第四节 函数的奇偶性及周期性.ppt

知识能否忆起一、函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),y轴,原点,二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期,2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),最小的,正数,最小正数,小题能否全取1(2012广东高考)下列函数为偶函数的是(),答案：D,答案：B,2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是(),答案：B,3(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1B0C1D2解析：f(x)为奇函数且f(x4)f(x)f(0)0，T4.f(8)f(0)0.,4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0，对于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：0,5(2011广东高考)设函数f(x)x3cosx1.若f(a)11，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cosx为奇函数，且f(a)a3cosa111，故a3cosa10.则f(a)a3cosa11019.答案：9,1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；,(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期,A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数,答案A,利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性,1判断下列函数的奇偶性,(2)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数,(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数,A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，)D(2,0)(0,2),例2(1)(2012上海高考)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.,自主解答(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.,答案(1)1(2)B,本例(2)的条件不变，若n2且nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0，)为减函数，且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(2a)，只需3a22a，解得3a1.答案：(1)0(2)(3,1),例3(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2012)()A335B338C1678D2012,自主解答由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2012)f(1)f(2)335112335338.答案B,在0,2013上共有336个x使f(x)1.当f(x)1时，每个周期有2个解，201333563.x解的个数为33521671个(f(x)1在最后半个周期有一个解),1周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；,2周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用,3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式,解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数,(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4,变式探究2013九江模考已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0xg(1),2关于yf(x)，给出下列五个命题：若f(1x)f(1x)，则yf(x)是周期函数；若f(1x)f(1x)，则yf(x)为奇函数；若函数yf(x1)的图象关于x1对称，则yf(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称；若f(1x)f(1x)，则yf(x)的图象关于点(1,0)对称填写所有正确命题的序号_,解析：由f(1x)f(1x)可知，函数周期为2，正确；由f(1x)f(1x)可知，yf(x)的对称中心为(1,0)，错；yf(x1)向左平移1个单位得yf(x)，故yf(x)关于y轴对称，正确；两个函数对称时，令1x1x得x0，故应关于y轴对称，错；由f(1x)f(1x)得yf(x)关于x1对称，错，故正确的应是.答案：,1个重要规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2种必会方法1.定义法：先求出定义域关于原点对称，判断f(x)与f(x)的关系得结论；不关于原点对称，则不具有奇偶性,2.图象法：首先作出f(x)的图象关于原点对称，f(x)为奇函数；关于y轴对称，f(x)为偶函数；既不关于原点，也不关于y轴对称，不具有奇偶性3个必记结论1.若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以f(x)的周期T2a.,4对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)