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文档简介

第一节迭代法,三、迭代法的收敛性,一、引言,二、迭代格式的构造,四、小结,1,一、引言,2,任取代入（1.1）的右端，算得的结果记为，再以代入（1.1）的右端，算得的结果记为，如此进行下去，便得到迭代格式,二、迭代格式的构造,3,(1.2),此格式称为迭代格式，称为迭代矩阵。,由此迭代格式可构造出一个向量序列：,即为（1.1）的解。,4,令，即得（1.1）.,注：若方程组由下面形式给出,5,必须指出，(1.5)中的应是便于求逆的，的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当的对角线元素全不为零时，就把选为的对角线，于是,其中是具有的对角线元素的对角阵，而在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为,式中，是简单的对角阵，它的对角线元素是的元素的倒数。,6,例1、将方程组：,化成便于迭代的形式,最直观的方法是，将方程组改写为：,7,三、迭代法的收敛性,由关系式：,可得,8,定理对任意右端向量F和初始向量，迭代格式(1.2)收敛于（1.1）的解的充要条件是,所以，为使Jacobi迭代法收敛，即要使,.,由定理1可以看出，迭代是否收敛只与迭代矩阵的谱半径有关，而迭代矩阵是由系数矩阵演变过来的，所以迭代是否收敛是与系数矩阵以及演变的方式有关，与右端向量和初始迭代向量的选择无关。,9,在具体问题中，谱半径是很难计算的，但由于有，所以可以用来作为的一种估计。当时迭代格式一定收敛，不过这只是收敛的充分条件。,定理2若则迭代格式（1.2）收敛于（1.1）的解,且有误差估计,（1.7）,10,证明因为，所以迭代格式（1.2）收敛。其次，由关系式,从而有,有,11,所以,将此式代入（1.7）式，便有,这就证明了定理2。,12,依定理2可知，当,13,其迭代格式为,14,由于迭代矩阵：,经一次迭代得：,于是有，,15,由误差估计式,可知，若使,只须,亦只须,16,由于,故,17,除了用定理1、定理2来判别迭代法的收敛性外，还可根据方程组的系数矩阵的特点给出一些收敛性的判别条件。,1)若是严格对角占优阵（各行非对角元绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵），则迭代法收敛。,设线性代数方程组的形式为,则,2）若A为对称正定矩阵，,也为对称正定矩阵，则迭代法收敛；,18,例3用Jacobi迭代法解下列方程组（精确到）,(其中为A的对角元组成的对角阵，所以与只是非对角元的符号不同）。,若为对称正定阵而为非正定阵，则,迭代法不收敛。,解、显然，系数矩阵A是一个严格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法收敛。,19,先将方程组化成（1.1）的形式。以4，3，4分别除三个方程两边得,其迭代矩阵为,20,因为在所要求的精度内，故停止计算,即为所求近似解。,从条件中，也可以看出，对任意初始向量，迭代法收敛。取
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