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文档简介
第一节迭代法,三、迭代法的收敛性,一、引言,二、迭代格式的构造,四、小结,1,一、引言,2,任取代入(1.1)的右端,算得的结果记为,再以代入(1.1)的右端,算得的结果记为,如此进行下去,便得到迭代格式,二、迭代格式的构造,3,(1.2),此格式称为迭代格式,称为迭代矩阵。,由此迭代格式可构造出一个向量序列:,即为(1.1)的解。,4,令,即得(1.1).,注:若方程组由下面形式给出,5,必须指出,(1.5)中的应是便于求逆的,的最简单选择是把它选为对角阵,通常,当的对角线元素全不为零时,就把选为的对角线,于是,其中是具有的对角线元素的对角阵,而在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为,式中,是简单的对角阵,它的对角线元素是的元素的倒数。,6,例1、将方程组:,化成便于迭代的形式,最直观的方法是,将方程组改写为:,7,三、迭代法的收敛性,由关系式:,可得,8,定理对任意右端向量F和初始向量,迭代格式(1.2)收敛于(1.1)的解的充要条件是,所以,为使Jacobi迭代法收敛,即要使,.,由定理1可以看出,迭代是否收敛只与迭代矩阵的谱半径有关,而迭代矩阵是由系数矩阵演变过来的,所以迭代是否收敛是与系数矩阵以及演变的方式有关,与右端向量和初始迭代向量的选择无关。,9,在具体问题中,谱半径是很难计算的,但由于有,所以可以用来作为的一种估计。当时迭代格式一定收敛,不过这只是收敛的充分条件。,定理2若则迭代格式(1.2)收敛于(1.1)的解,且有误差估计,(1.7),10,证明因为,所以迭代格式(1.2)收敛。其次,由关系式,从而有,有,11,所以,将此式代入(1.7)式,便有,这就证明了定理2。,12,依定理2可知,当,13,其迭代格式为,14,由于迭代矩阵:,经一次迭代得:,于是有,,15,由误差估计式,可知,若使,只须,亦只须,16,由于,故,17,除了用定理1、定理2来判别迭代法的收敛性外,还可根据方程组的系数矩阵的特点给出一些收敛性的判别条件。,1)若是严格对角占优阵(各行非对角元绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵),则迭代法收敛。,设线性代数方程组的形式为,则,2)若A为对称正定矩阵,,也为对称正定矩阵,则迭代法收敛;,18,例3用Jacobi迭代法解下列方程组(精确到),(其中为A的对角元组成的对角阵,所以与只是非对角元的符号不同)。,若为对称正定阵而为非正定阵,则,迭代法不收敛。,解、显然,系数矩阵A是一个严格对角占优矩阵,所以Jacobi迭代法收敛。,19,先将方程组化成(1.1)的形式。以4,3,4分别除三个方程两边得,其迭代矩阵为,20,因为在所要求的精度内,故停止计算,即为所求近似解。,从条件中,也可以看出,对任意初始向量,迭代法收敛。取
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