矩阵特征值与特征向量的计算（课堂PPT）

第3章矩阵特征值与特征向量的计算,刘广利,1,在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。,引言,2,引言,3,定义1设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使则称A与B相似。,定理1若矩阵A,BRnn且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。,引言,4,定理2：设ARnn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关,其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。,的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为,对角阵，即有可逆阵P，使,5,定理3：ARnn，1,n为A的特征值，则,（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即,（1）A的迹数等于特征值之和，即,6,定理4设ARnn为对称矩阵，其特征值12n，则,（1）对任意ARn，x0，,（2）,（3）,其中称为关于x的Rayleigh（雷利）商。,7,定理5（圆盘定理）设ARnn，则,表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。,（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余,（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，,nm个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。,8,定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。,例1设有估计A的特征值的范围。解：由圆盘定理：D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值1（因为虚根成对出现的原理），则315。而2、3D2D3，则,9,3.1乘幂法与反幂法,3.1.1乘幂法,10,11,12,13,14,x(K+2),15,16,17,18,定理6设ARnn有完全特征向量系，若1,2,n为A的n个特征值且满足,对任取初始向量x(0)Rn，对乘幂公式,确定的迭代序列xk，有下述结论：,（1）当时，对i=1,2,n,收敛速度取决于的程度，r1收敛快，r1收敛慢，,且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。,19,（2）当时,a）若1=2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；,收敛速度取决于的程度。向量、,c）若，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，,分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。,然后对j=1,2,n解方程,b）若1=-2，对i=1,2,n,20,求出、后，由公式,解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于的程度。,向量、分别为相应于1，2,的特征向量的近似值。,21,22,规范化乘幂法,令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使,则,max(x)=xi0,对任取初始向量x(0)，记,定义,一般地，若已知x(k)，称下面的公式为规范化乘幂法公式（改进的乘幂公式）：,23,定理7设ARnn具有完全特征向量系，1,2,n为A,则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列,(1),(2)y(k)为相应于主特征值1的特征向量近似值,的n个特征值，且满足,y(k)，x(k)满足,24,例2用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及相应特征向量,25,26,3.1.2反幂法,如何计算,解线性方程组,对应同样一组特征向量。,设ARnn可逆，则无零特征值，由,有,27,规范化反幂法公式为,28,29,3.1.3乘幂法的加速：原点位移法,30,31,32,原点移位法是一个矩阵变换过程，变换简单且不破坏原矩阵的稀疏性。但由于预先不知道特征值的分布，所以应用起来有一定困难，通常对特征值的分布有一个大略估计，设定一个参数0进行试算，当所取0对迭代有明显加速效应以后再进行确定计算,33,34,35,3.2子空间迭代法,36,37,对n维向量空间，设1,n为Rn上n个线性无关的向量，,类似有,38,即,Q为正交阵，R为上三角阵,39,将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为,斯密特正交化方法。,斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。子空间迭代法也称平行迭代法，是乘幂法的推广，一次可以求出矩阵的前几个按模最大的特征值和特征向量。,40,41,42,43,3.3雅克比(Jacobi)旋转法,1预备知识,1）若B是上（或下）三角阵或对角阵，,则B的主对角元素即是B的特征值。,2）若矩阵P满足PTP=I，则称P为正交矩阵。,显然PT=P-1，且P1,P2,是正交阵时，,其乘积P=P1P2Pk仍为正交矩阵。,44,3）称矩阵,为旋转矩阵（i不等于j）,45,2雅克比方法,先以二阶矩阵为例：,46,47,设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0=A，对A作一系列旋转相似变换,其中Ak(k=1,2,)仍是对称矩阵，Pk的形式,48,Pk是一个正交阵，我们称它是（i,j）平面上的旋转矩阵,PkAk-1PkT只改变A的第i行、j行、i列、j列的元素；,Ak和Ak-1的元素仅在第P行（列）和第q行（列）不同，,它们之间有如下的关系：,49,50,我们选取Pk，使得，因此需使满足,将限制在下列范围内,如果,51,直接从三角函数关系式计算sin和cos，记,则,当时，有下面三角恒等式：,52,于是,采用下面公式计算sin2,53,54,特征向量的计算：,P0=I,记,Pk的元素为：,55,算法：,1从A(k-1)中找出绝对值最大元素,2若，则为对角阵，停,若,（1）令,56,（3）,57,（4）,58,（5）计算特征向量,P0=I,59,60,练习：,61,3.4Householder方法,计算A的部分或全部特征值、特征向量计算过程：利用正交相似变换将A化为对称的三对角矩阵C应用对分法计算C的特征值计算相应的特征向量,62,3.4.1实对称矩阵的三对角化,旋转变换：CPTAP，将A化为三对角矩阵，使某个事实上，只需记上述旋转矩阵PPi,j,k取P下标231,241,2n1;342,352,3n2;(n-1)n(n-2)依次对A进行正交相似变换，便可将A化为三对角C,63,64,反射变换,反射矩阵或Householder矩阵,性质：,(1)对称矩阵：,(2)正交矩阵：,(3)对合矩阵：,(4)保模变换：,65,Householder变换,定理,设x,yRn,xy且|x|2=|y|2，则存在n阶反射变换H，使得y=Hx。,证：,取,又,66,Householder变换,定理表明：对任意的非零向量xRn，存在反射矩阵H，使得Hx=e1，其中|=|x|2,e1=(1,0,.,0)T，且,注：为了防止与x1互相抵消，通常取=-sign(x1)|x|2,67,将A化为三对角矩阵的具体作法,令A0A，根据下面公式定义的H将A0的第3n个分量化为零，此时对称矩阵A1H1A0H1的第1行第1列成为三对角再按照下面的公式构造H2，如此下去就可以,68,69,70,3.4.2求对称三角矩阵特征值的对分法,考虑对称三角阵记C-I的左上角的k阶主子式为pk()，且p0()1，可得：,71,同号数,对固定的，序列pk()相邻两数符号相同的个数。如果为0则规定与前一个数同号。,72,定理,73