矩阵理论-第四讲 最小多项式

矩阵理论第4讲-1,矩阵理论-第四讲,兰州大学信息科学与工程学院2004年,矩阵理论第4讲-2,上节内容回顾,化方阵A为Jordan标准形特征向量法初等变换法多项式矩阵（矩阵）多项式矩阵的Smith标准型不变因子、初等因子行列式因子法的相似变换矩阵P的求法,在A的Jordan矩阵中构造k个以为对角元素的Jordan块k个Jordan块的阶数之和等于,矩阵理论第4讲-3,Hamilton-Cayley定理,任一方阵都是它的特征多项式的根Hamilton-Cayley定理设，则证明：由于显然,矩阵理论第4讲-4,Hamilton-Cayley定理,任一方阵都是它的特征多项式的根证明：考察J：,矩阵理论第4讲-5,Hamilton-Cayley定理,将J写成如下形式：上式中是A的n个根，所以将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：将代入上式：,矩阵理论第4讲-6,Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第4讲-7,Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第4讲-8,Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第4讲-9,Hamilton-Cayley定理,任一方阵都是它的特征多项式的根证明：仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵：设其中：是的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：,矩阵理论第4讲-10,Hamilton-Cayley定理,设是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么是次数为n的多项式：再考察，其每个元素的次数均不超过n1:,矩阵理论第4讲-11,Hamilton-Cayley定理,令:利用矩阵加法的定义将分解,矩阵理论第4讲-12,Hamilton-Cayley定理,考察等式的右边：考察其左边：比较两边的系数：,矩阵理论第4讲-13,Hamilton-Cayley定理,以依次右乘这些等式：,=,矩阵理论第4讲-14,Hamilton-Cayley定理的应用,化简矩阵多项式的计算：当n阶方阵的矩阵多项式中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式表示为与商的积，再加上余式的形式：那么根据Hamilton-Cayley定理这样可简化的计算多项式的带余除法设，为任意多项式，不恒等于0，则必有两个多项式和，使得式中或,矩阵理论第4讲-15,Hamilton-Cayley定理的应用,举例：给出：求；,矩阵理论第4讲-16,Hamilton-Cayley定理的应用,商：,矩阵理论第4讲-17,Hamilton-Cayley定理的应用,所以：第2个问题第3个问题,：待定系数法,矩阵理论第4讲-18,方阵的零化多项式和最小多项式,方阵的零化多项式设，是多项式，如果成立，则称为方阵A的零化多项式是A的零化多项式不恒等于零，是A的零化多项式方阵的最小多项式设，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为设，且，成立，且是唯一的证明：采用反证法设是A的任一零化多项式，假设不能整除，则根据多项式的带余除法：,矩阵理论第4讲-19,方阵的零化多项式和最小多项式,而是A的最小多项式：与假设矛盾再证最小多项式的唯一性假设也是A的最小多项式首先，、均成立其次，与次数相同，否则其中一个不是最小多项式因此，、的商为常数因子又因为与都是首一的，此常数因子必等于1所以,矩阵理论第4讲-20,方阵的零化多项式和最小多项式,定理矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A的特征根证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即设是的特征值，矩阵多项式的特征值为并且，若则A的任一特征值满足是A的次数最低的、首一的零化多项式：即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根又：设是的根，即，可得是A的特征根,矩阵理论第4讲-21,方阵的零化多项式和最小多项式,矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式的一个方法：设的所有不同的特征值为，则其特征多项式可写为：那么A的最小多项式应该具有如下形式：这就是下述定理所描述的内容：定理设，是A的所有互不相同的特征值，则其中是A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数,矩阵理论第4讲-22,方阵的零化多项式和最小多项式,矩阵理论第4讲-23,方阵的零化多项式和最小多项式,定理设，是A的特征矩阵的n1阶行列式因子，则A的最小多项式为：,矩阵理论第4讲-24,方阵的零化多项式和最小多项式,举例：求的最小多项式方法1最小多项式只能有以下形式次数从低到高依次验证所以,矩阵理论第4讲-25,方阵的零化多项式和最小多项式,举例：求的最小多项式方法2(Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数,矩阵理论第4讲-26,方阵的零化多项式和最小多项式,举例：求的最小多项式方法1(第n阶不变因子),矩阵理论第4讲-27,方阵的零化多项式和最小多项式,举例：求的最小多项式方法2(Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数,矩阵理论第4讲-28,多项式矩阵的逆,多项式矩阵的逆设，若，使得成立则称是可逆的，或称是单模矩阵多项式矩阵的逆是唯一的设也是的逆，则多项式矩阵可逆的充要条件可逆证明：必要性假设可逆，则，成立,矩阵理论第4讲-29,多项式矩阵的逆,充分性设，则使得其中，是的伴随多项式矩阵,矩阵理论第4讲-30,初等矩阵及多项式矩阵的等价,结论：对多项式方阵，满秩未必可逆初等多项式矩阵都是可逆的初等多项式矩阵都是单模的,矩阵理论第4讲-31,多项式矩阵的等价,与有相同的行列式因子，或相同的不变因子证明：必要性多项式矩阵的Smith标准形的唯一性与有相同的不变因子多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系与有相同的行列式因子,矩阵理论第4讲-32,多项式矩阵的等价,充分性设与有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），则它们与同一个Smith标准形等价，即矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系定理相似矩阵有相同的最小多项式证明：,矩阵理论第4讲-33,多项式矩阵的互质性简介,右公因子(RightCommonFactor)：设与，如果存在多项式矩阵、以及，使得及成立则称多项式矩阵是与的右公因子左公因子(LeftCommonFactor)设与，如果存在多项式矩阵、以及，使得及成立则称多项式矩阵是与的左公因子最大右公因子(greatestcommonrightdecompositionfactor,gcrd?)是与的右公因子；与的任一其它的右公因子都是的右乘因子,矩阵理论第4讲-34,多项式矩阵的互质性简介,gcrd的存在性及，其gcrd都存在。gcrd的构造定理若存在单模矩阵，使得则即为与的一个gcrd证明：先证是右公因子。为此，把的逆矩阵写成分块矩阵：,矩阵理论第4讲-35,多项式矩阵的互质性简介,以左乘定理中的等式两边，可得比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知是与的右公因子再证是gcrd，即若为与的另一右公因子，证明是的右乘因子，将代入,矩阵理论第4讲-36,多项式矩阵的互质性简介,可得gcrd的求法若对分块多项式矩阵进行一系列初等行变换，使其下面的mn分块成为零多项式块则就是求与的gcrd的变换矩阵，就是所求的gcrd,矩阵理论第4讲-37,多项式矩阵的互质性简介,求gcrd举例给出求,矩阵理论第4讲-38,多项式矩阵的互质性简介,求gcrd举例,矩阵理论第4讲-39,多项式矩阵的互质性简介,gcrd的基本性质不唯一性。单模矩阵满秩满秩单模单模若，则,矩阵理论第4讲-40,多项式矩阵的互质性简介,gcrd的基本性质对及，若则可表示为事实上，由gcrd的构造定理取，即可,矩阵理论第4讲-41,多项式矩阵的互质性简介,多项式矩阵的互质称与是右互质的，若为单模矩阵多项式矩阵的互质的Bezout判别准则与右互质使Bezout等式成立证明：必要性与右互质为单模矩阵，以其逆左乘构造定理中的上分块矩阵等式可得,矩阵理论第4讲-42,多项式矩阵的互质性简介,令则充分性得证充分性设Bezout等式成立：给定一个则及，使得成立代入Bezout等式从而是单模矩阵与右互质,矩阵理论第4讲-43,多项式矩阵的互质性简介,多项式矩阵的互质的Smith标准形判别准则与右互质分块多项式矩阵的Smith标准形为即：证明：必要性,矩阵理论第4讲-44,多项式矩阵的互质性简介,由gcrd构造定理有：(1)其中，是单模矩阵若与右互质是单模矩阵设的逆为，以其右乘(1)式由于等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形必要性得证,矩阵理论第4讲-45,多项式矩阵的互质性简介,充分性若成立与（均为单模阵），使得成立，设的逆为，以其右乘上式，可得由构造定理，且单模与右互质,矩阵理论第4讲-46,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的行次数和列次数对多项式矩阵，定义分别为的第i行次数和的第j列次数，分别记为：举例:,矩阵理论第4讲-47,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的列次表示式多项式矩阵可用其列次数表示为列次表示式其中，是一对角阵；：列次系数矩阵，其第j列为的第j列中相应于项的系数组成的列；：低次剩余多项式矩阵，且,矩阵理论第4讲-48,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的行次表示式多项式矩阵可用其行次数表示为行次表示式其中，是一对角阵；：行次系数矩阵，其第i行为的第i行中相应于项的系数组成的行；：低次剩余多项式矩阵，且,矩阵理论第4讲-49,多项式矩阵既约性简介,多项式方阵的行列式与其列次的关系多项式方阵的行列式可表示为如下形式多项式方阵的行列式与其行次的关系多项式方阵的行列式可表示为如下形式多项式方阵的行次和与列次和的关系多项式方阵的行次和等于列次和,矩阵理论第4讲-50,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的既约性列既约设，若则称是列既约的行既约设，若则称是行既约的,矩阵理论第4讲-51,多项式矩阵既约性简介,举例,是列既约的，但不是行既约的,矩阵理论第4讲-52,多项式矩阵既约性简介,定理对，则是列既约的是行既约的证明：先证第一项由于故当且仅当时（即满秩），有根据列既约的定义，为列既约的同理可证第二项,矩阵理论第4讲-