影响,体系自由振动的加速度记录,体系的固有周期T也可以通过完成一个振动循环所需的时间由自由振动记录确定，将其与利用理想化体系的刚度和质量计算得到的固有周期相比较，可以知道这些特性的计算精度以及理想化体系和实际结构的相近程度。,13-13在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？,思考题,1)结构与支承之间的外摩擦,2)材料之间的内摩擦,3)周围介质的阻力,在一个振动建筑中，能量耗散包括钢连接中的摩擦，混凝土微裂缝的张开与闭合，结构自身与像填充墙那样非结构构件之间的摩擦。,实际结构中的阻尼通常用高度理想化的方法描述。,称为阻尼比,是体系的一种特性，它取决于体系的质量和刚度,阻尼系数是在自由振动一个循环中能量耗散的一种测度。,C,临界阻尼系数是完全抑制振荡的C的最小值。象征着震与不能震荡之间的分界线。,13-14什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？,对于实际结构解析确定阻尼比是不可能的，所以这个难以理解的特性将由试验确定。,或,13-6如果阻尼数值变大，振动周期如何变化？,思考题,在弱阻尼情况下，如果阻尼数值变大，振动周期变长。,在强阻尼情况下，如果阻尼数值变大，振动没有周期振动。只有波动,（2）,解为：,则微分方程通解为：,再由初始条件得：,（临界阻尼）,（重根）,13.2.4阻尼对自由振动的影响,测量静载的天平，通常是临界阻尼,例13.7图示屋盖系统加一水平力P=9.8kN，测得侧移y0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移y1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,13.2.4阻尼对自由振动的影响,普通自动关门器的回弹装置是超阻尼,例13.8