力学中的数学方法ppt课件

1,四、矢量的协变导数,1)矢量的偏导数,变换最后一项中两个哑指标的字符，,称为逆变矢量vi的协变导数。,协变矢量vi的协变导数。,2,2)矢量的微分,3,3)协变导数是二阶张量,设坐标系xi作容许变换成新坐标系yi把矢量V用它在的分量表示为,复合求导,4,上式表明在坐标变换时，vi|j服从二阶协变张量的变换法则，因此vi|j是二阶协变张量。求导的指标j服从张量的协变分量的变换法则，所以叫协变导数。同样可以证明vi|j是二阶混合张量。求导的指标j是协变指标。,由此可知，一阶张量(矢量)的协变导数是另一个张量，它比原来的张量高一阶，增加一个协变指标。,由此可以推论,协变导数的指标可以提升和下降：,5,五）、二阶张量的协变导数,1)二阶张量的协变导数,上式对于xk求导，可得:,用两个矢量乘一个张量得到一个标量：,如果定义:,6,二阶张量的协变导数的定义。,7,1.8物理分量与力学方程,8,一）、一阶张量的物理分量,基矢量不一定是单位矢量基矢量的量纲可以不同矢量的各个协变分量（或逆变分量）不一定有相同的量纲,例题,圆柱坐标系xi的基矢量,只有有量纲,9,是单位向量,分量与向量V有相同的物理量纲，称为V的物理分量，沿单位矢量方向分解,10,注意：矢量的物理分量不服从张量的变换法则，因此，不是张量分量。,表示方法：,区别于：,工程中，常选择单位矢量作为基矢量,与坐标曲线相切,11,可见张量物理分量与张量分量的关系：一个物理量的张量分量是以一个特点的曲线作参考的，它们可以具有也可以不具有相同的物理量纲（一般具有不同的物理量纲），这样是为了可以有选择任意的量作为曲线坐标的自由，这是个很大的方便。,需要区分张量分量和物理分量：例如三维空间的球坐标系，一点的位置由一个长度和两个角度来定，此时必须区分张量分量和物理分量，物理分量具有相同的物理量纲。,由张量方程变换成以物理分量表示的分量方程是一个以张量“语言”进行“翻译”的过程。这种“翻译”过程非常有规律，不易出错，也不复杂。,若不采用张量方程，则在不同的曲线坐标系中，必须分别推导弹性力学的基本方程，很费事，工作量很大，甚至很困难。,12,二）、弹性力学基本方程,a）静力平衡方程,b）几何方程（应变张量与位移矢量的关系）：,1）一般情况,13,c）相容方程：,d）物理方程：,14,a）小变形几何方程（应变张量与位移矢量的关系）：,b）小变形相容方程：,c）物理方程（各向同性）：,15个方程15个未知量,2）小变形,15,3）以位移表示的平衡方程,曲线坐标系成立,16,4）直角坐标系中以位移表示的平衡方程,17,5）圆柱坐标系中以位移表示的平衡方程,位移矢量用物理分量表示为,用物理分量表示的平衡方程（无体力）,18,6）球坐标系中以位移表示的平衡方程,位移矢量在球坐标系中用物理分量表示为,用物理分量表示的平衡方程（无体力）,19,7）直角坐标系中以应力表示的相容方程,位移矢量在球坐标系中用物理分量表示为,20,三）、一个实际问题-复杂界面条件下的裂纹尖端特性,21,AyyarandChawla,2006ComposSciTechnol,Kimetal.,1998EngFractMech,Nandyetal.,1999JEurCeramSoc,多个圆形颗粒影响下的裂纹扩展路径Kim等,Nandy等,Al2O3/SiC,真实细观结构：利用最大周向应力准则模拟了SiC/Al材料内裂纹扩展路径(有限元法和位移法)Ayyar和Chawla,背景,22,ChakrabortyandRahman,2009ProbabilistEngMech,计算中面临的界面问题,23,1.相互作用积分,相互作用积分I:两种受力状态相互影响的部分。真实场：辅助场：,I积分Sternetal.,1976IntJFract,(叠加原理),24,相互作用积分为无限趋于裂尖的回路积分,25,2.等效区域积分,材料属性连续时，得到相互作用积分公式,与J积分和传统I积分相比：此公式不要求材料属性可导。,DolbowandGosz,2002，IntJSolidsStruct,对于非均匀材料，有,其中,26,材料属性和力学场连续，可采用散度定理,积分区域被界面分割时，无法直接采用散度定理,I积分是否无法求解？,27,相互作用积