教育统计学推断统计5-6章

.,5.1概率的一般概念,5.2正态分布,第五章概率及概率分布,.,5.1概率的一般概念,一概率的定义1先验概率的定义2后验概率的定义二概率的性质：0P(A)1P(V)=0P(U)=1三独立事件和互不相容事件。四概率的加法和乘法1概率的加法2概率的乘法,.,正态分布是一种连续型随机变量的概率分布，在教育研究中有很多现象一般呈正态分布,1、正态分布,5.2正态分布5.2.1概念：,.,正态分布中的、N都是常量，在每个正态分布中，它们的变化会导致正态曲线不同，如下图，尽管平均数相同，但由于不同而正态分布的形态差异较大。,.,标准分数(也称为Z分数)是一种以平均数为参照点，以标准差为单位的相对量数，用Z表示。其特点为：把所有绝对数量表示的、的正态分布的曲线函数都变成了以平均数为0，标准差为1的正态分布曲线函数。,标准分数的计算公式,Z=,标准正态分布曲线(STANDARDNORMALCURVE)分布的函数为：,2、标准正态分布Z分数,.,标准正态分布曲线,=0、=1,？为什么标准正态分布的平均数为0，标准差为1!,.,3.标准正态分布的特点：,.,（1）已知Z值求面积例1,.,例4,.,（2）已知面积求Z值例1,某次测验分数是正态分布，其平均分是72，标准差是6，问在平均分上下多少分中间包括95%的学生?在平均分上下多少分中间包括99%的学生?,.,5.2.2正态分布的应用,例1在某一幼儿园的一次点数比赛中，全园的平均分是70，标准分是12.5，甲幼儿得78分，乙幼儿得83分，丙幼儿得65分，问这三幼儿的点数成绩在园中各处于怎样的位置,1.标准分的应用,.,解：=70S=12.5甲幼儿：Z=Z=0.64乙幼儿：Z=Z=1.04丙幼儿：Z=Z=0.4,答：甲幼儿的成绩在全园平均成绩以上0.64标准差；、乙幼儿的成绩在全园平均成绩以上1.04标准差；丙幼儿的成绩在全园平均成绩以下0.4个标准差。,.,表24：甲乙两幼儿语言、常识、计算成绩测试成绩表,例2甲乙两幼儿在语言、常识、计算活动中测试的成绩如下表，试分析说明谁的总成绩较好？,.,使用标准分数(Z)应注意的问题：,标准分数虽然能够反映原始分数在团体中的相对位置，但不能直接体现对象对知识的掌握程度。所以在对对象学习情况进行评定和分析时，应将原始分数和标准分数结合起来分析研究。,.,2.标准正态分布的应用,等级考试A,B,C,D化学试卷满分值150分，某区全体学生平均分85分，标准差15。若A等占5%，B等占35%，C等占50%,D等占10%；则等第对应的分数线分别是多少？某校200人参加考试，获A等有多少人？,.,结论,由对应面积P查表得：Z1=1.65X1=110Z2=0.25X2=89Z3=-1.28X3=65.8,.,第六章抽样分布及总体平均数的推断,6.1抽样分布6.2总体平均数的估计6.3假设检验的基本原理6.4总体平均数的显著性检验,.,上海市初中一年级末数学水平的调查研究，在该研究中假定上海市共有初中一年级学生为150000人(N人)，如果对上海所有初中一年级学生进行统一的标准化的数学成就测验，其测验的平均成绩为80分()，测验的标准差为9分()。,实例1,6.1抽样分布6.1.1研究实例,.,实例2,某一调查研究者甲为了节省调查研究的成本，现从上海市初中一年级学生中随机抽取500人(n人)进行统一的标准化的数学成就测验，试图通过这500人的测验结果来推断全上海初中一年级学生的数学水平，其测验的平均成绩为82分()，测验的标准差为8分(x)。,1、分析上述实例区分总体和样本区分参数与统计量及不同的表达方式,.,如果我们用上海初一年级150000个学生的成绩做图，则构成一个总体分布图：,概率密度或百分比,成绩,.,如果我们只用其中抽取的500个个学生的成绩做图，则构成一个样本分布图：,概率密度或百分比,成绩,.,2、抽样分析假定该研究者第一次抽取500人做完调查研究后，又重新从上海初中一年级学生中(150000人)抽取500人(n2)进行调查研究，其平均数为：标准差为：x2(抽取学生的过程中，前面抽到的学生在后面抽取中也可能抽到，但不重复测验)。如果上述过程不断重复操作，则可以得到更多的样本平均数和标准差，如下表：,.,.,如果我们用k(k趋近于无穷大)个样本平均数做频数分布图，则构成一个由样本平均数组成的抽样分布(平均数抽样分布)图：,概率密度或百分比,抽样的平均成绩,由这些抽样平均数组成分布的标准差称为平均数的标准误用来表示。,标准误：某种统计量的标准差称为该统计量的标准误。,抽样分布是某一种统计量的概率分布,.,3、正态总体中，平均数的抽样分布呈正态,1、,2、,4、偏态总体中，当抽样容量较大时，平均数的抽样分布也呈正态,6.1.2平均数抽样分布的几个定理,.,离差统计量是以标准差为单位来来度量某一个个案值与平均数间的差异。Z分数就是一种离差统计量,6.1.3样本平均数与总体平均数离差统计量的形态,.,当总体标准差已知时，平均数的离差统计量的计算：,当总体标准差未知时，平均数的离差统计量的计算：,首先根据样本标准差(x)来估计总体标准差()，其估计值用S来表示。,因此，平均数的标准误为：,.,离差统计量的表达形式为：,例：某校二年级学生的英语平均成绩为78，从中随机抽取50人，其平均成绩为82，标准差为12()。试估计该校二年级学生英语成绩的标准差，并计算50人平均成绩的离差统计量。,.,戈赛特（英国数学家1876-1937）,戈塞特早先在牛津温切斯特及新（New）学院学习数学和化学，后来到都伯林市一家酿酒公司担任酿造化学技师，从事统计和实验工作，19061907年间，在伦敦大学学院生物实验室做研究，也有机会和皮尔逊共同研讨，此后他们经常通信.,.,1905年，戈塞特利用酒厂里大量的小样本数据写了第一篇论文误差法则在酿酒过程中的应用1908年，戈塞特以“学生（Student）”为笔名在生物计量学杂志发表了论文平均数的规律误差.,.,t分布及其特点,自由度：df表示,.,表6.1中央面积为0.95时不同自由度t的临界值,.,1、点估计的定义:用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值。2、点估计的评价标准无偏性估计有效性：MdMo一致性:n样本容量无限增大时,6.2总体平均数的估计6.2.1点估计,.,1、区间估计的定义：以概率分布为理论依据，按照一定的概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值所在范围。2、区间估计的计算（总体标准差知）,例1：某一个正态总体，其平均数为130，标准差为10。（1）以平均数为中心，95%学生的成绩的分布范围；（2）其成绩在128到132间的人数的比例；（3）上端5%学生成绩的分布范围。,6.2.2区间估计,.,某一个正态总体，其平均数为130，标准差为10。（1）从总体中抽取25人，计算其平均成绩，该平均成绩在128到132间的概率有多大；（2）从总体中抽取25人，计算其平均成绩，该平均成绩以总体平均数为中心，95%概率下的分布范围。若总体平均数未知，从总体中抽取25人，计算其平均成绩为129，按一定概率要求估计总体参数的变化范围。区间估计,例2：,.,例3某小学10岁儿童身高的标准差为6.25厘米，现从该校随机抽出27名10岁儿童，其平均身高为134.2厘米，试估计该校10岁儿童身高的95%和99%置信区间.,.,在总体标准差未知，总体呈正态分布，n无论大小，（或总体不呈正态分布，n30）样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布；,t值,3、总体标准差()未知条件下的区间估计,区间估计原理,.,例1从某小学三年级学生中随机抽取12名学生，其其阅读能力平均分数为29.917，s=4.100.试估计该校三年级学生总体平均成绩95%和99%的置信区间。,.,例2从某年高考随机抽取102份作文试卷，其平均成绩为26，标准差为1.5。试估计总体平均成绩95%和99%的置信区间。,.,1、假设检验的定义2、假设检验的原理,6.3假设检验的基本原理和过程6.3.1假设检验的原理,.,基本思想,小概率原理：,如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。,总体（某种假设）,抽样,样本（观察结果）,检验,（接受）,（拒绝）,小概率事件未发生,小概率事件发生,.,假设的形式：,H0原假设，H1备择假设,双侧检验：H0：=0，H1：0,单侧检验：H0：0，H1：0H0：0，H1：0,假设检验就是根据样本观察结果对原假设（H0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。,.,.,.,.,.,1、两类错误的定义错误：假设是真而被拒绝，其大小与假设检验的显著性水平相等。错误：假设是伪而被接受。,6.3.2统计决断的两类错误及其控制,.,2、两类错误的相互关系在我们做决策时两类错误客观存在；当一种错误在减小时，另一类错误在增加。,.,3、控制两类错误的方法,合理安排拒绝区域的位置；,.,扩大抽样的容量。,4、抽样容量要多大？,样本容量的扩大引起的变化是什么？,.,1.根据具体问题的要求，建立总体假设H0，H1,2.选择统计量确定H0为真时的抽样分布,3.给定显著性水平，当原假设H0为真时，求出临界值。,4.计算检验统计量的数值与临界值比较,6.3.3假设检验中的基本过程,.,6.4.1总体标准差()已知条件下的总体平均数的显著性检验,例1全区统一考试物理平均分为50分，标准差为10分。某校一个班41人的平均成绩为52.5，问该班成绩与全区成绩差异是否显著？,6.4总体平均数的显著性检验,.,1.假设：H0：=50，H1：50,2.选择检验统计量并计算其值,.,3.确定显著性水平，查表求出临界值。=0.05，Z0.05=1.96,4.统计决断：z=1.601.960.05,小概率事件没有发生，接受H0：=50即该班成绩与全区成绩无显著性差异。,.,例2,张老师是一名刚参加工作的青年化学老师，在某中学负责讲授高中一年级（4）班化学课程，期末全校化学统一考试，高一5个班的化学平均分是68分，标准差为8.6分，其中4班有46名同学，化学平均分为63分。根据考试结果，学校领导认为张老师的教学效果低于全校的平均水平。问题：张老师所带的高一（4）班化学平均分低于全年级的平均水平吗？,.,1.假设：H0：68，H1：68,2.选择检验统计量并计算其值,.,3.确定显著性水平，查表求出临界值。=0.05，Z0.05=-1.65；=0.01，Z0.01=-2.33；,4.统计决断：z=3.942.330.01,小概率事件发生了，拒绝H0：68，接受H1：68即该班化学成绩低于全年级的平均水平。,.,练习：有人从受过良好教育早期儿童中随机抽取70人施行韦氏智力测验(该测验的总体平均数为100，标准差为15)，其结果为103.3。能否认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平？,.,例题1：某区初三英语统一测验平均分为65分，该区某校20份试卷的分数为：72、76、68、78、62、59、64、85、70、75、61、74、87、83、54、76、56、66、68、62。问该校初三英语平均分与全区是否一样？,6.4.2总体标准差()未知条件下的总体平均数的显著性检验,=69.8，s=9.474,.,1.假设：H0：=65，H1：65,2.选择检验统计量并计算其值,.,3.确定显著性水平，查表求出临界值。=0.05，t(19)0.05=2.093；=0.01，t(19)0.01=2.861；,4.统计决断：t(19)0.05=2.093t=2.266t(19)0.01=2.861在=0.05拒绝H0：=65，接受H1：65即该校初三英语平均分与全区不一样,.,例题2：,王老师在某大学担任5个班的英语课，为了研究英语演讲比赛对学生英语学习成绩的影响，选定（1）班学生进行实验。每次她给（1）班上课占用10分钟时间让学生进行演讲比赛。一学期后，全校期末英语考试平均分为78分，（1）班15名同学考试成绩:,问题：学生演讲比赛是否能提高英语学习成绩？,平均分：82.3，标准差（S)：7.32,.,1.假设：H0：78，H1：78,2.选择检验统计量并计算其值,.,3.确定显著性水平，查表求出临界值。=0.05，t(14)0.05=1.761；=0.01，t(14)0.01=2.624；,4.统计决断：t(14)0.05=1.761t=2.275t(14)0.01=2.624在=0.05拒绝H0：78，接受H1：78即学生演讲比赛能提高英语学习成绩.,.,总体标准差()未知，n较大情况,某年高考某市数学平均分为60，现从参加此次考试的文科生中，随机抽取94份试卷，算的平均分为58分，标准差为9.2，问文科生的数学成绩与全市考生是否相同？,.,1.假设：H0：=60，H1：60,2.选择检验统计量并计算其值,.,3.确定显著性水平，查表求出临界值。=0.05，z0.05=1.96；=0.01，z0.01=2.58；,4.统计决断：z0.05=1.96z=2.11z0.01=2.58在=0.05拒绝H0：=60，接受H1：60即该校文科生的数学成绩与全市考生不相同。,.,6.4.3差异显著性的判断规则,.,总体均值的检验,条件,检验条件量,拒绝域,H0、H1,(1)H0：=0H1：0,z,(2)H0：0H1：0,(3)H0：0H1：,z,0,z,0,正态总体2已知,.,总体均值的检验,条件,检验条件量,拒绝域,H0、H1,(1)H0：=0H1：0,t,(2)H0：0H1：0,(3)H0：0H1：,t,0,t,0,0,正态总体2未知(n30),正态总体2未知(n30),.,总体均值的检验,条件,检验条件量,拒绝域,H0、H1,(1)H0：=0H1：0,z,(2)H0：0H1：0,(3)H0：0H1：,z,0,z,0,0,非正态总体n302已知或未知,.,第七章平均数差异的显著性检验,71平均数差异显著性检验的基本原理72独立样本平均数差异显著性检验73相关样本平均数差异显著性检验74方差齐性检验,.,71平均数差异显著性检验的基本原理,一平均数差异显著性检验的原理依据两个样本平均数差的抽样分布进行假设检验。二平均数之差的标准误：（1）独立样本：,.,（2）相关样本平均数之差标准误：,.,72独立样本平均数差异显著性检验,一独立大样本平均数差异的检验例题：高一学生英语测验成绩如表7.1问男女生英语测验成绩是否有显著性差异？,.,解：这是两个独立大样本平均数差异显著性检验Z检验,1.提出假设：,2.选择检验统计量并计算其值：公式：,.,4.统计决断：Z=1.450.05接受H0,结论：高一男女英语测验成绩无显著性差异,3.确定显著性水平，查表求出临界值。=0.05，z0.05=1.96；,.,练习：现有某区4-5岁和5-6岁的两组幼儿，分别对他们进行两次测验，测验后的成绩统计如下，试检验这两组幼儿的测验成绩是否有差异。,表7.2。某区4-5岁和5-6岁两组幼儿的量词测验成绩表,.,二独立小样本平均值比较,1。原理：,若总体标准差未知，用S1、S2估计1、2,.,二独立小样本平均值比较,2.例题：从高二年级组随即抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统讲授法，后期统一测验如下表7。2。问两种教学方法是否有显著性差异？(根据已有的经验确知启发探究发优于传统讲授法）,.,表7.2,.,解：这是两个独立小样本平均数差异显著性检验t检验根据题议用右侧检验,1.提出假设：,2.选择检验统计量并计算其值：公式：,.,.,4.统计决断：t(17)0.01=2.567t*=2.835P0.01接受H1,结论：高二化学启发探究教学法优于传统讲授法，并达到及其显著水平。,3.确定显著性水平，查表求出临界值。df=n1+n2-2=10+9-2=17,t(17)0.05=1.740P(1)t(17)0.01=2.567P(1),.,独立小样本平均值比较练习,李老师为了研究在高中阶段“男生”与“女生”学习化学方面存在的差异，把全班49名同学的化学成绩按“男生”与“女生”进行分类统计：全班21名男同学的平均成绩是70.4分，标准差为10.6分；28名女同学的平均成绩是66.8分，标准差是9.4分。问题：李老师怎样评价在高中阶段“男生”与“女生”在化学成绩方面存在的差异？,.,独立小样本方差不齐平均值比较,1。统计量2。临界值确定方法,.,73相关样本平均数差异显著性检验,.,相关样本的两种情况,1。同水平的测验对同一组被试在实验前后两次进行测验，所获得的两组测验结果是相关样本。2。按某些条件基本相同的原则，经过一一配对而成的两组被试，实行不同的实验处理后，对同一个测验所得到的两组测验结果是相关样本。,.,相关小样本平均值差异检验练习,针对当前学生自学能力较差的现象，某学校开展了一系列自学辅导讲座，为了测定讲座的效果，在开展讲座前抽取10名学生每人发一本教材自学，两天后进行一次测试；开展讲座后，利用同等水平的教材，同样的自学时间，同等的考试难度再次对这10名同学进行一次测试，两次测试结果如表4.1问题：辅导讲座对学生的自学能力有无影响？,.,表4.1学生自学测试结果,.,74方差齐性检验,1。基本原理F分布（F比值的抽样分布）2。例题,.,方差比较例题,P121小样本方差齐性比较P124方差齐性比较,.,方差比较应用,王老师是一名高三把关的老教师，今年新接高三年级两个班的化学课，从上学期期末考试结果了解到两个班化学成绩并不理想，具体考试成绩如下：一班41人，平均分72分，标准差为10.2；二班37人，平均分也是72分，标准差为5.19。针对这种情况，王老师想采用集体补课或个别辅导等形式决心把两个班的化学成绩搞上去。问题：针对两个班的具体情况，王老师怎样采取相应的补课形式才能取得最佳效果？,.,第五章总体比率的推断,51比率的抽样分布52总体比率的区间估计53总体比率的假设检验54总体比率差异的显著性检验,.,51比率的抽样分布,比率抽样分布的基本原理比率的标准差例如：从某区随即机取100个中学生，查得正常视力有65人，若用样本比率P=65/100来估计全区中学生正常视力的比率时，其抽样误差（即标准差）为？,.,52总体比率的区间估计,.,53总体比率的假设检验,例如：某市中学教师中大学本科毕业的比率是0.60，现从某区随机抽取50名中学教师，其中大学本科毕业的有32人，问该区中学教师大学本科毕业的比率与全市中学教师大学本科毕业的比率是否有显著性差异？,.,总体比率的假设检验练习,教学效果的评价：已知某学校今年高考升学率为45%，其中刘老师所带的（1）班共45人，有23人考取大学，其升学率为51.1%，高于全校平均升学率6.1%。于是刘老师在多种场合发言时说：“自己带的（1）班升学率明显高于全校平均水平。”问题：刘老师的结论科学吗？,.,54总体比率差异的显著性检验,一两个独立样本比率差异的显著性检验基本原理例如：关于人体血液循环的讲授，在实验组运用条叠投影片，使学生直观形象地看到人体大小循环，动、静脉的流动情况。在对照组由教师画图说明人体血液循环的方向。授课结束，当堂测验的结果如下表，问两种教学用具的效果是否一样？,.,总体比率差异的显著性检验练习,某师范大学为了调查不同专业学生“专业思想”的差异，分别从数学专业和中文专业随机找了120名同学和160名同学进行调查，其中数学系有84名同学表示毕业后愿意当老师，中文系有104名同学表示毕业后愿意当老师。问题：数学系和中文系愿意当老师的学生比率是否有差异？,.,例题某校120个学生期末化学测试之后，让他们在寒假里独立完成教师编选的化学练习题，开学初进行同类题目的测试，两次测试结果见下面频率表，问学生独立完成教师编选的化学练习题，对提高化学成绩是否显著效果？,二相关样本比率差异性检验,.,表5.1两次测试结果表,.,练习：某学校有教师145人，经调查能坚持锻炼身体的有85人。经过学校动员，两个月之后有进行调查，结果发现能坚持经常身体的有120人，其中有75人在动员之前就经常锻炼身体。问题：学校动员之前就经常锻炼身体的教师比率差异是否显著？学校动员效果怎样？,.,表5.2动员前后坚持锻炼情况表,.,第六章卡方（2）检验,612及其分布一、2检验的特点二、2检验的统计量的基本形式。（10.1）例如：从某校随即抽取50个学生，其中男生27人，女生23人，问该校男女生的人数是否相同？三、2的抽样分布。,.,62单向表的2检验,一、按一定比率决定理论频数的2检验二、一个自由度的2检验三、频数分布正态性的2检验,.,一、按一定比率决定理论频数的2检验,例如：大学某系54位老年教师中，健康状况属于好的有15人，中等的有23人，差的有16人，问该校老年教师健康状况好、中、差的人数比率是否为1：2：1？,.,练习,某师范大学对化学教师的素质进行调查，调查对象为化学师范专业学生。在调查表中有这样一个问题：你认为化学教师最重要的能力是：1自学能力，2教学能力，3实验研究和教学研究能力。在收回的60份调查表中，选1的22人，选2的26人，选3的12人。问题：从调查结果看，学生对这三种能力的看法是否有差异？他们认为哪种能力最重要？,.,二、一个自由度的2检验,1。各组的ft5的情况。例如：从小学生中随即抽取76人，其中50人喜欢体育，26人不喜欢体育，问该校学生喜欢和不喜欢体育的人数是否相等？,.,2。各组的ft5的情况。运用亚茨连续性校正法。（10.2）例如：某区中学共青团员的比率为0.8，现从该区某中学随即抽取20人，其中共青团员有12人，问该校共青团员的比率与全区是否一样？,.,三、频数分布正态性的2检验,.,63双向表的2检验,把实得的点计数据按两种分类标准制成的表就是双向表。横行所分组数用r表示纵行所分组数用c表示rc表的2检验,.,一、独立性的2检验,例如：家庭经济状况属于上、中、下的高三毕业生，对于是否愿意报考师范大学有三种不同的态度（愿意、不愿意、未定），其人数分布如表6.1括号外面的数据。问学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况是否有关系？,.,表6.1学生对报考师范大学的态度与家庭经济状况之间的关系,.,二、同质性的2检验,例如：从甲、乙、丙三个学校的平行班中，随即抽取三组学生，测得他们的语文成绩如表6.2括号外面的数据。问甲、乙、丙三个学校此次语文测验成绩是否相同？,.,表6.2三个学校语文成绩的双向表,.,64四格表的2检验,一独立样本四格表的2检验1。缩减公式2值的计算2。校正2值的计算二相关样本四格表的2检验1。缩减公式2值的计算2。校正2值的计算,.,一独立样本四格表的2检验1。缩减公式2值的计算,.,表6.3乙、丙两个学校语文成绩的双向表,.,2。校正2值的计算,例如：高二40个学生数学测验成绩如表6.4，问男女成绩数学成绩有无本质差异？,.,二相关样本四格表的2检验1。缩减公式2值的计算,2=（b-c)2/(b+c)例如：124个学生1000米长跑，训练一个月前后两次测验达标情况如下表6.5，问一个月的训练是否有显著效果？,.,表6.5训练前后两次测验情况表,.,2。校正2值的计算,例如：某校将参加课外阅读活动的14个学生与未参加此类活动的14个学生，根据各方面条件基本相同的原则进行配对，测得他们的阅读理解成绩如下表，问课外阅读活动对提高阅读能力是否有良好的作用？,.,表6.6课外阅读活动对阅读理解能力的影响,.,第七章相关分析,71相关的意义相关散布图正相关。负相关。零相关。相关系数。,.,72积差相关,一积差相关的概念。二积差相关的使用条件。三积差相关系数的定义公式。四积差相关系数的计算。五相关系数的等距转换及其合并。,.,例如，为了考察数学与物理两们学科成绩的相关程度，从、北京、上海、广州各随机抽取某年全国统一高考的数学与物理试