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文档简介

导数的实际应用,例1：在边长为acm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？,解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积,所以,令,解得x1=a，x2=a（舍去），,在区间(0，a)内，且当00，当axa时，V(x)0)，,所以f(x)=kx(d2x2)，0xd，,在开区间(0，d)内，令f(x)=k(d23x2)=0，,解得x=d，,其中负根没有意义，舍去.,当00，当dxd时，f(x)0，,因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x=d，所以f(x)在x=d取得最大值，,这就是横梁强度的最大值，,这时,即当宽为d，高为时，横梁的强度最大。,练习2如图，已知电源的电动势为，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？,解：由欧姆定律得电流强度,在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R=,实验表明，当，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定，,当R很小时，电源的功率大都消耗在内阻r上，输出的功率可以变的很小；R很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此R一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。,令,即，解得R=r，,因此，当R=r时，输出的功率最大。,练习3圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？,解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2,由V=R2h，得,则,S(R)=2R+2R2=+2R2,令,解得R=,从而h=,即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值,答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省,已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？,解：收入,利润,(0q100),令L=0,即,求得唯一的极值点q=84.,答：产量为q=84时，利润L最大,1、实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,3、求最大（最小）值应用题的一般方法,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。,(2)确定函数定义域，并求出极值点。,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点。,2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式
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