高等数学函数的微分教学（课堂PPT）

第二章导数与微分,第一节导数的概念,第二节导数的计算,第三节函数的微分,1,第三节函数的微分,本节主要内容:,2,3,一.微分的概念,引例：一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0x考查此薄片的面积A的改变情况.,因为Ax2所以金属片面积的改变量为A(x0x)2(x0)22x0x(x)2,A2x0x,4,定义2.3.1若函数y=f(x)的增量y可表示为y=f(x0+x)-f(x0)=Ax+(x)(x0),其中A与x无关,则称y=f(x)在x0可微,且称Ax为f(x)在x0的微分，记作即,yf(x)在点x0可微yAxo(x)，即dy=Ax,5,定理2.3.1函数y=f(x)在x0可微的充要条件是y=f(x)在x0可导当y=f(x)在x0可微时，有,通常把自变量的增量x称为自变量的微分,记做dx,则函数y=f(x)的微分可记做dy=f(x0)dx,从而有,6,例1求函数y=3x2在x=1处x分别为0.1和0.01的增量与微分.,解:,7,二.微分的几何意义,如图所示，PN=dx，NM=y，NT=PNtan=f(x)dx，所以dy=NT，即函数y=f(x)的微分dy,就是曲线y=f(x)在点P处切线的纵坐标的增量，而y就是曲线y=f(x)的纵坐标的增量.,P,）,M,8,三.微分的基本公式及运算法则,d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx,(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex,微分公式:,导数公式:,9,微分公式:,导数公式:,10,微分的四则运算,(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuv,11,例2求y=x2arctanx的微分.,解:,12,例3求函数y=lnx/x的微分.,解:,13,(1)若u是自变量，dy=f(u)du；,复合函数的微分法则,结论：,一阶微分形式的不变性,设函数y=f(u)有导数f(u).,(2)若u是中间变量，可以令uj(x)，即yfj(x),dyyxdxf(u)j(x)dx,14,例4求y=sin23x的微分.,解:,15,例5求的微分.,解:,16,例6求的微分.,解:,17,例7（参数方程求导法则）设参数方程中x(t),y(t)对t可导，且x(t)0,求,解:,18,四.微分的近似计算,当函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)0且|Dx|很小时我们有,Dydyf(x0)Dx,若令xx0Dx即Dxxx0那么又有,dyf(x0)Dx,f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx,f(x)f(x0)f(x0)Dx,特别当x00时有f(x)f(0)f(0)x,用来求函数增量的近似值,用来求函数值的近似值,求函数在x=0附近的近似值,19,常用近似公式,20,例8求的近似值,令f(x)=sinx,取辅助函数,找邻近于x=3030的一点x0,代入公式f(x)f(x0)f(x0)x,取x0=30,则x=30=,f(x)=cos