第九章异方差时间序列模型1（课堂PPT）

第九章异方差时间序列模型,1,Contents,第一节问题的提出第二节ARCH模型第三节GARCH模型第四节其他GARCH模型,2,第一节问题的提出,在自回归移动平均模型中，我们主要讨论平稳时间序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同时假定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差，即同方差。但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波动集群性表明股票报酬波动是时变的，表明是异方差。异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区间。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，,3,其中ut为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。,图1日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000),图2日元兑美元汇率差分序列(收益)D(JPY),4,图3收益绝对值序列(1995-2000),图4D(JPY)的平方(1995-2000),这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。图6给出一个高峰厚尾分布实例。,5,6,显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。,7,为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：由于yt的均值近似等于式（1）的估计值，所以式（1）也称为均值方程。,(1),(2),8,假设在时刻(t1)所有信息已知的条件下，扰动项ut的条件分布是：也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。由于(3)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：,(3),通常用极大似然估计得到参数0,1,2,k,0,1的有效估计。,9,第二节ARCH模型,一、ARCH模型的定义若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型描述，,（1）,（2）,则称ut服从q阶的ARCH过程，记作utARCH(q)。其中(1)式称作均值方程，(2)式称作ARCH方程。,10,(1)和(2)式还应满足如下条件。对于(1)式，为保证平稳性，特征方程,的根应在单位圆之外。xt的条件期望是,xt的无条件期望（T时）是,对于(2)式，由于的非负性，对i应有如下约束，,当全部i=0,i=1,2,q时，条件方差。因为方差是非负的，所以要求00。为保证是一个平稳过程，(2)式的特征方程,11,的根应在单位圆之外。对i,i=1,2,q的另一个约束是,对（2）式求期望的：,则无条件方差为：,可见若保证是一个平稳过程，应该有约束0(1+2+q)0并且,(L)和(L)是滞后算子多项式。,38,为了使GARCH(q,p)模型的条件方差有明确的定义，相应的ARCH()模型的所有系数都必须是正数。只要(L)和(L)没有相同的根并且(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当0=0/(1-(L)，(L)=(L)/(1-(L)的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1,1)模型这些条件要求所有的3个参数都是非负数。,39,GARCH模型的检验当原假设H0是ARCH(0)时，显然备择假设H1有两个。一个是ARCH(r)，一个是GARCH(r,0)。若原假设H0是ARCH(1)，则备择假设H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。同理若原假设H0是ARCH(q)，备择假设H1可以有两个。ARCH(q+r)和GARCH(r,q)。LM统计量无法区别这两个备择假设。但仍然可以做LM检验。在实际应用中，备择假设既可以是ARCH，也可以是GARCH。对于q值很大的ARCH模型，建议使用GARCH模型。在实际应用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足以满足对自回归条件异方差的描述。,40,第四节其他GARCH模型,一、IGARCH模型,对于ARCH(p)模型和GARCH(p,q)模型，在实际应用中，条件有时不能得到满足。下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。,（保证可以转换成无限阶的ARCH过程）,（保证GARCH过程平稳）,41,用分别表示对1,1的估计。有时会出现,甚至，。例如Engle-Chowdury（1992）对IBM收益率序列估计时，得如下结果，,42,2回推在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子（6.1.30）其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：（6.1.31）平滑参数为0.1至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化GARCH过程：（6.1.32）,43,6.1.6GARCH模型的残差分布假设在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项ut的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般会有3个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分布（GED）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的代表参数向量。1对于扰动项服从正态分布的GARCH(1,1)模型，它的对数似然函数为（6.1.33）这里的t2是ut的条件方差。,44,2如果扰动项服从学生t分布，GARCH(1,1)模型的对数似然函数的形式就是（6.1.34）这样，参数的估计就变成了在自由度k2的约束下使对数似然函数（6.1.34）最大化的问题。当k时，学生t-分布接近于正态分布。注式（6.1.34）和（6.1.35）中的()代表函数：若N是偶整数，则(N/2)=123(N/2)-1，有(2/2)=1；若N是奇整数，则，有。,45,3扰动项的分布为广义误差分布（GED）时，GARCH(1,1)模型的对数似然函数的形式为（6.1.35）这里的参数r0。如果r=2，那么GED就是一个正态分布。,46,6.1.7ARCH-M模型金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中:（6.1.38）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：（6.1.41）或取对数