6.1留数的概念及留数的求法（课堂PPT）

复变函数论,FunctionsofOneComplexVariable,湖南第一师范学院数理系,1,第六章留数理论及其应用,6.1留数,6.2用留数定理计算实积分,6.3辐角原理及其应用,2,1.留数的定义及留数定理,设函数f(z)在点a解析.作圆C:|za|=r,设函数f(z)在区域0|z-a|R内解析.选取r，使0rR，并且作圆C:|za|=r,如果f(z)在a也解析，则上面的积分也等于零；,使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西积分定理,6.1留数,3,如果a是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零.,定义6.1设f(z)在点a的某去心邻域0|za|R内解析，则称积分,为f(z)在孤立奇点a的留数(residue)，记作,4,而且这一展式在上一致收敛。逐项积分，我们有,因此,注1.我们定义的留数与圆的半径无关：事实上，在0|z-a|R内，f(z)有洛朗展式：,5,注2.f(z)在孤立奇点a的留数等于其洛朗级数展式中,的系数c-1。,注3.如果a是f(z)的可去奇点，那么,6,柯西留数定理,定理6.1如果f(z)在周线或复周线C所围的区域D内，除a1，a2，an外解析，在闭域D+C上除a1，a2，an外连续，则,7,8,留数定理的证明,以D内每一个孤立奇点ak为心，作圆k，,使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些k为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及k.,在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理，,9,注1.留数定理在两个完全不同，也不相干的概念之间架起了一座桥梁.,注2.具体计算一定要注意前面的系数2i.,注3.柯西积分定理与柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形.,注4.留数定理把计算周线积分的整体问题化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题.,10,2.留数的求法,计算f(z)在孤立奇点a的留数时，我们只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数c-1，应用洛朗级数是求留数的一般方法.但是对于奇点较多的情形此法较繁.,对于计算f(z)在极点a处的留数时，我们有下面的定理：,11,定理6.2设a为f(z)的n阶极点，,12,推论6.3设a为f(z)的二阶极点，,定理6.2的结论也可写成,推论6.3设a为f(z)的一阶极点，,13,定理6.5设a为的一阶极点.,其中P(z)及Q(z)在a解析，P(a)0，Q(a)=0.,14,例1.函数,因此,有两个一阶极点z=i，这时,15,例2.函数,在z=0有三阶极点，而,因此,由上述公式也可得：,16,例3.函数,在z=i有二阶极点.这时,令z=i+t，那么在,的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在z=i处的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：,17,当|t|1时,因此当|t|1时，,于是,18,由上述公式也可得：,19,例6.3计算积分.,解只以z=0为三阶极点.,20,例6.4计算积分.,解法一,21,例6.4计算积分.,解法二的全部零点为,在|z|=1内只有z=0一个零点.且为被积函数