数学物理方程第四章 积分变换法（课堂PPT）

第四章积分变换法傅立叶变换与拉普拉斯变换,数学物理方程,1,1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信号f(x)进行表征：。1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2的函数f(x)可以表示为系列三角函数之和，即,2,傅里叶级数在应用上有以下优点：能够表示不连续的函数、周期函数，能够对任意函数作调和分析若函数以为周期，即则可取三角函数族1，cos,cos,cos，sin,sin,sin，作为基本函数族，将展开为级数=+cos+cos),4.1傅里叶级数,3,其中,周期函数f(x)可以理解为由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中an，bn为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。,4,显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk=0，,而当信号具有反对称性（奇）特征时，ak=0，,5,在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号f(x)的傅里叶变换定义为：傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。,6,设f(x)为-,上的有限信号，则f(x)的傅里叶变换可简化为：,对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。,7,如要求这时应延拓为奇的周期函数，因为如要求这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在和为零,sin,=0,sin,=0;,8,对于函数u(x,t),-lxl,t0,展开为傅里叶级数时，可将t视为参数，仅关于x展开为傅里叶级数,u(x,t)=a,(t)+,),其中展开系数不是常数，而是关于t的函数，,9,4.2傅里叶变换,一般说来，定义在区间（-0,34,周期函数的Laplace变换,35,例1：,求,的Laplace变换.,.,解一：利用定义求解,解二：表示为单位阶跃函数来求解.,可表示为,由,以及延迟性质得,.,函数,36,例2：,求函数,的Laplace变换,解：已知,，由延迟性质有,，再由位移性质得,37,例3,已知,，求,解：由,以及,有,再由积分性质得,38,例4已知,，求,解：由,以及微分性质有,再由积分性质得,.,39,例5已知,，求,解：利用部分分式求解.首先将函数,分解为部分分式得,再由,有,的Laplace逆变换.,40,例7分别求下列函数的Laplace逆变换,（1）,（2）,解：（1）先将函数,求导变为有理分式并进行,再由微分性质有,（2）按上面同样的方法有,部分分式分解得,41,例8已知,，求,分析：函数,分解比较繁琐，可考虑利用卷积定理来求解.,的分母中含有二阶复零点，用部分分式,解：根据卷积定理有,42,例9已知,，求,分析：本题可以用多种方法求解，希望通过本题的求解，对各种方法作一个总结和比较.解一：利用部分分式求解.由,得,解二：利用卷积求解.根据卷积定理有,解三：利用积分性质求解,.,43,44,4.5积分的Laplace变换,45,由导数的Laplace变换得到注意到g(0)=0,有：即:,重复上述运算，可以得到F(t)的多重积分的Laplace变换。,46,4.5.1比例变换已知是F(t)的Laplace变换，那么，F(at)和(式中a是正的实常数）的Laplace变换为:,47,48,4.5.2位移定理（替换性质）函数的Laplace变换，其中a是常数，即:,49,4.5.3位移（延迟）函数的Laplace变换单位阶跃函数U(t)和U(t-a)的定义:,50,图5单位阶跃函数U(t)和U(t-a)的定义,51,位移函数：,52,位移函数的Laplace变换：,53,结果表明，位移函数U(t-a)F(t-a)的Laplace变换等于函数F(t)的Laplace变换乘以.,54,单位阶跃函数U(t-a)的Laplace变换：（因为F(t-a)=1),55,（三）F(t)的Laplace变换式,56,4.5.4利用Laplace变换表进行反变换,在热传导问题中，Laplace变换一般用于对时间变量的变换上。因此，最重要的一步是把Laplace变换得到的像函数从Laplace变量s的区域变换到实际的时间变量t的区域的反变换。Laplace变换的反变换列成表格表1。,57,原来函数拉普拉斯变换后的函数（n阶导数）（n重积分）,58,原来函数拉普拉斯变换后的函数,59,原来函数拉普拉斯变换后的函数,(-1)msnL(m)(s),（n重积分）,60,原来函数拉普拉斯变换后的函数,f(t2),tv-1f(t)(Rev-1),61,原来函数拉普拉斯变换后的函数,L(lns),62,原来函数拉普拉斯变换后的函数,63,f(t)L(s),（已知函数查其拉普拉斯变换用此表方便）,(c0),1,ecs,1,t,tn,64,f(t)L(s),tv,(Rev-1),(a0),65,f(t)L(s),(a0),(a0),66,f(t)L(s),lnt,(,为欧拉常数）,67,f(t)L(s),(Rev-1),68,函数f(x,y)的二重拉普拉斯变换为,二重拉普拉斯变换的反演公式为,其中:,69,Example1,求解半无限大物体的温度场。控制方程：边界条件和初始条件：,70,边界条件和初始条件：,71,72,根据初始条件和边界条件,73,(4)式的解为,74,4.6用回路积分法对Laplace变换