从测量英国海岸线到分形几何的产生.pptx

从英国海岸线测量到分形几何,佟丽宁上海大学数学系,蓝天白云，高山流水，红花绿草，大自然的美丽和神奇是难以描绘的。可是伽利略却说：“自然界这本伟大的书是用数学语言写成的。”,“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”美国著名物理学家惠勒,你知道人脑表面的皱纹，花椰菜纹路可以用数学来刻画吗？你知道各大江主支流可以用数学来刻画吗？你知道演绎了旷世恋情的泰坦尼克号电影中那条豪华游轮在危难时的海浪背景是如何生成的吗？,1.1分形几何产生的背景,经典几何的研究对象:规则的图形，如圆，三角形等问题：对于不规则的图形：如树叶，海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？,5,曼德尔布罗特(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为冷酷无情和枯燥无味的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并不光滑、闪电更不是沿直线传播的。,分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其性质的。,6,BenoitMandelbrot,Oxford的Newton博物馆,分形几何的创始人,7,1924年出生于波兰华沙;1936年移居法国巴黎;1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位;1952年在巴黎大学获数学博士学位;曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲座”教授,IBM公司的研究员.,博学多才的大师,如果你从未听说过分形，一时又难搞清楚分形是什么，建议去菜场买一颗花椰菜，掰下一支，研究其结构特征。分形可以是自然存在的，也可以是人造的：比如树枝、花椰菜、山脉、星系分布、云朵、脑电图、聚合物、材料断口等都是典型的分形。,认识分形,9,分形西兰花,10,分形树林,11,分形烟灰,12,分形蕨类植物,13,分形雪山山岭,14,分形闪电,分形（Fractal）这个词，是由美籍法国数学家曼德尔布罗特（BenoitB.Mandelbrot）自己创造出来的，此词来源于拉丁文fractus，意为不规则、支离破碎。分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。1967年，曼德尔布罗特在美国科学杂志上发表了划时代的论文英国海岸线有多长？统计自相似与分数维，成为其分形思想萌芽的重要标志。,1.2分形的诞生与发展,图1.英国地图,1967年曼德尔布罗特在美国科学杂志上发表了划时代的论文英国海岸线有多长？统计自相似与分数维,测量方法：我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过，设这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。用一只小老鼠代替人测量。用苍蝇代替小老鼠测量。测量结论：随着步长越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。,Richardson的经验数据L()与成正比，其中的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的。在Richardson看来，没有什么特别意义。Mandelbrot的贡献把的意义挖掘出来，将1+=D解释为“分形维数”。,二十世纪八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形与自相似.给出了自相似集合的数学理论基础.2.Mandelbrot,1982,自然界的分形几何.3.Barnsley,1988,Fractaleverywhere.4.Falconer,1990,分形几何数学基础及其应用.,1973年，在法兰西学院讲学期间，曼德尔布罗特提出了分形几何学的整体思想，并认为分数维是个可用于研究许多物理现象的有力工具。1982年，曼德尔布罗特出版了大自然的分形几何学，引起了学术界的广泛重视，曼德尔布罗特也因此一举成名,1.3分形的基本性质,1.最大的特点：自相似性,自相似性是指局部与整体相似的性质。在自然界中，具有自相似性的物体比比皆是，起伏的山峦中一座座山峰和整体山脉，弯曲的河流中一个个支流和整体河川，茂密的树木上的一条条树杈和整体树木等，均具有自相似性，如图2所示的是蕨类植物叶子上的细叶和整体叶子的相似性。,图2.蕨类植物叶的自相似性,2.无标度性,标度是计量单位的刻度。比如长度的标度是米；重量的标度是公斤；面积的标度是平方米等。对欧氏几何学内的不同形体，可以选择不同的标度去度量。例如，直线是多长，面积是多大，体积是多少。自然界中很多的物体具有特征长度，如人有高度、山有海拔等等。,1.4分形的定义,定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。,分形集具有任意尺度下的比例细节，或者说具有精细结构；,分形集是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。,分形集在某种方式下定义的“分维数”一般大于它的拓扑维数。分形集的定义常常是非常简单的，或许是递归的。,分形集通常具有某种自相似性，具有严格的自相似性-规格分形具有近似的或许是统计意义下的自相似性-无规分形,分形三要素,形状维数（随尺度变化的一个有限、定量描述）随机性（随机产生、动力学）,1.5分形维数的定义,维数是几何对象的一个重要特征量，它是欧氏几何对学描述点的位置所需的独立坐标数目。为了定量地刻画分形，引入了分数维数的概念。分数维数与欧氏几何学中的整数维数相对应。分形理论认为，维数中可以包含有小数。把分数维数记为D，一般称为分数维或分维。,1.5分形维数的定义,分维的定义有很多，有相似维数、容量维数、豪斯道夫维数等。我们只介绍相似维数。分维的计算公式为：，其中N为自相似图像个数，S为相似比。,简单例子1.对于直线：将一直线段二等分，则N=2，S=2，即2=21，所以，分维D=1,2.对于平面：将正方形四等分，则N=4，S=2，即4=22，所以，分维D=2,3.对于立体：将立方体八等分，N=8，S=2，即8=23，所以，分维D=3,1.6.1Cantor集集合论的创始人康托（G.Cantor，18451918）在1883年曾构造了一种三等分Cantor集，其几何表示如下：生成规则：取一段长度为L的直线段，将其三等分，保留两端的线段，将中间一段抛弃，如图8-9的n1的操作；再将剩下的两段直线分别三等分，然后将其中间一段抛弃，如图8-9的n2的操作；依此类推，便形成了无数个尘埃似的散点，所以cantor三分集也称为cantor灰尘。“病态”原因：数目无穷多，但长度趋近于零。分形维数：Dln2/ln3=0.6309。,1.6.2Koch曲线1904年，瑞典数学家科和（Koch，18701924）发现一种曲线，其几何表示如下：生成规则：取一段长度为L0的直线段，如图,n0所示，将其三等分，保留两端的线段，将中间一段改换成夹角为60的两个L0/3等长直线段，如图,n1所示；将长度为L0/3的4个直线段分别三等分，并将它们中间的一段改换成夹角为60的两个L0/9等长直线段，如图,n2所示。依此类推，便得到具有自相似结构的折线。如果在等边三角形上按上述规则在每边的中间各凸起一个小三角形，这样一直进行下去，则曲线形状近似为似一朵雪花，称为Koch雪花，如图所示。,Koch曲线的生成过程第0步、第1步,Koch曲线的生成过程第2步、第3步,Koch曲线与雪花曲线连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线,第一步,第二步,第三步,?,理论上可以证明这种不断构造的雪花周长是无穷的，但其面积却是有限的，这和传统的数学观念是不相符的，采用周长和面积都无法刻划出这种雪花的特点，欧氏几何学对描述这种雪花无能为力。“病态”原因：处处连续，处处不可导。分形维数：D=ln4/ln3=1.26186。,生成元：koch曲线是著名的分形曲线，具有自相似性。其中生成元是上图所示的图形。事实上，生成元的第一段直线段和第二段直线段之间的夹角可以为任意角度（090），不同的角度值生成的Koch曲线有很大差异。最常用的角度是60和85。生成元的起点和终点坐标分别为（ax，ay）和（bx，by），Koch曲线共由四条直线段构成。,1.6.3Peano-Hilbert曲线意大利数学家皮亚诺（Peano，18581932），通过对一些古代装饰图案的研究，于1890年构造出一种奇怪的平面曲线，这条曲线蜿蜒向前，一笔绘成，并能充满整个平面。接着德国数学家希尔伯特(Hilbert，18621943)于1891年也构造出一种类型相同但比较简单的曲线。这种曲线被称为Peano-Hilbert曲线。Peano-Hilbert曲线的出现，当时曾令当时的数学界大吃一惊：它是一条曲线，但又是一个平面；皮亚诺曲线的方程只有一个参数，但它却能确定了一个平面；而在欧氏几何学中，确定一条曲线需要一个参数，确定一个平面需要两个参数。,生成规则：首先，将一正方形四等分为四个小正方形，求出各个小正方形的中心并用三条直线连接起来，如图n0所示，可以使用两种连接方式：开口向上和开口向左。其次，将各个小正方形再细分为四个小正方形，用三条直线连接各个小正方形的中心，也会有两种连接方式，如图n1所示。依此类推，便形成Peano-Hilbert曲线。“病态”原因：一维曲线却能充满整个平面。分形维数：D=ln4/ln2=2。,n0,n1,n2,1.6.4Sierpinski垫片、地毯和海绵1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(Sierpinski，1882-1969)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面和三维立体，构造出千疮百孔的谢尔宾斯基垫片、地毯和海绵。,1.谢尔宾斯基垫片生成规则：取一等边三角形，连接各边中点将原三角形分成四个小三角形，然后舍弃位于中间的一个小三角形，如图n1所示。将剩下的其余三个小三角形按同样方法继续分割，并舍弃位于中间的那个三角形，如图n2所示。如此不断地分割与舍弃，就能得到中间有大量孔隙的Sierpinski垫片。,“病态”原因：总周长趋于无穷，总面积趋于零。也就是说：当用一维得尺度去测量时，其值趋于无穷大，当用二维尺度去度量时，其值趋于零。分形维数：D=ln3/ln2=1.5849。,Sierpinski垫片生成元,2.Sierpinski地毯生成规则：取一正方形，将其每条边三等分，正方形被等分为九个面积相等的小正方形，舍弃位于中央的一个小正方形，如图n1所示。将剩下的八个小正方形按上面同样的方法继续分割，并舍弃位于中间的那个小正方形，如图n2所示。如此不断地分割与舍弃，就能得中间有大量空隙的Sierpinski地毯。,“病态”原因：总周长趋于无穷，总面积趋于零。也就是说：当用一维得尺度去测量时，其值趋于无穷大，当用二维尺度去度量时，其值趋于零。分形维数：D=ln8/ln3=1.8927。,n1,n2,n3,n4,生成元：Sierpinski地毯是平面分形，具有自相似性。其生成元是把正方形分成九个小正方形，舍弃中间一个正方形，余下八个小正方形，如图所示。正方形的左上角点和右下角点是生成元的设计顶点。Sierpinski地毯的递归调用是通过反复使用生成元来取代每一个小正方形进行的,3.谢尔宾斯基海绵生成规则：将一个立方体沿其各个面等分为九个小立方体，舍弃位于体心的一个小立方体，以及位于立方体六个面心的六个小立方体，如图n1所示。将二十个小立方体继续按相同的方法分割并舍弃位于立方体体心和面心处的更小的立方体，如图n2所示。如此不断地分割与舍弃，就能得到中间有大量空隙的Sierpinski海绵。“病态”原因：有限体积具有无限表面积，也就是说：当用二维得尺度去测量时，其值趋于无穷大，当用三维尺度去度量时，其值趋于零。分形维数：D=ln20/ln3=2.7288。,n1,n2,n3,n4,生成元：Sierpinski海绵是分形立体，具有自相似性。其生成元是把立方体分成二十七个小立方体，挖去立方体六个面心的小立方体以及位于体心的一个小立方体，共挖去七个小立方体，见图。Sierpinski海绵的递归调用是通过反复使用生成元来取代每一个小正方体进行的。,每个立方体在图形显示上是由前面、顶面和右面三个面构成的。设正方形的左上角点为（x，y），边长为d。对于顶面和右面，由于其为平行四边形，其夹角为45的斜边的水平投影DXdcos(/4)，垂直投影DYdsin(/4)。因为DXDY，所以全部以DX代替。,Sierpinski海绵生成元,生成元结构,4.Julia集,在复平面上，对于复数Z和C，如果变换ZZ2+C不使Z向无穷逃逸，那么所有这些初始的复数Z所构成的集合称为Julia集，它随着C的变化而变化。特点经迭代后，最后的Z值有三种可能：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）2、Z值衰减（趋向于Z0，使Z0=Z02+C）3、Z值是变化的，即非1或非2Julia集的形状基本上分三种：象尘埃一样的结构、稳定的固态型或象树枝状,象尘埃一样的结构,稳定的固态型,象树枝状,6.Newton分形,Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程Z6+1=0有六个根，用牛顿的方法“猜测”复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，如图所示：,Newton分形,PaulDerbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为Nova的分形图形。Nova类型分形图形如图所示：,7.N