第四节_二次型及其矩阵表示ppt课件

.,1,第六章二次型,第四节二次型及其矩阵表示第五节标准型第七节正定二次型,第八节正交替换化二次型为标准形,.,2,观察如下多项式：,共同点：多项式中每一项都是二次的。,我们把这样的多项式称为二次型。,一二次型的概念,.,3,n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式,(其中所有系数aij是数域P中的数),称为数域P上的一个n元二次型，简称为二次型.,定义：,.,4,若系数aij是复数，则称f(x1,x2,xn),为复二次型.,若系数aij是实数，则称f(x1,x2,xn),为实二次型.,如：,是三元复二次型,说明:,是二元实二次型,不是二次型,.,5,式也可以写成,令,二.二次型的矩阵形表示,.,6,称式为二次型的矩阵形式,则二次型可以写成：,也称为对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩,称为二次型f(x1,x2,xn)的秩.,关系，称A为二次型f(x1,x2,xn)的矩阵,f,A为对称矩阵,且与二次型f有一一对应,说明:,注:,二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是,平方项的系数,系数的一半。,.,7,如,则,.,8,例1：,写出二次型,的矩阵.,解：,二次型的矩阵为,.,9,例2：设实对称阵,求A对应的二次型.,解：因为A是3阶方阵，所以二次型有3个变量，,.,10,三可逆线性替换与二次型,的线性替换为,定义:设,.,11,则,即,若C可逆，则称线性替换为可逆线性替换,若矩阵C是正交矩阵，则称为正交线性替,换，简称为正交替换.,(或非退化线性替换),简称为可逆替换.,.,12,设二次型,为可逆替换，则有,A是对称矩阵，,也是对称矩阵.,关变,可逆线性替换将二次型变成二次型.,证：,定理:,B是它的矩阵。且,.,13,例3设二次型,及可逆替换,二次型f的矩阵为,可逆替换的矩阵为,解：,.,14,为所求新二次型.,设,.,15,四矩阵的合同,设A,B是两个n阶方阵，如果存在可逆,矩阵C，使得,则称A与B是合同的,易知,若存在可逆替换把二次型XTAX化成,二次型YTBY,则A与B合同。,定义：,合同是矩阵间的一种等价关系，满足,说明:,反身性,对称性,传递性。,.,16,数域P上n元二次型能不能经过可逆替换,化成只含平方项的二次型？,而二次型只含平方,本问题也就是：数域P上的n阶对称矩阵能不,项当且仅当它的矩阵是对角阵，因此研究的基,能合同于一个对角阵？,对于实数域上的n阶对称阵A,我们已经知,道:存在正交矩阵T使得,为对角阵,本章研究的基本问题是：,即A合同于对角阵。,从而对于实数域上的n元二,次型,存在正交替换X=TY把它化成只含平,方项的二次型，即,.,17,为A的全部特征值。,问题:,对于任意数域P上二次型及对称矩阵A,是否也有类似的结论？,即对于实数域上的二,替换化成只含平方项的二次型？,次型，能不能不作正交替换，而作一般的可逆,.,18,小结,1.二次型,2.二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应,3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同,.,19,21试证：若A是n阶方阵，n是奇数，且满足,则,证：,n是奇数，故有,.,20,23,设A为n阶方阵，,数,解：,.,21,45.,取何值时，方程组,无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求方程组的一般解。,解：,