弹性力学-等截面直杆的扭转(例题习题详解)（课堂PPT）

第七章等截面直杆的扭转,要点：,（1）等截面直杆扭转问题的基本方程,扭转应力函数,（2）按应力求解扭转问题的方法,（3）扭转问题薄膜比拟理论,7-1扭转问题中应力和位移,7-2扭转问题的薄膜比拟,7-3椭圆截面的扭转,7-4矩形截面杆的扭转,7-5薄壁杆的扭转,7-6扭转问题的差分解,主要内容,7-1扭转问题中应力和位移,问题：,（1）等截面直杆，截面形状可以任意；,（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩M；,求：杆件内的应力与位移？,1.扭转应力函数,求解方法：,按应力求解；,半逆解法由材料力学中某些结果出发，求解。,（3）两端无约束，为自由扭转，不计体力；,材料力学结果：,（1）,（自由扭转）,（2）,侧表面：,（7-1）,扭转问题的未知量：,为三向应力状态，且不是轴对称问题。,扭转问题的基本方程,平衡方程：,（8-1）,将式（7-1）代入，得：,（a）,扭转问题的平衡方程,相容方程：,相容方程：,（9-32）,扭转问题的相容方程,（c）,边界条件：,（1）侧面：,（2）端面：,（n=0,）,（b）,（d）,（e）,（f）,（a）,（b）,扭转问题的相容方程,平衡方程,基本方程的求解,由式（a）的前二式，得,二元函数,由式（a）的第三式，得,由微分方程理论，可知：一定存在一函数（x，y），使得：,于是有：,（7-2）,（x，y）扭转应力函数,也称普朗特尔(Prandtl)应力函数,将式（7-2）代入相容方程（b），有,（7-3）,由此可解得：,用应力函数表示的相容方程,式中：C为常数。,结论：,等直杆的扭转问题归结为：,按相容方程（7-3）确定应力函数（x，y），然后按式（7-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。,定解条件边界条件,（1）侧表面：,将、l、m代入上述边界条件，有,又由式（7-2），应力函数差一常数不影响应力分量的大小，,表明：在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数应取常数。,（7-4）,扭转问题的定解条件之一。,对于多连体（空心杆）问题，在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：,于是对单连体（实心杆）可取：,Ci的值由位移单值条件确定。,（2）上端面：,由圣维南原理转化为：,（c）,（d）,（e）,对式（c），应有,同理，对式（d），应有,对式（e）：,分部积分，得：,同理，得：,将其代入式（e）：,得到：,（7-5）,结论：,等直杆的扭转问题归结为解下列方程：,（7-3）,泛定方程：,定解条件：,（7-4）,（7-5）,应力分量：,2.扭转的位移与变形,由物理方程，得：,再几何方程方程代入，有,（f）,积分前三式，有,代入后三式，有,又由：,得：,从中求得：,代入f1、f2和u、v得：,其中：u0、v0、x、y、z和以前相同，代表刚体位移。,若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有,（7-6）,将其极坐标表示：,由,将式（7-6）代入，有：,由此可见：,对每个横截面（z=常数）,它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度=Kz。,K单位长度杆件的扭转角。,将其代入：,有：,将两式相减，得：,（7-7）,（7-8）,将其对照式（7-3）：,（7-3）,可见：,（7-9）,实际问题中，K可通过实验测得。,7-2扭转问题的薄膜比拟,1.薄膜比拟概念,比拟的概念：,如果两个物理现象，具有以下相似点：,（1）泛定方程；,（2）定解条件；,则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。,扭转问题的薄膜比拟：,由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出,薄膜在均匀压力下的垂度z，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。,因此，可用求薄膜垂度z,的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，扭转问题的薄膜比拟方法。,为扭转问题提供了一种实验方法,2.薄膜比拟方法,设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度z。,有关薄膜假定：,不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力T（单位宽度的拉力）作用。,2.薄膜比拟方法,方法说明：,取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如图，,ab边上拉力：,ab边上拉力在z轴上投影：,cd边上拉力：,cd边上拉力在z轴上投影：,ad边上拉力：,ab边上拉力在z轴上投影：,bc边上拉力：,bc边上拉力在z轴上投影：,在z方向上外力：,两边同除以dxdy，整理得：,或：,（7-7）,边界条件：,（7-11）,对于均布压力，有：,式（7-7）和（7-11）变为：,（a）,另一方面，扭转问题有：,（7-8）,（7-4）,将式（7-8）、（7-4）改写为：,（b）,比较式（a）、（b）可见：,当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：,与,决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：,（c）,3.扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系,薄膜与边界平面间的体积为：,由式（c）:,（c）,得到:,代入上式，有:,由式（7-5）：,得到：,（d）,或,扭矩M与薄膜体积的关系,截面剪应力与薄膜斜率的关系,由,可得：,其中：,薄膜垂度z沿y方向的斜率。,（e）,（f）,结论：,当薄膜受均布压力q作用时，使得：,则得：,（1）,（2）,（3）,由于x、y轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：,（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。,（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。,注：最大剪应力的方向，与该薄膜的最大斜率的方向垂直。,7-3椭圆截面的扭转,1.问题的描述,椭圆截面直杆：,长半轴为a，,短半轴为b，,受扭矩M作用。,求：杆中的应力与位移。,2.问题的求解,求应力函数,根据：,（7-4）,及椭圆截面方程：,可假设：,（a）,（b）,式中：m为待定常数。将其代入方程（7-3）：,得到：,（c）,利用方程（7-5）：,（c）,利用方程（7-5）：,（d）,式中：,代入式（d）,有：,可求得：,（e）,（e）,（c）,将其代入式（e）,得：,（f）,至此，满足所有的条件：,（7-4）,（7-3）,（7-5）,求剪应力,（1）剪应力分量：,（7-12）,（2）合剪应力：,（7-13）,（3）最大、最小剪应力：,对上式求极值，当,（7-14）,当a=b时，与材料力学中圆截面结果相同。,求杆的形变与位移,由,得到：,（7-15）,杆件单位长度的扭转角,单位长度的扭转角,位移分量,由,（7-16）,可求得：,由式（7-7）和式（f）:,（f）,比较两式，得：,对其分别积分，得：,式中：w0为常数，代表刚体位移。,若不计刚体位移，则有：,（7-17）,表明：,扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。,曲面的等高线在xy面上的投影为双曲线，其渐近线为x、y轴。,仅当a=b时（圆截面杆），才有w=0，横截面保持平面。,7-4矩形截面杆的扭转,1.问题：,图示矩形截面杆：,a、b、M,（1）,（2）,两种情形：,ab；,求：杆的应力与位移。,2.问题的求解,（1）ab情形：,狭长矩形,一般情形；,求应力函数,ab，,由薄膜比拟可以推断，,应力函数绝大部分截面几乎不随x变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。,可以近似地取：,而：,变为：,对上式积分，有,利用边界条件：,可求得：,（a）,利用式（7-5）：,积分求得：,（b）,（c）,求剪应力,（1）剪应力分量：,（7-18）,（2）最大剪应力：,（7-19）,杆件的变形,单位长度扭转角：,由式（7-9）：,（7-20）,此时应力函数可表示为：,（d）,（2）任意情形（a/b=任意值）：,求应力函数,基本方程与边界条件：,此时应力函数为一般函数：,求解思路：,对狭长矩形结果，进行修正。,将分解成两部分，即：,其中：1为狭长矩形的应力函数，即：,（e）,（f）,（g）,（g）,调整函数F，使其满足边界条件：,将式（g）代入方程：,得到：,因为：,有：,（h）,表明：F应为一调和函数。,原问题转化为：,（i）,由问题的对称性，F应为x、y的偶函数。,满足上述条件的函数只能是：,（j）,将式（j）代入式（i）第二式，得：,将上式右边为,级数，,并比较两边系数，有,代入函数F，有,最后确定应力函数为：,（k）,求最大剪应力：,由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点A：x=0,y=b/2）,其大小为：,（l）,单位长度扭转角K：,应用式（7-5）：,（m）,代入式（l）,得最大剪应力公式：,（n）,将上述两公式表示成：,（7-21）,（7-22）,式中：、1仅与a/b有关。,扭转问题解题小结：,（1）,求应力函数,（7-3）,（7-4）,（7-5）,由式（7-4）及边界的几何形状设定应力函数，然后由式（7-3）、（7-5）确定待定常数。,对多连体截面杆：,（7-3）,（7-4）,（7-5）,其中：,（1）Ai为第i个内边界所围的面积;,（2）i为第i个内边界的值;,（3）,求变形与位移,单位长度扭转角：,（7-9）,位移分量：,（2）,求应力分量和最大剪应力,合剪应力：,例：,图示空心圆截面杆件，外半径为a，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。,解：,求应力函数,为使在外边界上的值为零，内边界上的值为常数，可取：,（1）,由端部边界条件式（7-5）得：,于是，得,（2）,（3）,求剪应力,（4）,（5）,求变形与位移,单位长度扭转角：,位移分量：,（7-7）,由：,刚体位移,由于变形引起的轴向位移：,即平面保持平面假设成立。,7-5薄壁杆的扭转,1.开口薄壁杆件扭转,分类：,（1）,开口薄壁杆件；,（2）,闭口薄壁杆件。,仅讨论其自由扭转。,假定：,（1）由于杆件壁厚b很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；,（2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。,扭转剪应力与变形：,设ai、bi分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i代表该矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有,扭转剪应力与变形：,设ai、bi分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i代表该矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有该矩形长边中点附近的剪应力及杆件的扭转角：,（a）,（b）,由式（b）得：,（c）,整个横截面上的扭矩为：,（d）,比较式（c）与式（d），有：,将上式代回式（a）（b），有：,（7-23）,（7-24）,由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的抗扭刚度为：,说明：,（1）式（7-23）给出的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。应力集中。,（2）连接处应力随连接圆角的半径而变化，图中给出胡斯（J.H.Huth）用差分法计算得到的结果。,2.闭口薄壁杆件扭转,扭转剪应力：,由薄膜比拟方法分析。,方法说明：,在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；,为使薄壁杆横截面的内边界上的垂度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变形的平板，平板的大小、形状与横截面的内边界相同；,由于杆壁的厚度很小，可以预料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，如图所示。,于是，杆壁厚度为处的剪应力大小（等于薄膜的斜率）为：,（e）,由杆横截面上的扭矩M与薄膜、杆横截面所围的体积间关系，有：,（f）,式中：A为横截面内外界所围面积的平均值。,由此得：,将其代入式（e），有：,（7-25）,（7-25）,显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：,扭转变形单位长度扭转角K,考虑平板CD的平衡：,在杆壁中线取一微小长度ds，该微段薄膜对平板的拉力为：Tds，它在z轴方向的投影：,平板所受的压力（z轴方向）为：,由z轴方向力的平衡，即,由式（f）可得：,而：,由此可得：,因而，可求得：,（7-26）,对于均匀厚度的闭口薄壁杆，为常驻量，上式即变为：,（7-27）,式中：s为杆壁中线的全长。,说明：,（1）在截面的凹角处，局部的最大应力max可能发生远大于式（7-25）给出的应力值。,（2）局部最大应力随凹角处的圆弧半径的增大而减小。,杆的抗扭刚度：,小结：,（1）开口薄壁杆件：,（7-23）,（7-24）,剪应力：,单位长度扭转角：,抗扭刚度：,（2）闭口薄壁杆件：,剪应力：,（7-25）,单位长度扭转角：,（7-26）,（7-27）