第4章--控制论

控制论1、控制论的基本概念2、控制系统的偶合关系与方框图3、控制系统的变换算子4、控制系统的状态空间表达式5、系统的可观测性与可控制性6、最优控制7、大系统控制1 控制的基本概念定义1 所谓控制是施控者选择适当的手段，以期引起受控者行为发生预期变化的一种策略性的主动行为。定义2 (从输入与输出关系角度)控制是通过改变系统输入，使系统输出尽可能达到设定值的方法。定义3(从控制与不确定性关系角度)控制是在描述与研究输入U与输出Y之间因果关系f不确定性的基础上，从多种可能性中进行选择，找出能够处理这种不确定性的控制手段，使系统在不确定的条件下，达到比较确定的目标。定义4(从控制与信息相互关系的角度)控制是在获取、加工和使用信息的基础上，控制主体使被控客体进行合乎目的的动作。信息在控制过程的作用表现在：A 要根据各种有关信息才能编制出使系统与外界环境保持平衡状态的各种指令。B 系统在运行中会碰到干扰从而使系统偏离控制目标所要求的状态，这时需要掌握干扰信息和系统状态的信息，将它们转换成为抵消或纠正偏差的控制指令，以保证系统目的的实现。定义5(从控制与调节相互关系的角度)控制具有两个方面的内容：确定系统变化的轨道(确定目标和实现目标的途径)；用调节办法使系统的运动保持在这一轨道上。定义6 调节的定义：调节是使系统的特性保持一定的过程。调节分为下例两种 ：反馈调节和补偿调节。反馈调节：依靠系统的实际输出值与目标值之间的偏差进行调节，当偏差值=目标值与反馈值之差时，称为负反馈调节；当偏差值=目标值与反馈值之和时，称为正反馈调节(控制)。反馈调节的特点：事先不去监测干扰的作用，不采取事先抵消干扰影响的补偿措施，只监测受控对象的实际运行情况，把输出变量的信息反向输送到输入端，与体现目标的控制变量进行比较形成误差，根据误差的大小决定控制指令，去改变对象的运行状况，逐步缩小并最后消除误差，达到控制目标。补偿调节：预测干扰，用补偿的方式进行调节。 补偿调节的特点：在依据控制目标制定控制指令的同时，实时地监测外部干扰，计算为抵消可能造成的影响所需要的控制作用，并反映在控制指令中，通过控制对干扰的作用进行补偿。定义7反馈与反馈调节的定义：反馈：把系统受上一步控制而产生的效果（输出）作为决定对系统下一步如何控制（输入）的依据，这种行为或策略称为反馈。2、控制系统的耦合关系与方框图2.1控制系统的耦合关系定义：如果系统的某个元素或子系统的输出是另一个元素或子系统的输入，即称这两个元素或子系统的这种因果关系为耦合。简言之，耦合就是系统耦合就是系统各组成部分之间的因果联系。耦合有三种基本形式串联耦合并联耦合反馈耦合.2.2框图构成要素代表控制系统中的多个构成元素或子系统代表两个构成元素或子系统间有耦合关系叠加，代表两个或两个以上的输入同时作用于同一个元素或子系统的输入端时，则称这两个或两个以上的输入为叠加，(+，-).2.3示例：方框图具体形式例：不带传感器的室温控制系统方框图控制器室温加热器节门A输入 输出带传感器的室温控制系统方框图控制器+ - 节门A加热器室温输入 输出工业系统方框图工业生产系统+ - 输入 输出计划管理部门四种宏观经济的控制系统方框图的应用之一(定性研究)第一种 ：开环控制，指根据需要和可能对被控对象进行直接控制消费市场生产企业决策机关 计 划 商品第二种 闭环控制，指能够根据输出的反馈信息不断地修正输入的控制体系，使被控对象趋近既定目标，从而达到控制目的决策中心企业市场物价、利润、竞争+ -商品决定第三种 ：组合控制模式是由开环控制与闭环控制结合而成的 决策机构企业1企业2商品N生产市场市场调节商品1商品2物价、利润、竞争企业N物价、利润、竞争物价、利润、竞争市场预测计划指导 第四种： 组合衰减控制 在组合控制模型基础上改进而成，即去掉各小反馈回路中的直接反馈，改为经过衰减控制器的反馈，目的是压制一部份小回路的自调节信号，加大反馈回路的信号强度，提高决策机构对整个系统的控制能力。企业收入价格利润衰减器税收信贷投资计划指导商品1企业1决策机构商品2企业2企业N商品N市场预测决定机构通过“衰减器”即“国家税收、信贷、投资等经济杠杆加强对相对独立的企业的影响，一方面对直接受市场机制调节的企业利润进行适当平衡，减少企业与企业之间的磨擦；另一方面则是为保证重点计划的完成，使国家能够更有效地控制企业生产，从而大大增强了系统的可靠性和稳定性。方框图 也可用于定量分析，但需引入算子与耦合关系等税收、信贷、投资 衰减器 价格 、利润 企业收入 企业 1 商品1决定机构 企业2 商品2 市场预测3 控制系统的变换算子3.1 变换算子的概念假设在一个控制系统中发生了由输入x(数或符号)到输出y(数或符号)的某种变换，将这种由输入x到输出y的变换记为：y=Tx (1)用方框图表示为：式中的T是一种行为规则，表示在该控制系统中发生的由输入到输出的某种变换或活动。称T为该控制系统的变换算子或活动算子。3.2 线性算子线性算子的条件： (2) (3)条件称为齐次性条件，表明输入放大或缩小c倍时，输出也相应地放大或缩小c倍。称为可加性条件，表明两个输入之和所对应的输出等于两个输入分别对应的输出之和。常见的线性算子有：1.比例算子：用实常数k乘以输入x的变换算子，即有：y=kx2.微分算子：记为D设输入x是某个参数t(比如时间)的函数；x(t)，输出y等于输入x对t的函数，即：则称变换算子T=D为微分算子。 3.积分算子记为设输入x是某个参数t的函数，输出y等于输入x对t的积分，即y=则称变换算子T=D-1为积分算子。其中t 0 为参数 t的某个给定的初始值(4)（有限）差分算子，记为，设输入x的可能取值集合为x1,x2.xn,输入yi等于输入xi+1与xi之差，即： yi=xi+1 xi= xi, i=1,2,3.则称变换算子T为有限差分算子，简称差分算子;(5) 先导（向前移位）算子，记为E,设输入x的可能取值集合为x1,x2.xn，输出yi等于输入xi+1,即：yi=xi+1=E xi, i=1,2,3.则称变换算子T=E 为先导算子或者向前移位算子;(6) 回倒（向后移位）算子，记为E-1, 设输入x的可能取值集合为x1,x2.xn，输出yi等于输入xi-1,即:yi=xi-1=E-1 xi, i=1,2,3.则称变换算子TE-1为回倒算子或者向后移位算子;(7)求和算子，记为设输入x的可能取值集合为x1,x2.xn，输出yi等于输入x1,x2.xi之和，即 yi=x1+x2+.+xi=则称变换算子T为求和算子。33 算子的运算 1和算子 若算子T满足条件：Tx=T1xT2x则称算子T为算子T1和T2的和算子，记为：TT1T2表明，算子T1与T2之和（T1T2）作用于输入x的结果等于算子T1或T2分别作用于输入x的结果之和 2差算子 若算子T满足条件 TxT1xT2x则称算子T为算子T1与T2的差算子，记为： TT1T2 表明，算子T1与T2之差（T1T2）作用于输入x的结果等于算子T1作用于x的结果减去算子T2作用于x的结果3积算子 若算子T满足条件： TxT1（T2x）或TxT2（T1x） 则称算子T为算子T1与T2（或T2与T1）的积算子，记为 TT1T2或TT2T1 表明算子T1与T2之积T1T2作用于输入x的结果，等于算子T2作用于x的结果再经算子T1作用后所得到的总结果。类似的解释T2T1，一般地讲，积算子T1T2与T2T1是两个不同的算子，即T1T2T2T1，一般是不成立的，这证明积运算的交换律一般是不成立的。（T1T2T2T1） 4幂算子 设n为正整数，算子T的n次幂Tn按递推公式定义如下： T2xT（Tx） TnxT（Tn-1x） n2，3，4. 5逆算子 若存在算子T与S，它们满足条件 Y=TX 且X=SY则称算子S为算子T的逆算子，记为S=T-1如 设X和Y 为N维向量，A为nn矩阵，且A的逆矩阵A-1存在，则当Y=AX时，必有X= A-1Y 。因此算子T=A的逆算子为T-1= A-1因为矩阵A不一定可逆，故其逆算子不一定存在，因此，逆算子定义中算子T与S必须都存在。6恒等算子若算子T满足条件Y=TX=X则称算子T为恒等算子，记为T=I由恒等算子与逆算子的定义不难证明TT-1=T-1T=I3.4 算子运算的控制论解释算子运算与三种基本耦合的关系(1)、并联耦合与和算子设某个控制系统由变换算子分别为为T1和T2的两个子系统构成，两个子系统的输入均为X，而输入X经变换算子T1和T2分别变换为输出Y1和Y2，Y1和Y2叠加后构成整个系统的输出Y。两个子系统之间的这种耦合关系称为“并联耦合”。如下图所示T1 Y1T2 Y Y2并联耦合系统图由图与和算子的定义可知，两个子系统并联耦合后的总系统的输入X与输出Y之间有如下的变换公式：Y=Y1+Y2=T1X+T2X=(T1+T2)X=TX式中T=T1+T2为并联耦合系统的变换算子。结论：两(多)个子系统并联耦合的总变换算子=两(多)个变换算子之和。(2)、串联耦合与积算子设某控制系统由变换算子分别为T1和T2的两个子系统构成，整个系统的输入为X，X经变换算子为T1的子系统变换为输出Y1，而Y1又作为变换算子为T2的系统的输入，变换出整个系统的输出Y。两个子系统之间的这种耦合关系称为“串联耦合”如图所示串联耦合系统图由图和积分算子的定义可知，两个子系统串联耦合后的系统的输入X输出Y之间有如下的变换公式：Y=T2Y1=T2(T1X)=T2T1X=TX式中T=T2T1为串联耦合系统的总变换算子。于是可得下列结论，两个（或多个）子系统串联耦合的总变换算子等于两个（或多个）子系统变换算子之积。(3)、反馈耦合的逆算子反馈耦合系统XSRYS为系统的变换算子（设为线性算子）R为控制器的变换算子。由图可知，输出Y经过控制器，变换为X，而X与输入X叠加后成为被控系统的总输入，因此，反馈耦合系统的输入X与输出Y之间，有如下的变换关系：Y=S(X+X)即：Y=S(X+X)= S(X+RY)= SX+SRYY-SRY=SX (I-SR) Y =SX其中I为恒等算子。如果差算子I-SR的逆算子存在，则由上式有变换公式=TX其中为图中所示反馈耦合控制系统的逆变换算子。称算子为反馈算子当S和R为比例算子（即为常数时）I为常数1，如果此时有(1-SR)-1不等于0，则称(1-SR)-1为反馈乘数或反馈因子4、控制系统的状态空间表达式41 单输入单输出系统状态方程的形式 状 a11x1a12x2.a1nxnb1u 态 a21x1a22x2.a2nxnb2 方 . 程 an1x1an2x2.annxbnu 输出方程 YC1x1C2x2.Cnxn 用向量矩阵表示是的状态空间表达式为： XAXBu YCX 式中： X 表示n维状态向量 A 表示系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为nn方阵 b= 表示输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n1的列阵。 4.2 多输入多输出系统状态方程的形式： 状态方程为： （有多个输入，例如n个） x1a11x1a12x2a1nxnb11u1b12u2b1rurx2a21x1a22x2a2nxnb21u1b21u2b2rur.xnanx1an2x2annxnbn1u1bn2u2bnrur 输出方程：有多个例如m个输出，且不仅是状态变量的组合，还可能有输入向量的直接传递，因而有以下形式：y1c11x1c12x2.c1nxnd11u1d12u2.d1rury2c21x1c22x2.c2nxnd21u1d22u2.d2rurymcm1x1cm2x2cmnxndm1u1dm2u2.dmrur所以，多输入多输出系N状态空间表达式的形式： AXBU YCXDUU 表示r维输入向量Y 表示m维输出向量B 表示nr输入矩阵C 表示mn输出矩阵D 表示mr直接传递矩阵4.3宏观经济的状态空间表达式例：设 C=货物及服务的消费支出；W=工资水平P=货物及服务的价格水平；M=货币供应令k=0,1,2,.表示季度。为强调变量对时间的依赖，C(k) 定义为k时刻的消费；P(k)定义为k时刻的价格水平；W(k) 定义为k时刻的工资水平；M(k)定义为k时刻的货币供应。用来描述这四个变量相互关系的一个典型方程组是： (1) (2) (3)式中，及是参数参量(不依k而改变)；C，P，W为内生变量，M为外生变量。解释(3)：当前工资水平W(k)决定于九个月以前的物价水平(空出的时间用于劳资协商)和三个月前的消费水平。(2)当前的价格水平取决于上一季度的价格水平、工资水平和货币供应(游资愈多，价格愈高)如何将上述宏观经济系统方程变换为离散的状态方程如为线性时不变，上式为或上式设C(k)，P(k)和W(k)为状态变量，于是，可定义： (4) (5) (6)=由于(6)可导出 (7)以及 (8)若定义 (9)则有 (10)同理有 (11) (12) (13)再定义 (14) (15)从而得到 (16) (17)将式(4)、(5)、(6)、(9)及(15)代入(1)、(2)、(3)并令 U(k)=M(k) (17)得到 (18) (19) (20)(18)(19)(20)已变成一阶差分方程，但仍不完全， 还没有证明如何求，和， 还要加上(10)，(16)，(17)于是，可得到 也可写成向量矩阵离散状态方程形式： 其中A=，X(k)= ，B=整理后为：=+5、系统的可控性和可观性5.1问题提法：是什么？系统可控性回答的是控制作用u（t）支配系统状态向量x（t）的能力；而系统可观性则是系统的输出y(t)反映系统状态向量x(t)的能力.前者回答u(t)能否使x(t)作任意转移的问题,后者则回答能否通过y(t)的量测定x(t)的问题.线性连续时不变系统的能(可)控性.因可控性只涉及在控制作用u(t)的控制下状态向量x(t)转移的情况,与输出y(t)无关,故只需要讨论系统的状态方程.5.2线性连续时不变系统的可控性其中X, u分别为r, r维向量.其可控性定义为:若存在一个无约束的控制向量u(t),能在有限时间区间tf-t0内将系统某一初始状态X (t0)驱动到任意终端状态X (tf),则称此状态是可控的.若系统的所有状态X(t)都是可控的,则称此系统的状态是完全可控的,简称系统是可控的,或可控系统.其可控性条件:系统能控 (充分必要条件)是矩阵M=B AB A2BAn-1B的秩为n.5.3线性连续时不变系统的可观测性因为可观性问题所表示的是输出y(t)反映状态x(t)的能力,与控制作用无直接关系,所以分析可观性问题,只需从齐次状态方程(即Bu=0)和输出方程出发,即 XAx Y=Cx定义：当u= 0时，根据在有限时间区间tft0量测到的输出y(t)，能够唯一的确定系统在t0时刻的初始状态X0，则称该X0在tf-t0上是可观的。若系统在t0时刻的所有初始状态都是可观的，则称系统是完全可观的。或称该系统是可观系统。条件：该系统完全可观的充要条件是： N 的秩为n 离散时间系N的可控制和可观性离散时间系 X（k1）GX（k）H（k） Y（k）CX（k）该系统可控性的充要条件是： MH GH G2H.Gn1H 秩为n（满秩） 该系统可观的充要条件是：矩阵 N的秩是n例1：设系统为：=+ 求解它是否能控？由于矩阵 = 的秩等于1，所以系统不能控例2：设系统为：=+ 求解它是否能控？ 由于矩阵 = 的秩等于2，所以系统是能控的例3：设系统为：=+ 求解是否能控能观？ Y= 由于矩阵= 秩为2； 矩阵= 秩也为2 所以系统是既能控又能观的。 54 系统的分解任何一个系统都可分解为能控但不能观，能控又能观， 不能控能观，既不能控又不能观等四种子系统。 X Y注意 ： 对一个给定系统分解时，可能只出现四种子系统中的某一、二或三部份。也可能有四种；同一系统用不同分解的方法可能得到不同结果例：考虑下例经济系统x1(k+1)=5x1(k)+u(k) (a)x2(k+1)= -2x2(k)+3u(k) (b)x3(k+1)= -x3(k) (c)x4(k+1)=3x4(k) (d)y(k)=x2(k)-2x3(k) (e)- 34 -x1(k+1) x1(k) (a)E-1 5 X2(k+1) x2(k)E-1 x1(k+1) x1(k) (b)3-2 y(k) x3(k+1) x3(k) (e)-2E-1 x1(k+1) x1(k)-1 (c)X4(k+1) x4(k)E-1 x1(k+1) x1(k)5 (d)由图例知：该系统可分为四个子系统：能控但不能观，能控又能观， 不能控能观，既不能控又不能观。6、最优控制问题的条件和一般提法6.1最优控制问题的动态性质:由于最优控制系统中，受控对象是一个动态系统，所有变量都是时间的函数，所以属于动态最优化问题。在动态最优化问题中，目标函数不再是一般函数，而是时间函数的函数，称为泛函。譬如，在时间定义域 t0,tf上的目标泛函为： J= (1)而基本约束条件为受控对象的状态方程，如： X= f x(t) ,u(t) ,t (2)式中 x-n维状态向量； u-r维控制向量； f-n维向量的函数最优控制的任务是在满足（2）的约束条件r, 求u(t)使目标泛函J取最小值（或最大值）。6.2、确定性最优控制问题的前提条件：给出系统的动态描述：即系统的动态方程（动态方程如（2），离散状态的动态方程为： X(k+1) =f x(k