大学高数复习内容.ppt

复习主要内容,1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.2、分析复合函数的构成3、无穷小量,4、无穷大量,5、无穷小量的性质：,(1)有限个无穷小量的和仍为无穷小量.,(3)有界量与无穷小量之积为无穷小量.,(2)有限个无穷小量的积仍为无穷小量.,6、无穷小量的比较,设,是同一极限过程的无穷小量，且0,例(P17)1、3,x0时，sin7x2与x2是阶的无穷小量.,同,7、两个重要极限,8、连续的定义如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即,那么就称函数在点x0连续.,例(P26)2,9、间断点及其分类如果点x0不是函数f(x)的连续点，则称点x0为的间断点.,(1)可去间断点,(一)第一类间断点,都存在的间断点称为第一类间断点.,(2)跳跃间断点,(二)第二类间断点,称为第二类间断点。,常见的有无穷间断点和振荡间断点.,1、导数的定义,例(P36)1、(P55)1,2、导数公式P42-43,3、导数的意义,切线方程为,(1)几何意义,(2)物理意义,s=s(t)在点t0的导数是作变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，即,例求y=sinx在点处的切线方程.,所求的切线方程为,例从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起飞点500米远处的测距器所跟踪.在测距器的仰角为/4的瞬间，仰角以0.14弧度/分的速率增长.在该瞬间气球的上升有多快？,已知,解设气球高度为h，仰角为，,求,4、导数的应用问题P49-50,两边对t求导,在该瞬间气球以速率140米/分上升,5、导数的计算,或,例(P43)2(4)(5),6、高阶导数,7、隐函数的求导,直接对方程两边对x求导.求导过程会用到复合函数求导法则.,8、对数求导法,例(P49)2,9、微分,(1)点微分,(2)函数微分,10、微分的应用,(P51)例2(P54)1、2,例(P56)12,1、罗尔定理,如果函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点,使得,如果函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少有一点,使得,2、拉格朗日中值定理,(P59)1、(P60)3、(P79)1(1)(5),3、洛比达法则,时，常见的等价无穷小量：,例(P17)3(4)、(P64)1(1)(3)、2(2)(3),4、函数极值及最值,(1)极值:(第一充分条件)设f(x)在点x0的某邻域内可导,(a)当x0,且当xx0时,有f(x)0，则f(x)在x0处取得极小值.,(2)闭区间a,b上的最值:,求极值的步骤:,(a)写出函数f(x)的定义域,(b)求f(x)出驻点(f(x)=0的点)及不可导点；,(c)列表,驻点及不可导点分割定义域，根据第一充分条件判断.,(i)求(a,b)内的驻点和不可导点;,(ii)求区间端点、驻点及不可导点处的函数值；比较大小,其中最大的和最小的就是所要求的最大值和最小值。,(P75)例4，(P76)2、3，(P81)5,(3)实际应用题的最值:,建立目标函数;求驻点;下结论.(若目标函数的最值不能在区间端点取得,且只有唯一驻点，则该驻点处的函数值就是所求的最值.),(P76)2,解桶的底面半径为r，高为h，体积为V,令,得唯一驻点,当底面直径为,高为时，容积最大.,1、原函数,不定积分,微分与积分的关系,(P85)填空题.例(P98)一、二,2、不定积分的计算积分公式P85、P91,凑微分法,第二类换元法，分部积分法,例(P94)填空题,凑微分：,第二换元法：一般是用于去根号，令,分部积分法：,(P99)三,1、定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形是由x=a、x=b、y=f(x)及x轴围成的.,(3)(P111)若f(x)在-a,a上连续且为奇函数，则,(1)当a=b时，,2、定积分的性质,例(P129)15,3、积分上限函数及其导数,例(P109)2,4、定积分的计算,换元法：换元必换限;分部积分法,分部积分法,(P111)1(P113)课堂练习,5、平面图形的面积,例(P122)1,1、边际成本、边际收益、边际利润,2、成本函数、收益函数,MC表示产量为Q时,再生产1个单位产品所花费的成本.,例(P79)1