现代机械工程自动控制系统的稳定性分析方法

专题4现代机械工程控制系统的稳定性分析方法,2018/2/1,2,主要内容1. 概述2. 什么是控制系统的稳定性3. SISO连续控制系统的稳定性分析4. MIMO连续控制系统的稳定性分析5. 离散控制系统的稳定性分析,2018/2/1,3,1. 概述,2018/2/1,4,1. 概述,2018/2/1,5,1. 概述,2018/2/1,6,1. 概述,2018/2/1,7,1. 概述,2018/2/1,8,1. 概述,2018/2/1,9,当飞机在受到干扰后仍能回到初始的飞行状态时，称飞机是稳定的。,静态不稳定：飞机离开平衡飞行状态后变得不稳定动态不稳定：飞机在平衡状态附近发生振幅越来越大的振荡。,对飞机的控制分为两种： 使飞机在不同的稳定飞行状态间转换； 使飞机进入不稳定状态（加速状态）飞行。,飞机的不稳定主要有两种类型：,控制与稳定在某种程度上是相对的。,1. 概述,2018/2/1,10,1. 概述,2018/2/1,11,1. 概述,2. 什么是控制系统的稳定性？,对于不同的系统，例如线性的、非线性的、定常的、时变的稳定性的定义不同。,线性定常控制系统的稳定性定义：系统受到扰动后恢复到原来平衡状态的能力。系统稳定性：系统的固有性质； 取决于系统参数。,2018/2/1,13,SISO系统稳定的数学描述：,2. 什么是控制系统的稳定性？,设线性系统在零初始条件下输入一个理想脉冲函数(t)，如果xo(t) 随着时间的推移趋于零，即：,，则系统稳定；,，则系统不稳定。,若：,2018/2/1,14,(2)系统稳定的充分必要条件：系统的传递函数,此方程的根称为系统的特征根。 如果一个系统的特征根全部落在s平面的左半部分，则该系统是稳定的；否则系统是不稳定。,2. 什么是控制系统的稳定性？,特征方程,2018/2/1,15,（3）系统稳定条件的证明：,2. 什么是控制系统的稳定性？,系统的单位脉冲响应为：,2018/2/1,16,2. 什么是控制系统的稳定性？,部分分解,拉氏反变换,2018/2/1,17,系统稳定的必要且充分条件为： 若系统特征方程根全部具有负实部，则系统是稳定的；也可以描述为：系统传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。,2. 什么是控制系统的稳定性？,2018/2/1,18,Control Systems Engineering, Fourth Edition by Norman S. NiseCopyright 2004 by John Wiley & Sons. All rights reserved.,a. 稳定系统,闭环极点分布与时间相应:,2. 什么是控制系统的稳定性？,b. 不稳定系统,2018/2/1,19,时间响应 vs. 极点分布,Unstable,Stable,2. 什么是控制系统的稳定性？,2018/2/1,20,3. SISO连续控制系统的稳定性分析,3.1 代数稳定性判据3.2 代数稳定性判据3.3 系统的相对稳定性3.4 稳态误差分析方法,2018/2/1,21,3.1 代数稳定性判据,3.1.1 赫尔维茨（ Hurwitz ）判据3.1.2 劳斯（Routh）判据3.1.3 谢绪凯判据,2018/2/1,22,3.1.1 赫尔维茨判据,系统的特征方程式,系统的传递函数,2018/2/1,23,(1)系统特征方程的各项系数全部为正值，即,(i =0，1，2，n)。,3.1.1 赫尔维茨判据,(2)由系统特征方程各项系数所构成的赫尔维茨矩阵的各阶主子式行列式的值全部为正。,，,，,，,交集,2018/2/1,24,3.1.1 赫尔维茨判据,2018/2/1,25,例 单位负反馈系统的开环传递函数为,3.1.1 赫尔维茨判据,2018/2/1,26,3.1.1 赫尔维茨判据,2018/2/1,27,3.1.2 劳斯判据,其中，所有的系数均为实数。这个方程的根没有正实部的必要(但并非充分)条件为： (1)方程各项系数的符号一致。 (2)方程各项系数非0。,2018/2/1,28,判断特征根是否全部具有负实部的充要条件首先列出下面的劳斯表,其中，前两列中不存在的系数可以填“0”，元素,根据下列公式计算得出,3.1.2 劳斯判据,2018/2/1,29,计算bi时所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的。系数b的计算一直进行到其余值为零时止。,3.1.2 劳斯判据,2018/2/1,30,显然，计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二、三行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的，同样，系数c的计算一直进行到其余值为零为止。,3.1.2 劳斯判据,2018/2/1,31,例 系统的特征方程为,用劳斯判据判断系统是否稳定。,解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下,3.1.2 劳斯判据,2018/2/1,32,劳斯表为,3.1.2 劳斯判据,2018/2/1,33,劳斯表为,表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以得到4个根，分别为：,显然，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。,3.1.2 劳斯判据,2018/2/1,34,3.1.3 谢绪凯判据,2018/2/1,35,3.2 几何稳定性判据,3.2.1 Nyquist判据3.2.2 Bode判据,2018/2/1,36,3.2 几何稳定性判据,系统的开环传递函数,设,2018/2/1,37,3.2 几何稳定性判据,2018/2/1,38,38,3.2.1 奈奎斯特稳定性判据,奈奎斯特路径是包围s平面右半面的顺时针方向的封闭曲线Ls, ，它由两段有向线构成，如图5.3，其中L1为沿s的虚轴由 的直线，为以 为半径从虚轴的正向顺时针转角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。,L1和L2两段线包围了复平面s的右半面。,2018/2/1,39,(2) 用系统闭环传递函数表示的奈奎斯特判据,当已知系统有Z个零点时，系统的传递函数可以表示为,(5.9),绘制出Ls的由Gb(s)映象的曲线绕原点按顺时针转的周数N来判断系统的稳定性，当N=Z时，系统是稳定的；当N赫尔维茨稳定性判据,2018/2/1,106,5.1.1 稳定性分析方法,2018/2/1,107,5.1.1 稳定性分析方法,利用赫尔维茨稳定性判据,2018/2/1,108,例 分析图所示系统当K=10 时的稳定性，求出能使系统稳定的K值范围(T =1s)。,5.1.1 稳定性分析方法,2018/2/1,109,5.1.1 稳定性分析方法,2018/2/1,110,5.1.1 稳定性分析方法,2018/2/1,111,5.1.2 极点分布与瞬态响应的关系,2018/2/1,112,5.1.2 极点分布与瞬态响应的关系,2018/2/1,113,极点分布的影响,|z|=1,Longer settling time,Re(s),Im(s),Unstable,Stable,Higher-frequencyresponse,5.1.2 极点分布与瞬态响应的关系,2018/2/1,114,5.1.2 极点分布与瞬态响应的关系,2018/2/1,115,终值定理,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,116,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,117,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,118,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,119,例,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,120,查表（6）,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,121,5.1.3 离散系统的稳态误差,2018/2/1,122,5.2 MIMO离散控制系统的稳定性分析,设齐次离散状态方程为,本节用李亚普诺夫方法分析系统在原点的稳定性,在原点,是平衡状态,取李亚普诺夫函数为,