杭州地铁最优票价模型最终版

2014年浙江理工大学数学建模竞赛题目： A B （在相应的题号上打钩）姓名年级（注1）专业联系方式肖阳本科二年级电子信息工程王佩旭本科二年级应用数学许佳鹏本科二年级应用数学（注1）：须注明本科生专业及年级浙江理工大学 理学院 数学建模实践基地二一四年三月杭州地铁最优票价模型摘要本文系统描述和分析城市轨道交通主要的票价结构、计费方法,对各种计费方法进行全面比较,论述制定票价应考虑的基本因素;提出应在综合考虑各种因素的基础上,由政府组织,保证科学合理地制定城市轨道交通的票价。城市轨道交通的发展, 必须首先解决自身的经营如何步入良性循环的问题。本文分析了地铁票制的种类及其优缺点, 以及计程票制的计程方法及计价方法讨论了基本服务价格存在的必要性。地铁的票价应考虑社会的综合效益, 建议采用计程制票价, 收取基本服务费。同时，在综合考虑城市公共交通发展、消费者承受能力、地铁运营成本等诸多因素的情况下，为了制定一套合理的定价方案。本文建立三个模型：模型1 考虑如何平衡公交运营成本以及社会效益之间的关系，模型2 考虑如何最大限度地实现客流运输的目标或最大限度地实现运营收入的目标，模型3 基于拉姆塞定价理论的定价模型，考虑如何通过灵活多样的票价政策来平衡运营收益与乘客利益，最终在权衡各种利弊得失后，在三个模型基础之上确定了一套合理的定价方案，它将时段分为低峰期和高峰期，不同的时段起步价和封顶价都有所差异。交通的票价政策应当是符合市民收入水平, 能够有效引导出行需求,并能为交通行业的各个参与方(政府、运营公司和乘客)创造最大效益的重要管理工具。在文章的最后，以通俗的语言向普通大众介绍了本文的研究成果，希望本文对广大人民群众对地铁票价机制的形成有所了解，并积极支持杭州城市轨道交通的发展。关键词： 地铁票价定价 层次分析法 最优票价 计程制 Ramsey模型一、 问题的背景及重述杭州地铁1号线开通一年多了，给杭城的老百姓带来了便利，尽管在运行中出现了这样那样的问题、漏水、站点拥堵等等，但总算正常运营了一年多了，却出现了亏损的状况。有媒体报道在2012年上半年土地财政出现罕见的负增长后，杭州市政府正面对着尴尬的双重困境自从2012年8月公布地铁票价两套备选方案以来，素来被宣传为“惠民工程”的地铁，却一直顶着“最贵票价”的头衔；另一方面，财政日益捉襟见肘，却还得疲于应付地铁运营后的巨大亏损。2012年10月18日，杭州市政府公布了最终方案：起步价2元、最高8元。与最高9元的另一方案相比，降低票价和随之推出的打折方案，无疑是一次让步。然而，却依然难以消除市民的反对声。据报道，香港铁路有限公司公布的财报显示，2013年上半年杭州杭港地铁有限公司亏损1.61亿港元。根据所学知识，运用数学建模的方法，解决以下几个问题：1、 请给出你认为合理的杭州地铁1号线定价方案，并说明你的合理性。2、 根据你给定的定价方案，请说明杭州地铁1号线还会出现亏损吗？并给出详细的分析计算过程。3、 杭州地铁目前还没有成网，可否根据你的1号线定价方案预测将来杭州地铁组成网络后，整体上是否还会亏损？定价方案是否需要调整？若调整请给出调整后的定价方案。二、模型假设1）假设地铁每公里的造价为5亿元人民币，则杭州地铁一号线的总造价为240亿元人民币。2）短期内，假设为一年.轨道公司的营运成本保持不变。3）在成本核算时不考虑广告等收入的影响。4）不考虑公共交通由于外界原因造成的影响；不考虑坐车、候车的成本；不考虑天气、环境对公共交通的影响；不考虑人民币价值变动的影响。5)忽略在整个路线中人口分布的不均匀性，假设整个路线中各地区人口分布是均匀的，也就是假设各个站的客流密度是相同的。6)忽略在整个路线中经济水平的不均匀性，假设整个路线各地区经济水平是均匀的。7）假设全程票价等于各站票价的加和。8）假设仅讨论轨道修建成本还未收回时的票价情形。9）假设轨道修建总成本为H，并且H是固定的，忽略银行贷款利息。10）假设杭州地铁一号线的成本回收年限为50年。11）客流量随价格的变动变化。三、主要符号说明P/P(n) 票价起步价票价率乘距Q客流量H轨道修建总成本T年固定运营成本C边际总成本DW票价累加量N回收年限J基本票价SR运营收入FY修建成本与运营成本的总和SS提高票价造成的运营损失LR企业净利润四、问题分析交通票价问题向来是敏感而又复杂的问题，其往往具有双面性：过高的票价会使众多居民不堪负重，也可能使得铁路部门因售票情况不佳而损失惨重；过低的票价一方面可能使建设和运营成本难以收回。因此问题的关键就是如何根据影响票价的诸多因素，制定合理的价格策略，使得轻轨运作实现可持续正常健康发展，避免形成价格策略与乘客选择间的囚徒困境。一般而言，票价制定需考虑的因素有：1) 服务水平(1) 时间:包括票卡销售后的生效时间、票卡使用有效期、票卡使用日期或时段限制、特殊票种的有效期等。(2) 空间:包括乘坐距离、区间等。(3) 服务水平:包括乘坐舒适度、旅行速度和准时性等。(4) 交通模式与多模式衔接:考虑使出行者在最佳条件下(比如票价优惠)实现不同模式间的换乘。“多模式换乘”功能要求公交车线网与城市轨道交通线网相互衔接、共同发展, 为轨道交通提供接驳。实现“多模式换乘”功能应当以综合公交网络作为出发点,协调处理好各层面不同模式之间的衔接和互补,包括服务衔接和互补、票价政策的协调及票务系统的通用性。(5) 服务数量:包括一次出售多张票卡等。(6) 安全性:包括乘车安全及站车次序等。2) 限制性因素制定票价时, 充分考虑可能存在的各种乘客群, 针对他们的特点和需求,为同一种服务项目确定不同水平的票价,特定人群可以享受折扣票价甚至免费服务。3) 运营成本其组成为:投资回收及运营设施设备的更新费用、人力费用、能耗费用和维修费用。在处理票价与运营成本的问题上, 有两种选择:一是将全部运营成本分摊到车票收入中, 运营公司无需额外补贴,如香港。二是将部分运营成本分摊到车票收入中,成本与收入之间的差额比例根据各地线网的具体情况而定, 差额由地方或国家补偿。这是大多数城市采用的方法,通常其票价水平是由政府制定的。 五.模型一的建立与求解5.1 票价、运量、运能的关系客运量与票价水平是相互影响的。从乘客角度来说, 票价越高, 客运量就相应减少从运营方面说, 按供求关系分析, 客运量越大, 则票价有提升的空间。同时客运量还受运能的限制。因此从票价、运量、运能的关系来看, 必须存在一个最佳平衡点,此平衡点即为最优票价。应通过客流特征的分析,采取合理的票价政策, 通过运能挖潜, 尽可能使票价方案接近最优票价。其计算公式如下:其中 为票价, 为起价, 为票价率, 为乘距。从运营成本考虑,乘距越长，成本越低。因而,可采用不同乘距票价率不同的计价方法。用公式表示: ,式中ri为随乘距的增加而递减的票价率。5.2 合理价格票制的制定一般来讲, 政府主要考虑市民票价的承受能力, 以及轨道交通作为城市公共交通的主力如何最大程度吸引客流, 以缓解地面交通。我们应该在政府控制票价的总体水平下建议市府明确起步价、分段费率的最高上限, 企业自主确定票价结构,早日形成科学的票价体系, 实行按乘距收费的多级票制。从官网了解到，杭州地铁票制采用里程分段计价，1号线起步价为2元/人次，最高价为8元/人次。具体方案为：起步价2元可乘4公里，412公里每1元可乘4公里，1224公里每1元可乘6公里，24公里以上每1元可乘8公里。 以下人群，可以免费或优惠购票： 离休干部、残疾军人、因公致残的人民警察、重度残疾人及盲人，凭有效证件免费乘车；70岁以上老人（包括外地游客）大部分时间可免费乘车，但在法定工作日高峰时段（7：008:30；17:0018:00）乘车，要买半票；6070岁（不含70岁）的老年人（包括外地游客），凭有效证件享受票价的5折优惠；杭州市内的中小学生及职高、中专、技校学生，凭有效证件享受票价的5折优惠；成年乘客可免费带一名身高不足1.3米的儿童乘车，超过1名的，按照超过人数买票。普通乘客通过购买储值卡去刷卡坐地铁，也能享受票价9.1折的优惠。优惠之后，地铁1号线的票价最低为1.82元，最高为7.28元。这个储值卡的范围，包括市民卡、公交卡（除自行车租车专用卡外）、杭州通通用卡等等表5-1 方案一 最高票价(元)2468现行方案04km4-12km1224km2436km票价率（元/千米）-具体用分段函数表示为（D为乘距，P(D)为最高票价，单位：公里）：PD=2 0D42+14D-4 4D124+16D-1212D246+18D-2424D36现行方案票价-乘距图：图5-1 票价跟乘车距离的关系图我们小组觉着现行定价方案是有一定合理性的，对于政府而言，它要求实现最大的社会效益，企业则要，实现最大的经济效益,因此要具体问题具体分析。这里以杭州地铁一号线（下沙方向）路线为例来进行（说明：下沙方向共经28站）。图5-1 杭州地铁一号线路线图 显而易见，降低票价，上限票价也较低，这无疑会吸引更多的乘客。的确，有竞争性的票价是适应市场的积极反映，是服务市民总值的体现。但在激烈的市场竞争下，尤其是在地铁未形成网络的初期，价格下浮很容易被当作争夺有限客源的手段，导致疏于管理和运营策略跟不上等问题，当然也会使地铁的修建成本无法如期收回。因此，过低的票价是不合理的 而里程分段的计程票制是科学合理的，适合站间距差异较大和网络化程度较高的城市，可以真正实现同网同价，体现公平合理。地铁价格要对连接新城、辅城与中心城区起到鼓励作用。因此出行成本不宜过高。所以价格不要过高。不能只计算1-2元钱的多少，要从价格和客流的综合角度分析。如果能够降价5%，增加客流10%，那就是合算的。所以现行的计程票制是有合理性的，但也并不是说就完全不用修改，至于票价及具体收费方式是可以继续一定考量的。当前地铁还没有形成网络，在网络形成之前让地铁试运行，实行优惠半价。此外，公交卡乘坐多少次以上可以优惠，或者消费多少以上可以优惠，应该予以明确规定，以此鼓励大家选择地铁出行。六、模型二的建立与求解问题二要求综合考虑城市公共交通发展、消费者承受能力、地铁运营成本等诸多因素，给出一套合理的定价方案。为此，本文从不同角度考虑，分别建立了考虑盈亏平衡的定价模型， 考虑整个社会效益最大化的定价模型， 基于拉姆塞定价理论的定价模型3个小模型，基于篇幅和知识结构限制，三个优化模型在建立过程中以精简为主。在建模之前，本文假设票价与所乘站数有关，且其应有基本费用，具体公式如下： (5)其中，P（n）为当乘客经n站到达目的地时要付的车费；J为基本费用，它的产生由两部分决定，一方面是由轨道修建成本（H）要在规定的年限内收回而需缴纳的使用费；另一方面是由轨道的正常运营而产生的必不可少的相对固定的年固定成本（T）。DW则为票价累积量。 2、假设运营总边际成本与客流量之间存在函数关系: （7） 其中，C为运营总边际成本，Q为平均每年总客流量。从此得到 （8）因此我们得： （9） 3、 对于总客流量Q，由于乘客乘车经过的站数不尽相同，导致了乘客的票费不同，而决定车票多少的主要因素就是列车经过的站数。因此引入Pr(n),表示乘车经过n站的乘客所占的比例。不难得出Pr(n)服从正态分布，由正态分布的连续性，容易得正态分布的均值为8，即。假设在之间所占的客流比例为99.9%，且有。问题的关键是求方差。借助于标准正态分布表不难求出标准差=2.12，计算过程如下，表格见附录1。假设edx=0.999，由对称性可知，edx=0.9995，查表知=3.30，=2.12从而得Pr（n）N(8, )，其图像如图8。图 8 （10）则有坐n站的乘客的数量为Q(n)=Q* Pr(n) 又由于客流量Q与票价P有关，因此可得关系式 其中 为那些因为种种原因对价格不敏感或者只有唯一选择的乘客流量。又因为，当考虑到成本的收回和年运营固定成本的收回，J的取值也是影响客流量的主要因素之一，因此将（8）式加以改进 (13) 由此，得到运营收入S的表达式： （14） 4、成本的测算 当考虑到成本的收回，抛去轨道对公益的支持，在成本回收年限内那么轨道运营需要支付的成本费用就包括轻轨修建总成本H（假设没有银行利息等费用，H保持不变）、轨道运营中每年的固定成本T（也假设T是相对固定的）、轨道运营中的边际成本C（在此先假设Q相对固定）。 因此，我们可以确定出每年要支付的费用FY为 （15） 以下从3个角度分别论证并建立模型：6.1 考虑考虑盈亏平衡的定价模型：在此模型中将公益作为总的出发点，运营仅为收回成本，即收入（SR）与费用（FY）相平衡其临界条件为 即 要求平衡点L，必须使得 在此情况下，我们求得0.2237 ；因此，此时的票价模型为 此时全程票价为P(28)= 8.0036 。 结论：在此盈亏平衡模型中，考虑最多的是乘客的利益，企业不为营利，只做公益，公益达到最大化。但对于企业，就有点不公平。6.2 考虑整个社会效益最大化的定价模型城市轨道交通必须兼顾公众、投资者等多方利益和政府财政的承受能力. 最优票价应该是既能使轻轨充分发挥其运营能力又能使公司收益最大化。 假设轻轨的最大运能为YN。要使社会效益达到最大，就要在当地经济水平可以承受的条件下尽可能的提高票价。而票价的提高又会直接导致到客流量Q的变化，在这个变化的过程中，必然存在一个平衡点，使得利润（LR）达到最大。假设在票价提高的过程中轨道运营的固定成本及边际成本是保持不变的。在提高票价的过程中必然会引起客流量Q的下降，从而损失一部分客流量， 这就导致了SR损失了一部分SS： 此时，剩余客流量对于盈亏平衡时的票价模型 因而我们所要求的利润仅影响J的取值。在此我们把J的取值公式加以改进，得到现在的将利润放在第一位的票价模型 （21） 将J改进为： （22）因此我们得到的表达式： （23） 虽然损失了一部分客流，但由于票价的提升使得营运收入得以增加,弥补了由于损失客流而造成的营运损失。我们要做的就是找到一个平衡点，使得两者的差值达到最大，即求此时营运收入的最大值Max 。综合上式，得到在此情况下的运营收入为 整理得到，当SR取得最大值时，LR也取得最大值，此时得利润为 LR= 1 (亿元)最后整理得 （元） （25） 即为取得最大利润牺牲一部分客流量，将基本票价J由1.74（元）提高到2.65（元）。此时的票价模型为 ； 其全程票价为 点评：在此最大利润模型中，把企业利润放在第一位，对乘客造成不必要的负担。模型1和模型2的均采用单一票价制度，票价一经制定，便是一成不变的。这也正符合大部分列车的运营模式。但是，单一的票价制度存在着一些不可避免的缺陷：一方面在票价较低时的高峰期不能合理的限制流量，另一方面在票价较高的时候又不能使轻轨的运能得到充分发挥。模型3 基于拉姆塞定价理论的定价模型（Ramsey模型）基于拉姆塞定价理论延伸出的高峰定价法的前提假设是：从地铁的高峰时段到平常时段,消费者需求的价格弹性是不同的。具体地说,由于高峰时段人们上下班更关注于时间的紧迫性,对于价格的敏感程度明显低于非高峰时段,即高峰时段的需求弹性小于非高峰时段的需求弹性。公共汽车和地铁客运在公共交通方面存在某些相似性,来自美国的一份公共汽车的价格弹性的资料可以验证这一论断。在制定统一价格的情况下, 为了保证企业的盈亏平衡(假设政府不提供补贴 ), 这一价格通常比高峰时段企业的平均成本高,而比平时的平均成本低。如图61所示, 这将形成高峰时的盈利和平时的亏损。在存在政府规制且政府不给予补贴的情况下,企业在盈亏平衡点经营处经营,即价格所导致的的盈利与的亏损应大致相等,以高峰时的盈利来弥补平时的亏损。但是,正如前面所说,这种解决方案导致了社会福利的损失和社会效率的浪费。图61地铁的统一价格定价法采用高峰定价法(见图62), 在高峰时段将票价提高至，运量从降为;而在平时价格降为运量从增为 , 这时高峰与平时运量的差额为, 高于统一定价时的差额。在存在收支平衡约束的条件下,虽然价格比有所降低, 会造成一定的亏损,但是这种亏损己由高峰提价增加的利润所弥补。由于高峰与平时客运量差额的减少,使得地铁运输的社会经济效率得以提高。同时由于降低了高弹性市场的价格, 在收支平衡的情况下, 作为社会福利测度的消费者剩余得以增加,于是也改善了社会福利。当然由于在低弹性市场提高价格, 高峰定价损害了这部分消费者的利益,因此这种方法并不是一种帕累托改进, 这也是与拉姆塞定价原理有所不同的。图62地铁的高峰定价法目前国内的地铁票价大多采取单一票价制或者计程票价制,虽然这在票价上体现了公平,但是如果利用地铁票价的价格杠杆来引导客流,就可以进一步提高效率,改善社会福利。应用拉姆塞定价原理采用高峰定价法可以实现这种效果。以拉姆塞定价原则为理论基础,高峰定价法通过确立不同时段的不同价格来引导需求,实现社会福利的优化。为了在高峰期合理的调配客流量，在高峰期适当的提高票价（调整系数为I1）。而在平时相对低峰期，适当调低票价(调整系数为0Xx=1:0.1:15; y=normpdf(x,8,2.12); plot(x,y);xlabel(n);ylabel(Pr(n);附录二 MATLAB R2009a画出票价和乘距关系图的代码x=0:0.1:36;y=2.*(x0&x=4&x=12&x=24&xplot(x,y);xlabel(乘车距离);ylabel(最高票价);附录三 标准正态分布表x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.90.500 00.539 80.579 30.617 90.655 40.691 50.725 70.758 00.788 10.815 90.841 30.864 30.884 90.903 20.919 20.933 20.945 20.955 40.964 10.971 30.977 20.982 10.986 10.989 30.991 80.993 80.995 30.996 50.997 40.998 10.504 00.543 80.583 20.621 70.659 10.695 00.729 10.761 10.791 00.818 60.843 80.866 50.886 90.904 90.920 70.934 50.946 30.956 40.964 80.971 90.977 80.982 60.986 40.989 60.992 00.994 00.995 50.996 60.997 50.998 20.508 00.547 80.587 10.625 50.662 80.698 50.732 40.764 20.793 90.821 20.846 10.868 60.888 80.906 60.922 20.935 70.947 40.957 30.965 60.972 60.978 30.983 00.986 80.989 80.992 20.994 10.995 60.996 70.997 60.998 20.512 00.551 70.591 00.629 30.666 40.701 90.735 70.767 30.796 70.823 80.848 50.870 80.890 70.908 20.923 60.937 00.948 40.958 20.966 40.973 20.978 80.983 40.987 10.990 10.992 50.994 30.995 70.996 80.997 70.998 30.516 00.555 70.594 80.633 10.670 00.705 40.738 90.770 30.799 50.826 40.850 80.872 90.892 50.909 90.925 10.938 20.949 50.959 10.967 20.973 80.979 30.983 80.987 40.990 40.992 70.994 50.995 90.996 90.997 70.998 40.519 90.559 60.598 70.636 80.673 60.708 80.742 20.773 40.802 30.828 90.853 10.874 90.894 40.911 50.926 50.939 40.950 50.959 90.967 80.974 40.979 80.984 20.987 80.990 60.992 90.994 60