北航理论力学复习（课堂PPT）

1,理论力学总结,2,矢量的绝对导数与相对导数,：动系的角速度,对于标量函数:,对于矢量函数:,3,绕相交轴转动的合成,刚体的角速度:,刚体的角加速度:,刚体的角加速度:,动系为一般运动时点的加速度合成,速度合成：,重合点的加速度,加速度合成：,4,刚体一般运动的运动微分方程,投影到定系：,投影到动系：,投影到动系：,其中为动系的角速度。,5,刚体动力学,动力学普遍定理,动静法,平移刚体惯性力,平移刚体(等同质点),6,刚体动力学,动力学普遍定理,动静法,平面运动刚体惯性力,平面运动刚体运动方程,条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面,7,刚体动力学,动力学普遍定理,动静法,定轴转动刚体惯性力,刚体定轴转动微分方程,8,刚体动力学,一般运动刚体惯性力,刚体运动微分方程,9,10,第10章要求,定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。定点运动刚体有限位移的顺序不可交换.定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移可以用矢量表示。定点运动刚体的角速度角加速度可以用矢量表示。了解欧拉运动学方程.了解欧拉动力学方程.自转进动章动概念.,定性理论,10,11,定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用;能计算定点运动刚体的动量矩;能计算定点运动刚体的动能;能计算陀螺力矩;能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为,定量方面,第10章要求,11,12,陀螺近似理论,陀螺：满足条件的定点运动刚体。,一、陀螺规则进动的条件,问题性质：已知运动,求力。,即:,方向沿节线.,陀螺规则进动的基本公式:已知运动力,精确结果,13,即:,方向沿节线.,陀螺规则进动的基本公式:已知运动力,二、莱沙尔(HenriResal)定理,在定系中:,定理:刚体对固定点o的动量矩的端点的速度，等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩.,精确结果,14,三、陀螺近似理论,如果:,则:,如果：,则也有：,15,四、陀螺近似理论的莱沙尔解释,相对于定系:,则当刚体作规则进动时，的矢端划出一圆。,16,当刚体作规则进动时，的矢端划出一圆。,由莱沙尔定理:,与精确解比较:,17,例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动(0为常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的转动惯量为J，且以绕z轴高速旋转，z轴与轴的夹角为.求：陀螺的进动角速度、铰链O的约束力在铅垂方向的分量和水平方向的分量F的大小。要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。,解:1.取陀螺研究;,2.受力分析:,3.由动量矩定理:,4.由动量定理(质心运动定理):,18,例：质量为m半径为R的均质薄圆盘以匀角速度绕水平轴AB转动，AB轴通过光滑球铰A与铅垂轴z相连接，如图示。若AB轴的长度为d=3R且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴AB绕铅垂轴z的进动角速度大小以及球铰链A水平方向的约束力的大小.=_；=_。,陀螺规则进动的基本公式:已知运动力,精确结果,当：,19,例：确定一个正方体在空间的位置需要_个独立的参数。,A：3；,B：4；,C：5；,D：6.,例：在光滑水平面上运动的刚性球的自由度是_。,A：3；,B：4；,C：5；,D：6.,20,例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点D作匀速圆周运动，则该圆锥的角速度矢量与角加速度矢量的关系是_。,A：平行于；,B：垂直于；,C：为零矢量；,D：为非零矢量。,20,A：平行于AC；,B：垂直于AC且平行于AB；,C：垂直于ABC三点确定的平面；,D：不能确定。,例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点D作匀速圆周运动，AC为圆锥与圆盘接触的母线。在图示瞬时，C点的加速度矢量的方向_。,21,22,例：如图所示，具有固定点A的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆锥的顶角为90，母线长为L，已知圆锥底面中心点D作匀速圆周运动，其速度为v，方向垂直平面ABC向外。求圆锥的角速度、角加速度和圆锥底面上最高点B的加速度的大小。=_，=_，=_。,：自转角速度,：进动角速度,23,24,例：若定点运动刚体角速度矢量的大小为非零常量，其方向始终变化，则该刚体的角加速度矢量可能是_。,D：为非零常矢量。,A：；,B：；,C：；,例：图示薄圆盘半径为R，求M点的速度、转动加速度和向轴加速度的大小。,25,例：图示薄圆盘半径为R，求M点的速度、转动加速度和向轴加速度的大小。,26,27,例：正棱长为L的正方体形绕O点作定点运动，已知在图示瞬时该刚体的角速度与角加速度，求该瞬时正方体上顶点A的转动加速度的大小和向轴加速度的大小.=_；=_,28,例：正方形刚体绕O点作定点运动，已知在图示瞬时其上A、B两点的速度方向，如图所示，则此时该刚体角速度矢量平行于_。,A：A、B两点连线；,B：平行于Oz轴；,C：平行于Oy轴；,D：平行于Ox轴。,29,A：只能确定其角速度矢量所在平面；,B：能求角速度的大小和方向；,C：能求角加速度的大小和方向；,D：能求刚体对定点的动量矩大小和方向。,例：已知质量为m棱长为L的正方形刚体绕O点作定点运动，已知在图示瞬时其顶点A、B两点速度矢量满足关系式(垂直于OAB平面)方向，且.根据已知条件，能求刚体的哪些物理量？,30,A：一定能够；,B：一定不能够；,C：不一定能够。,例：若刚体绕O点作定点转动，已知某瞬时其上A、B两点的速度分别为和，且大小均不为零。若O、A、B三点均不重合，则_该刚体的角速度。,原因：若O、A、B三点共线。,31,例：不论刚体作什么运动，刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影_。,A：一定相等；,B：一定不相等；,C：不一定相等。,例：如图所示，圆盘以匀角速度绕CD轴转动，框架以匀角速度绕铅垂轴转动。则该定点运动圆盘角速度的大小=_(方向画在图上)，角加速度的大小=_(方向画在图上)。,32,33,例：如图所示，半径为R的圆盘以匀角速度绕框架上的CD轴转动，框架以匀角速度绕铅垂轴AB转动。求：圆盘在图示位置的最高点速度的大小v，该点的向轴加速度的大小和转动加速度的大小。v=_;=_；=_。,34,例：如图所示，圆盘相对正方形框架ABCD以匀角速度绕BC轴转动，正方形框架以匀角速度绕AB轴转动。求该圆盘的绝对角速度的大小和绝对角加速度的大小。=_；=_。,35,例：如图所示，圆盘相对正方形框架ABCD以匀角速度每分钟绕BC轴转动2周，正方形框架以匀角速度每分钟绕AB轴转动2周。求该圆盘的动能及对B点的动量矩。,36,例：匀角速度定轴转动刚体在运动过程中，其_等物理量一定为常量。,A：相对质心的动量矩；,B：动能；,C：动量；,D：对转轴的动量矩。,原因：动量和动量矩是矢量。,37,例：如图所示，定点运动陀螺做规则进动(即该陀螺的自转角速度和进动角速度的大小不变，且对称轴z与铅垂轴的夹角不变)，则该陀螺在运动过程中，其_保持不变。,A：相对O点的动量矩；,B：动能；,C：动量；,D：相对轴的动量矩。,38,例：质心在转轴上的定轴转动刚体，当其角速度不为零时，该刚体对质心的动量矩矢量_。,A：一定平行于转轴；,B：一定不平行于转轴；,C：不一定平行于转轴。,39,例：如图所示，圆柱固连在水平轴上，并以匀角速度绕该轴转动，同时框架以匀角速度绕铅垂轴CO转动。其中：x,y,z是圆柱上关于点的三个相互垂直的惯量主轴，且圆柱对这三根轴的转动惯量分别为.则该瞬时圆柱对点的动量矩：,40,例：如图所示，正方形框架以匀角速度绕水平轴AB转动，质量为m半径为R的均质圆盘M以匀角速度绕正方形框架上的CD轴转动。且，CD轴到轴承A、B的距离皆为l.若正方形框架和轴AB的质量不计，求框架运动到铅垂平面内时，圆盘产生的陀螺力矩的大小；以及作用在轴承上的约束力的大小=_；=_。,题10-14：,题10-17：,与例10-2类似。,41,题10-18：求维持图示运动所需的x=?,动量矩：,由动量矩定理：,42,43,第9、11章要求,能够利用拉格朗日方程(含第一类)列写系统的动力学方程；能计算广义力；能给出拉格朗日方程的首次积分，并能利用初始条件计算积分常数；能计算单自由度系统微振动的固有频率，了解共振概念；能根据初条件计算振动的振幅与初相位；了解两类拉格朗日方程的应用场合。,43,6.质量为m的质点可在半径为R的圆环内运动，圆环以常角速度绕AB轴作定轴转动，如图所示。为质点的广义坐标，此时质点的动能可表示成，其中(i=0,1,2)为广义速度的i次齐函数。求：,44,例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求：,用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能T和势能V(杆在铅垂位置时为势能零点)；若初始时，杆位于铅垂位置。=0，圆盘中心A点的速度为u，杆的角速度为零。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,要求：给出解题的基本理论和基本步骤。,45,例：滑块与均质圆盘用杆AB铰接在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长为l，圆盘半径为R，各物件质量均为m.不计所有摩擦。求：,用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能T和势能V(杆在铅垂位置时为势能零点)；若初始时，杆位于铅垂位置，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,46,例：AB杆长l，圆盘半径R，各物件质量均为m.不计所有摩擦。,给出系统的动能T和势能V(杆铅垂时势能取零)；,47,若初始时，杆位于铅垂位置。=0，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为。，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,48,有首次积分:,49,确定积分常数:,初始,滑块速度u向右；圆盘角速度逆时针。,50,例：系统在铅垂平面内运动。系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长l，圆盘半径R，各物件质量均为m.不计所有摩擦。求：,用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能T和势能V(杆在铅垂位置时为势能零点)；若初始时，杆位于铅垂位置，滑块的速度为u，方向水平向右；两圆盘的角速度均为，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,51,52,53,解:(1)以整体为研究对象；,(2)受力分析和运动分析,(3)利用动力学普遍方程:,例:系质量为m长为L的均质杆OA和质量为m长为2L的均质杆AB用光滑柱铰连接并悬挂于O点，AB杆的B端放在光滑水平面上。若系统初始静止，OA杆铅垂，在铰链A上作用一水平推力P，求初始时AB杆和OA杆的角加速度的大小和。,54,加惯性力,取虚位移,(3)利用动力学普遍方程:,例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位置无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。,解：(1)对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。,55,56,(2)取两杆的转角和为广义坐标。,(3)取虚位移,57,(3)取虚位移,58,例：初始静止,求两杆的角加速度。,59,例：拉格朗日方程的循环积分反映的是质点系的_。,A：某个广义动量守恒；,B：广义能量守恒。,60,例：二自由度线性振动系统的固有频率与系统的_有关。,A：广义质量；,B：广义刚度；,C：初始位置；,D：初始速度。,61,例：单自由度线性振动系统的振动周期与_有关。,A：广义质量；,B：广义刚度；,C：初始位置；,D：初始速度。,62,例：图示系统的等效弹簧刚度系数k*=_。,例：图示系统的固有频率=_。,63,例：长为l质量为m的均质杆OA用光滑柱铰链悬挂在o点，下端与刚度系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动力学方程_。,64,例：长为l质量为m的均质杆OA用光滑柱铰链悬挂在o点，下端与刚度系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的固有频率=_。,65,例：质量为m半径为R的均质圆盘可绕其中心水平轴O作定轴转动,质量为m的滑块A与圆盘通过铰链用长为R的无质量杆AB连接，不计所有摩擦，系统在铅垂面内运动,求系统在静平衡位置附近作微幅振动的固有频率=_。,66,例：已知m,OA=AB=L,求系统微振动固有频率,67,题11-24：已知：曲柄OA匀速转动，求受迫振动方程。,解：(1)取位置坐标。,阻尼力:,68,题11-27:已知,求B的振动方程.,解:取相对位移y为坐标,静平衡位置o为原点.,69,题11-27:已知,求B的振动方程.,解:取绝对位移y为坐标,静平衡位置o为原点.,70,习题6-2：图示滑块A在光滑的水平槽中运动，弹簧的刚度系数为k，杆AB长度为l，小球大小不计。设在力偶M作用下杆AB的运动规律为=t，试求滑块A的运动微分方程。,71,习题9-13：建立质点的运动微分方程