高一数学必修一全套讲义

1.1集合11.1集合的含义与表示第1课时集合的含义一、基础过关1 下列各项中，不可以组成集合的是()A所有的正数 B等于2的数C接近于0的数 D不等于0的偶数2 集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是()A0A BaA CaA DaA3 由实数x，x，|x|，所组成的集合，最多含()A2个元素 B3个元素C4个元素 D5个元素4 由下列对象组成的集体属于集合的是_(填序号)不超过的正整数；本班中成绩好的同学；高一数学课本中所有的简单题；平方后等于自身的数5 如果有一集合含有三个元素1，x，x2x，则实数x的取值范围是_6 判断下列说法是否正确？并说明理由(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，组成的集合含有四个元素；(4)某校的年轻教师7已知集合A是由a2,2a25a,12三个元素组成的，且3A，求a.二、能力提升8 已知集合S中三个元素a，b，c是ABC的三边长，那么ABC一定不是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形9 已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m为()A2 B3C0或3 D0,2,3均可10方程x22x30的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则ab_.11设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合PQ中的元素是ab，其中aP，bQ，则PQ中元素的个数是多少？三、探究与拓展12设A为实数集，且满足条件：若aA，则A(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集第2课时集合的表示一、基础过关1 集合xN|x36的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合8 已知集合Ax|yx23，By|yx23，C(x，y)|yx23，它们三个集合相等吗？试说明理由二、能力提升9 下列集合中，不同于另外三个集合的是()Ax|x1 By|(y1)20Cx1 D110集合M(x，y)|xy0，xR，yR是()A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第四象限内的点集 D第二、四象限内的点集11下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是_(填序号)M，N3.141 59；M2,3，N(2,3)；Mx|1x1，xN，N1；M1，N，1，|12集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.三、探究与拓展13定义集合运算A*Bz|zxy，xA，yB设A1,2，B0,2，则集合A*B的所有元素之和是多少？1.1.2集合间的基本关系一、基础过关1 下列集合中，结果是空集的是()AxR|x210 Bx|x6或x1C(x，y)|x2y20 Dx|x6且x12 集合Px|y，集合Qy|y，则P与Q的关系是 ()APQ BPQCPQ DPQ3 下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.其中正确的个数是()A0 B1 C2 D34 下列正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的Venn图是()5 已知Mx|x2，xR，给定下列关系：M；M；M；M.其中正确的有_(填序号)6 已知集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_7 已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围8 若集合Ax|x2x60，Bx|x2xa0，且BA，求实数a的取值范围二、能力提升9 适合条件1A1,2,3,4,5的集合A的个数是()A15个 B16个 C31个 D32个10集合Mx|x3k2，kZ，Py|y3n1，nZ，Sz|z6m1，mZ之间的关系是()ASPM BSPMCSPM DPMS11已知集合A2,3,7，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有_个12已知集合Ax|1ax2，Bx|1x1，求满足AB的实数a的取值范围三、探究与拓展13已知集合Ax|xa|4，B1,2，b问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b1，b2)都有AB.若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集一、基础过关1 若集合A0,1,2,3，B1,2,4，则集合AB等于()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C1,2 D02 集合Ax|1x2，Bx|x1，则AB等于()Ax|x1 Bx|1x2Cx|1x1 Dx|1x13 若集合A参加伦敦奥运会比赛的运动员,集合B参加伦敦奥运会比赛的男运动员，集合C参加伦敦奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是()AAB BBCCABC DBCA4 已知集合M(x，y)|xy2，N(x，y)|xy4，那么集合MN为 ()Ax3，y1 B(3，1)C3，1 D(3，1)5 设集合M1,0,1，Nx|x2x，则MN等于 ()A0 B0,1C1,1 D1,0,16 设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a_.7 设A4,2a1，a2，Ba5,1a,9，已知AB9，求AB.8 设集合A2，Bx|ax10，aR，若ABB，求a的值二、能力提升9 已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m等于()A0或 B0或3 C1或 D1或310设集合A3,0,1，Bt2t1若ABA，则t_.11设集合Ax|1x2，Bx|1x4，Cx|3x2且集合A(BC)x|axb，则a_，b_.12已知方程x2pxq0的两个不相等实根分别为，集合A，B2,4,5,6，C1,2,3,4，ACA，AB.求p，q的值三、探究与拓展13已知集合Ax|2a1x3a5，Bx|x1，或x16，分别根据下列条件求实数a的取值范围(1)AB；(2)A(AB)第2课时补集及综合应用一、基础过关1 已知集合U1,3,5,7,9，A1,5,7，则UA等于()A1,3 B3,7,9 C3,5,9 D3,92 已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,43 设集合Ax|1x4，集合Bx|1x3，则A(RB)等于()A(1,4) B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)4 设全集U和集合A、B、P满足AUB，BUP，则A与P的关系是 ()AAUP BAPCAP DAP5 设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.6 设全集Ux|x0，对应关系f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”是集合M到集合N上的函数的有()A1个 B2个 C3个 D0个2 下列各组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1和yByx0和y1Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x)3 函数y的定义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x14 函数y的值域为()A1，) B0，)C(，0 D(，15 已知函数f(x)2x3，xxN|1x5，则函数f(x)的值域为_6 若Ax|y，By|yx21，则AB_7 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数(1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xy；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.8 已知函数f()x，求f(2)的值二、能力提升9 设集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A B C D10下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x11若函数f(x)的定义域是0,1，则函数f(2x)f(x)的定义域为_12如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系骑车者9时离开家，15时回家根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)1100到1200他骑了多少千米？(5)他在9001000和10001030的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？三、探究与拓展13如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法一、基础过关1 一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为 ()Ay50x(x0) By100x(x0)Cy(x0) Dy(x0)2 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水则正确论断的个数是 ()A0 B1 C2 D33 已知x0时，函数f(x)满足f(x)x2，则f(x)的表达式为()Af(x)x(x0)Bf(x)x22(x0)Cf(x)x2(x0)Df(x)(x)2(x0)4 已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(ab)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为 ()Ayx ByxCyx Dyx5 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则fff(2)_.6 已知f(x)是一次函数，若f(f(x)4x8，则f(x)的解析式为_7 已知f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.求f(x)的解析式8 已知二次函数f(x)满足f(0)f(4)，且f(x)0的两根的平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式二、能力提升9 如果f()，则当x0,1时，f(x)等于()A. B. C. D.110某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy11已知函数yf(x)满足f(x)2f()x，则f(x)的解析式为_12画出函数f(x)x22x3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1x20 B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)05 设函数f(x)是R上的减函数，若f(m1)f(2m1)，则实数m的取值范围是_6 函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_.7 画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间8 已知f(x)，试判断f(x)在1，)上的单调性，并证明二、能力提升9 已知函数f(x)的图象是不间断的曲线，f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上 ()A至少有一个根 B至多有一个根C无实根 D必有唯一的实根10若定义在R上的二次函数f(x)ax24axb在区间0,2上是增函数，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是 ()A0m4 B0m2Cm0 Dm0或m411函数f(x)(a为常数)在(2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是_12求证：函数f(x)x31在(，)上是减函数三、探究与拓展13已知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围第2课时函数的最大(小)值一、基础过关1 函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值 B有最小值无最大值C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值2 函数yx()A有最小值，无最大值B有最大值，无最小值C有最小值，有最大值2D无最大值，也无最小值3 函数f(x)，则f(x)的最大值、最小值为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对4 函数y|x3|x1|的()A最小值是0，最大值是4B最小值是4，最大值是0C最小值是4，最大值是4D没有最大值也没有最小值5 函数f(x)的最大值是()A. B. C. D.6 函数yx26x9在区间a，b(ab2xm恒成立，求实数m的取值范围1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念一、基础过关1 下列说法正确的是()A如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数2 f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)2f(x)Cf(x)f(x)0 D.13 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()Ayx25(xR) ByxCyx3(xR) Dy(xR，x0)4 已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是()A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数5. 设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0时，f(x)x2|x|1，那么x0时，f(x)_.6 设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)_.7 设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上递增，且f(2a2a1)f(2a22a3)，求a的取值范围8 已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，满足f(3)2，且对任意的实数aR有f(a)f(a)0恒成立(1)试判断f(x)在R上的单调性，并说明理由(2)解关于x的不等式f()2.二、能力提升9 已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(x)f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)11yf(x)在(0,2)上是增函数，yf(x2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是_12已知函数f(x)ax(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x3，)上为增函数，求a的取值范围三、探究与拓展13已知函数f(x)ax2bx1(a，b为常数)，xR.F(x).(1)若f(1)0，且函数f(x)的值域为0，)，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn0，mn0，a0，且f(x)为偶函数，判断F(m)F(n)能否大于零？章末检测一、选择题1 若集合Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，则AB等于()Ax|1x1 Bx|x0Cx|0x1 D2 已知函数f(x)ax2(a3a)x1在(，1上递增，则a的取值范围是()Aa BaC0a Da03 若f(x)ax2(a0)，且f()2，则a等于 ()A1 B1C0 D24 若函数f(x)满足f(3x2)9x8，则f(x)的解析式是 ()Af(x)9x8 Bf(x)3x2Cf(x)3x4 Df(x)3x2或f(x)3x45 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N(IM)，则MN等于()AM BN CI D6 已知函数f：AB(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()AMA，NB BMA，NBCMA，NB DMA，NB7 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|8 已知函数f(x)在区间1,2上的最大值为A，最小值为B，则AB等于 ()A. B C1 D19 设f(x)，则f(5)的值是()A24 B21 C18 D1610f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是()A增函数 B减函数C有增有减 D增减性不确定11若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)f(x)g(x)2在(0，)上有最大值8，则在(，0)上F(x)有()A最小值8 B最大值8C最小值6 D最小值412. 在函数y|x|(x1,1)的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x1及xt围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系的图象可表示为()二、填空题13已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)_.14已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值范围是_15若定义运算ab，则函数f(x)x(2x)的值域为_16用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为_三、解答题17设集合Ax|2x23px20，Bx|2x2xq0，其中p、q为常数，xR，当AB时，求p、q的值和AB.18已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且ag(x)b，求证：f(g(x)在(a，b)上也是增函数19函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值20已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围21某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22已知函数yx有如下性质：如果常数t0，那么该函数在(0，上是减函数，在，)上是增函数(1)已知f(x)，x0,1，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)x2a，若对任意x10,1，总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的值参考答案第1课时集合的含义1 C2.C3.A 4 5x0,1,2，.6 解(1)正确因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的(2)不正确因为高科技产品的标准不确定(3)不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素(4)不正确因为年轻没有明确的标准7 解由3A，可得3a2或32a25a，a1或a.则当a1时，a23,2a25a3，不符合集合中元素的互异性，故a1应舍去当a时，a2，2a25a3，a.8 D 9B 10211解当a0时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为1,2,6；当a2时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为3,4,8；当a5时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知PQ中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个12证明(1)若aA，则A. 又2A，1A. 1A，A.A，2A. A中另外两个元素为1，.(2)若A为单元素集，则a， 即a2a10，方程无解a，集合A不可能是单元素集第2课时集合的表示1 B2.D3.B4.C 5(1)0,1,2(2)2，1,0,1,2 (3)(2,0)，(2，0)，(0,2)，(0，2) 67 解(1)方程x(x22x1)0的解为0和1，解集为0，1；(2)x|x2n1，且x8；(4)1,2,3,4,5,68 解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件yx23中