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文档简介
第四节函数展开成幂级数,一、函数的泰勒级数二、函数展开成泰勒级数的条件三、函数展开成泰勒级数的方法四、函数展开式的应用举例,1,无,一、函数的泰勒级数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,定义,2,无穷级数,证明,3,无穷级数,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,4,无穷级数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,5,无穷级数,可见,在x=0点任意可导,6,无穷级数,三、函数展开成泰勒级数的条件,证明,必要性,7,无穷级数,充分性,8,无穷级数,证明,9,无穷级数,三、函数展开成泰勒级数的方法,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,10,无穷级数,例1,解,由于M的任意性,即得,11,无穷级数,例2,解,12,无穷级数,例3,解,13,无穷级数,14,无穷级数,两边积分,得,15,无穷级数,即,牛顿二项式展开式,注意:,16,无穷级数,双阶乘,17,无穷级数,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,例如,18,无穷级数,19,无穷级数,例4,解,20,无穷级数,21,无穷级数,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,1.近似计算,四、幂级数展开式的应用举例,22,无穷级数,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例5,解,23,无穷级数,余和:,24,无穷级数,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,2.计算定积分的近似值,25,无穷级数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例6,解,收敛的交错级数,26,无穷级数,例7,解,3.求数项级数的和,27,无穷级数,复数项级数:,4.欧拉公式,28,无穷级数,复数项级数绝对收敛的概念,三个基本展开式,29,无穷级数,30,无穷级数,揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系
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