用YΔ等效变换巧算复杂电路的等效电阻

用Y/等效变换巧算复杂电路的等效电阻钟佩文重庆市潼南中学，重庆 潼南 402660 摘要：在某些复杂电路中，几个电阻既非串联，又非并联，如果使用常规方法计算它们的等效电阻，那么将会是一件十分困难繁琐的事情。本文采用Y-等效变换与-Y等效变换两种方法，将复杂电路中的Y形联接与形联接的电阻进行合理地互换，高效精确地计算电路的等效电阻，以达到事半功倍的效果。关键词：Y-等效变换；-Y等效变换；Y形联接；形联接；等效电阻在电路分析中，经常会遇到几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路。要计算这个电路的等效电阻，如果单纯地采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么运算过程将会非常困难繁琐。本文重点介绍两种方法Y-等效变换与-Y等效变换，旨在找出复杂电路中Y形联接与形联接的电阻，将其进行合理地互换。可使看似毫无规律的电阻呈现出简单的串、并联关系，在电路串并联基础上计算等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。321I1I2I3R12R13R23bI3R3I2321I1R1R2a如图1中a、b所示，a图为Y形联接的电阻，b图为形联接的电阻，它们之间等效变换的条件是：仍然保持电路中其余各个部分的电流和电压不变，即要求对应端（如1,2,3）流入或流出的电流（如I1,I2,I3）一一相等，对应端之间的电压（如U12,U23,U13）一一相等。 图1 Y形联接与形联接的电阻当满足上述等效变换的条件时，在Y形联接与形联接两种接法中，对应的任意两端的等效电阻也必然相等，即为： 联立三式，可以解出：将Y形联接等效变换为形联接时， 将形联接等效变换为Y形联接时， 1、Y-等效变换的实际应用3RR3R3RRab图3 a、b两点之间经过Y-等效变换的电路图 例题1 求解图2之中a、b两点之间的等效电阻。图2 电路图RRRRRa b解析： 在图2所示的电路图中，5个阻值均为R的电阻既非串联，又非并联，如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻将会变得非常复杂繁琐。因此不难另辟蹊径，图2中虚线部分的3个电阻是Y形联接，使用Y-等效变换以及等效变换公式，将其转换为图3中虚线部分形联接的3个电阻。在图3所示的电路图中，根据电阻的简单串、并联关系，a、b两点之间的等效电阻为： 2、-Y等效变换的实际应用 例题2 求解图4之中a、b两点之间的等效电阻。RRRabRR图4 电路图RRR/3R/3abR/3图5 a、b两点之间经过-Y等效变换的电路图解析： 本例题与例题1比较类似，在图4所示的电路图中，5个阻值均为R的电阻既非串联，又非并联，如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻也将会变得非常复杂繁琐。因此不难另辟蹊径，图4中虚线部分的3个电阻是形联接，使用-Y等效变换以及等效变换公式，将其转换为图5中虚线部分Y形联接的3个电阻。在图5所示的电路图中，根据电阻的简单串、并联关系，a、b两点之间的等效电阻为： 例题3 在图6中，abc为一个等边三角形，d、e、f为各边上的中点，分别求解ab、bc、ac两点之间的等效电阻。解析：图6为一个等边三角形的网络电路，各个电阻R之间没有明显的串、并联关系，采用常规方法显然无法求解3个端点a、b、c之间的等效电阻。观察上R/3R/3R/3deafbc图7 ade、dbf与efc经过-Y等效变换的电路图R/3R/3R/3R/3R/3R/3RRRefadbc图6 电路图RRRRRR述网络电路中电阻联接方式的特征，不难发现等边三角形abc里面含有3个小的等边三角形ade、dbf与efc，它们都是由3个阻值均为R的形联接的电阻组成。因此可以借助于-Y等效变换以及等效变换公式，将整个网络电路转换为图7所示的Y形联接电路。在图7所示的电路图中，根据电阻的简单串、并联关系，a、b两点之间的总电阻为： 同理可得： 因为等边三角形abc的三边具有轴对称性，所以ab、bc、ac两点之间的等效电阻各占相应总电阻的一半，即为： 由此可见，当求解几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路的等效电阻问题时，需要深入挖掘该电路中电阻联接方式的特征，找出Y形联接或形联接的电阻。然后采用Y-等效变换或-Y等效变换进行合理地互换，整理化简为简单的串、并联关系的电阻，最后运用常规方法高效精确地计算它们的等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。参考文献1 赵凯华，