Mathematica_软件及其应用

Mathematica,软件,2020年5月19日星期二,2,目录,第一章Mathematica简介,第三章高等数学中的应用,第四章数学建模中的应用,第二章Mathematica的基本操作,2020年5月19日星期二,3,一、概述,二、Mathematica的主要功能,第一章Mathematica简介,2020年5月19日星期二,4,一、基本知识,三、基本代数运算,四、程序设计简介,二、基本操作,第二章Mathematica的基本操作,2020年5月19日星期二,5,第三章高等数学中的应用,一、极限,三、幂级数展开,四、解微分方程,二、微分与积分,五、数据拟合,六、图形与动画,2020年5月19日星期二,6,第四章数学建模中的应用,一、梯子的最大长度,二、空中电缆的长度,三、追击问题,四、传染病的传播,2020年5月19日星期二,7,计算机是随着数值计算的需要而诞生的。今天，计算机已从单纯的数值计算功能发展到文字处理、多媒体处理、数学推理与图形变换等功能，正在不断改变着我们的工作及生活方式，使人类的劳动效率及生活水平都在不断提高。,一、概述,第一章Mathematica简介,2020年5月19日星期二,8,数学软件包就是为方便广大工程技术人员、科学研究人员及大专院校师生用计算机处理数学问题而提供的软件工作平台。数学软件包不仅能方便地进行数值计算，而且能方便地进行数学表达式的化简、因式分解、多项式的四则运算等数学推理工作，一般称后者为符号计算。因此，数学软件包又称为符号计算系统。,2020年5月19日星期二,9,众所周知，高等数学中的许多重要方法，如求极限、求导数、求不定积分、求定积分、求解常微分方程、向量运算、求偏导数、计算重积分、级数的展开等，只靠笔算较为繁琐且有时难以完成，而借助数学软件包则可有效地解决许多类似的问题。,Mathematica与Matlab、Maple为目前国际上最流行的三大数学软件包。为提高用高等数学解决实际问题的能力，本课程将介绍数学软件包Mathematica及其在高等数学和实际问题中的一些应用。,2020年5月19日星期二,10,Mathematica软件是美国WolframResearch公司开发，由美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授StephenWolfram负责研制出的一个功能强大的计算机数学系统。Mathematica是第一个将符号运算、数值计算和图形显示结合在一起的数学软件，是目前世界上应用最广泛的符号计算系统之一。,2020年5月19日星期二,11,Mathematica软件用语言编写，具有简单易学的交互式操作方式，它有Dos环境及Windows环境下的几种版本，最初的版本1.0版于1988年发布，1991年推出2.0版，1996年推出了较为成熟的3.0版。本课程介绍Windows环境下的Mathematica5.0版的基本使用方法及其应用。,2020年5月19日星期二,12,Mathematica集文本编辑、符号计算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体，它以符号计算见长，同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能，以及像和Pascal语言那样的结构化程序设计功能。在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算，包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维和三维图形，并能产生动画和声音。,二、Mathematica的主要功能,2020年5月19日星期二,13,在高等数学方面，Mathematica提供了范围广泛的数学计算功能，主要包括三个方面：符号演算、数值计算、图形。例如：多项式的四则运算、展开、因式分解，有理式的各种计算，有理方程、超越方程的解，求极限、导数、偏导数、极值、不定积分、定积分、重积分、幂级数的展开式，求解微分方程，作一元、二元函数的图形等等。,2020年5月19日星期二,14,一、基本知识,第二章Mathematica的基本操作,1进入和退出Mathematica安装好Mathematica后，从Mathematica5的程序组中执行Mathematica5即可进入Mathematica数学软件包的编辑界面。在屏幕上显示Notebook窗口（用户在该窗口输入各种命令），系统暂取名Untitled-1，直到用户保存时重新命名为止。,2020年5月19日星期二,15,退出方法和一般的Windows程序退出方法相同。退出时若文件未存盘，系统会提示用户存盘，文件名以“.nb”作为后缀，称为Notebook文件。以后想使用本次保存的结果时可以通过“文件”菜单打开它，也可以直接双击它，系统自动调用Mathematica将它打开。,2基本算术运算符加号：+减号：乘号：*除号：/指数：阶乘：！乘号“*”可用空格代替，“”表示乘方。,2020年5月19日星期二,16,3表达式Mathematica能处理数学公式，表以及图形等多种数据形式。尽管形式上看起来不一样，但在Mathematica内部都被看成同种类型，即都把他们当作表达式的形式。Mathematica中的表达式是由常量、变量、函数、命令、运算符和括号等组成。如：3+2-7*4；x2-3x；(a+b)*(a-2b)等。,2020年5月19日星期二,17,注：(1)表达式里的括号只允许是圆括号（无论有多少层）。(2)表达式也可用基本输入的控制面板辅助输入。(3)介于“(*”和“*)”之间的内容为注释，不执行。,表达式的输入和执行：直接在Notebook窗口输入一个表达式（长表达式用“Enter”换行）后，在窗口形成一个单元(Cell)，按组合键“Shift+Enter”或小键盘的“Enter”可立即执行，表达式执行后的结果以“Out命令序号=”形式显示输出，执行的结果可在后续的表达式中使用。,2020年5月19日星期二,18,4简单的调用方式:代表最后一次的执行结果：代表倒数第二个的执行结果n：代表上面第n个表达式的执行的结果（而不是倒数第n个结果）,注：表达式后加分号“;”，则不显示执行结果（图形输出命令与屏幕显示命令Print除外），但结果仍可在后续的表达式中使用，这样可加快计算速度。,2020年5月19日星期二,19,5Mathematica的联机帮助系统使用Mathematica的过程中，常常需要了解一个命令的详细用法，或者想知系统中是否有完成某一计算功能的命令，联机帮助系统永远是最详细、最方便的资料库。可用命令和菜单两种方式可以得到系统的联机帮助信息。,2020年5月19日星期二,20,(1)命令方式：在Notebook界面下，用？或?可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法，获取简单而直接的帮助信息。,例如，向系统查询作图函数Plot命令的用法可使用命令“？Plot”，系统将给出调用Plot的格式及Plot命令的功能（如果用两个问号“?”，则信息会更详细一些）。,使用命令“?Plot*”，系统将给出所有以Plot这四个字母开头的命令的用法。,2020年5月19日星期二,21,注：帮助浏览器中含有初学者入门指南和多种演示以及一本完整的Mathematica使用手册。,(2)菜单方式：任何时候都可以通过按Shift+F1键或点击帮助菜单调出帮助浏览器（HelpBrowser），或按F1直接对光标左边的词在帮助浏览器中向系统进行查询。在帮助浏览器中可输入想查询的词以得到系统给出的帮助信息及有关示例。,2020年5月19日星期二,22,二、基本操作,1常用的数学常数Pi：圆周率()E：自然对数的底(e)Infinity：正无穷大()-Infinity：负无穷大()I：虚数单位()Degree：角度单位(，)GoldenRatio：黄金分割数(1.61803)注：重要常数第一字母都大写。,2020年5月19日星期二,23,2常用内部数学函数,Absx：x的绝对值Sqrtx：x的算术平方根Expx：exSignx：符号函数Loga,x：以b为底的对数logaxLogx：自然对数lnxQuotientm,n：m/n的整数部分Modm,n：m/n的余数Floorx：不超过x的最大整数Roundx：四舍五入的整数Maxx1,x2,：x1,x2,的最大值Minx1,x2,：最小值Random：在0和1之间的随机数。RandomInteger,a,b：在a和b之间的随机整数。RandomReal,a,b：在a和b之间的随机实数。Sinx，Cosx，Tanx，Cotx：三角函数(以弧度为单位)ArcSinx，ArcCosx，ArcTanx，ArcCotx：反三角函数,2020年5月19日星期二,24,注：(1)Mathematica严格区分大小写，一般地，内部函数的首字母必须大写，有时一个函数名是由几个单词构成，则每个单词的首写字母也必须大写，如：求局部极小值函数FindMinimumfx,x,x0等。,(2)在Mathematica中，函数名和自变量之间的分隔符是用方括号“”，而不是一般数学书上用的圆括号“（）”，初学者应引起注意。,2020年5月19日星期二,25,3数值类型在Mathematic中，基本的数值类型有四种：整数，有理数、实数和复数。如果你的计算机的内存足够大，Mathemateic可以表示任意长度的精确实数，而不受所用的计算机字长的影响。整数与整数的计算结果仍是精确的整数或是有理数。例如：2的100次方是一个31位的整数：1267650600228228229401496703205376,2020年5月19日星期二,26,在Mathematic中允许使用分数，也就是用有理数表示化简过的分数。当两个整数相除而又不能整除时，系统就用有理数来表示。如1+2/3=5/3。,实数是用浮点数表示的，Mathematica实数的有效位可取任意位数，是一种具有任意精确度的近似实数，当然在计算的时候也可以控制实数的精度。实数有两种表示方法：一种是小数点另外一种是用指数方法表示。如：3.18，2.*108。,2020年5月19日星期二,27,注：(1)有理数与浮点数运算，其结果用浮点数表示。如：2/3+1.0=1.66667。,(2)Mathematica总是用尽量精确的形式给出计算结果。如：2/3+1=5/3；。,(3)得到计算结果的近似数及指定有效数字的位数的方法是用函数“Nexpr,n”，表示给出表达式expr的含有n位有效数字的近似数。如：Nx，Nx,20。前者取x的6位有效数字的近似值(默认)，后者取x的20位有效数字。N1+2/3=1.66667N1+2/3,10=1.666666667,2020年5月19日星期二,28,4定义变量在Mathematica中，变量名是以字母开头的字符串，后接字母、数字或下划线，在它们中间不能有空格。变量名的长度没有限制。,在计算中可能多次用到同一个数值或式子，这时可将其赋给一个变量。变量不仅可以存放一个数值，还可以存放表达式或复杂的算式，甚至于图形和声音。,2020年5月19日星期二,29,5变量赋值在Mathematica中用等号“”为变量赋值。如：给一个变量赋值：x=3;y=4+5;z=a*x2+b*x+c;t=a*b-2a*b给多个变量赋值：a1=b1=6;u,v,w=7,8,9。,假如已经将变量x赋了一个值，那么系统在以后运算中遇到变量x，它会自动将值代入进行计算。因此，当你完成计算以后，应及时清除不必要的变量值。以免对今后的计算有影响。方法是：x=.或Clearx,2020年5月19日星期二,30,6变量值的替换在给定一个表达式时其中的变量可能取不同的值，这时可用变量替换来计算表达式的不同值。方法为：expr/.lhs-rhs或expr/.lhs1-rhs1,lhs2-rhs2,用rhs替换expr中的lhs。或分别用rhsi替换expr中的lhsi。如：x2+3x/.x-2;x2+y2/.x-3,y-4。,注：变量替换时，被替换的变量并没有被赋值。,2020年5月19日星期二,31,7自定义函数虽然Mathematica为用户提供了大量的函数，但是在很多时候，为了完成某些特定的运算，用户还需要自己定义一些新的函数，方法：函数名x_,y_,:=expr。如：fx_:=x2+3x-7gx_,y_:=x+Siny使用方法：f3;f2+5;fa+b;g2,a+b,2020年5月19日星期二,32,注：(1)下划线“_”是必不可少的，它代表x，y，是函数f的自变量。(2)在定义函数时，使用的是延迟赋值符号“:=”。(3)清除自定义函数的方法：Clear函数名。,(4)建议在定义函数时，先使用Clear命令将函数名和要用到的变量清除。如：Clearx,ffx_:=Sinx*Cos2x,2020年5月19日星期二,33,(5)使用条件运算符自定义分段函数基本格式为fx_:=expr/;condition当condition条件满足时才把expr赋给f。如定义函数fx_:=-x/;x=0)x=1“y=3;Ifx=y,a=10;b=100;,a=20;b=200;Printa=,a,b=,b,2020年5月19日星期二,54,(2)Which语句Which语句的一般形式为：Which条件1,表达式1,条件2,表达式2,条件n,表达式n,Which语句的执行过程：从计算条件1开始，依次对条件进行检验，当首次遇到条件为True时，执行相应的表达式，并将表达式的输出值作为Which语句的值。,用Which语句可以方便地定义分段函数。,2020年5月19日星期二,55,如：定义符号函数,gx_:=Whichx=0Dos=s+k,k,1,100,2;Prints=,ss=0;Dos=s+2k-1,k,1,50;Prints=,s,2020年5月19日星期二,57,(2)For循环语句格式：For初始值，循环条件，步进表达式，语句,对循环次数已确定的情况，使用For语句比较简单。,执行方式：初始值循环条件步进表达式语句,首先计算“初始值”，然后对“循环条件”进行检验，,执行完语句则执行步进表达式，,若条件为True，则进入循环，执行“语句”，,然后再对“循环条件”进行检验，,直至条件为False时终止循环。,2020年5月19日星期二,58,如：Fori=1,i=10,i=i+1,Printi2,注：程序的一般书写格式(写在同一单元)如下：(*下面求110的自然数之和，放在变量s中，并求110的自然数之积，放在变量t中*)s=0;t=1;Fori=1,i=10,i=i+1,s=s+i;t=t*iPrints=,s,n,t=,t,s=0;Fori=1,iRGBColori/n,1-i/n,0,i,1,nShowTablepi,i,1,n,5程序举例,2020年5月19日星期二,64,例2自动出题，并判断对错。(*本程序自动出3道算术题，并判断对错*)Print请回答3个题目Fori=1,i+ToStringb=?;Ifc=a+b,Print对了,Print错，正确答案为,a+b,Print输入内容有问题，做下一题。Print没有题目了。,2020年5月19日星期二,65,第三章高等数学中的应用,一、极限,极限：Limitf(x),x-a,左极限：Limitf(x),x-a,Direction-1,右极限：Limitf(x),x-a,Direction-1,如：LimitSinx/x,x-0(1)Limit(1+1/n)n,n-Infinity(E)Limit1/x,x-0,Direction-1(-),2020年5月19日星期二,66,二、微分与积分,1、导数（偏导数）,导数（偏导数）：Df,x,n阶导数：Df,x,n,如：Dx2*Sinx,xDxn*Expx,x,2DSinx*y,xDx3*y2,x,yDx/(x+2y),x,2,yDx2*fx3,x,二元函数的二阶混合偏导数：Df(x,y),x,y,或：gx_:=x2*Sinxgxg3,2020年5月19日星期二,67,2、微分,微分(或全微分)：Dtf,全导数：Dtf,x即,Dtx2*y2,x,如：Dtx2,Dtx2*y2,注意与Dx2*y2,x的区别。,2020年5月19日星期二,68,3、隐函数求导,设隐函数方程为：f(x,y)=0,则SolveDtf(x,y),x=0,Dty,x可求出隐函数y对x的导数Dty,x。,如：求x2+y2=1确定的隐函数y对x的导数。,SolveDtx2+y2-1,x=0,Dty,x或F=x2+y2-1;-DF,x/DF,y,思考：如何求参数方程确定的函数的导数？,Dty/Dtx或Dy,t/Dx,t,2020年5月19日星期二,69,例：求曲线在处的切线并画图。,y=x2+3x-2;x0=2;y0=y/.x-x0;k=Dy,x/.x-x0;Y=y0+k*(x-x0);Print切线方程为：y=,ExpandY;Ploty,Y,x,-5,5,程序如下：,2020年5月19日星期二,70,4、极值,极小值：FindMinimumf(x),x,x0极大值：FindMaximumf(x),x,x0,二元函数极小值：FindMinimumf(x,y),x,x0,y,y0,FindMaximumSinx*y,x,1,y,2,如：Plotx/2+Sinx,x,-5,5FindMinimumx/2+Sinx,x,-2,FindMinimumx/2+Sinx,x,4,2020年5月19日星期二,71,5、积分,不定积分：Integratef(x),x,y=.;Integratey*x2,x,0,1,y,x2,x,如：Integratea*x2,x,Integratea*x2,x,3,5,定积分：Integratef(x),x,a,b,二次积分：Integratef(x,y),x,a,b，y,y1,y2,IntegrateExp-x,x,0,Infinity,2020年5月19日星期二,72,在点x=x0处将f(x)展开至n次的幂级数：Seriesf(x),x,x0,n去掉展开式中的余项：NormalSeriesf(x),x,x0,n,t=NormalSeriesExpx,x,0,5Nt/.x-1(*E的近似值*)Plott,x,-3,3,如：SeriesSinx,x,0,9,Series1/(3-x),x,1,3,三、幂级数展开,2020年5月19日星期二,73,解以x为自变量，以y为未知函数的微分方程：DSolve微分方程,yx,x,DSolveyx-yx-2yx=x,yx,x,如：DSolveyx+x*yx+x3=0,yx,x,DSolveyx=yx,yx,x,四、解微分方程,解含初始条件的初值问题：DSolveyx=yx,y0=5,yx,x,2020年5月19日星期二,74,1、数据作图,在坐标系中画出以表的形式给出的平面上的若干个点：ListPlot表,选项可用选项改变点的颜色和大小，无选项时则取默认值。画折线选项：PlotJoined-True，默认为False，画点。,（画较大的红色点）,如：ListPlot1,2,3,5,4,3,PlotJoined-TrueListPlot1,2,3,5,4,3,PlotStyle-PointSize0.03,d=1,2,3,-1,5,-2,7,1;ListPlotd,PlotStyle-RGBColor1,0,0,PointSize0.03,五、数据拟合,2020年5月19日星期二,75,2、数据拟合,找出和数据点(以表的形式给出)吻合最好的n次多项式：Fit表,1,x,x2,x3,xn,x,注：上述幂函数集也可换成其它函数集。比如：1,Sinx,Cosx,Sinnx,Cosnx,如：（数据拟合后画出图形进行比较）d=1,2,3,-1,5,-2,7,1;t=Fitd,1,x,x2,xg1=ListPlotd,PlotStyle-RGBColor1,0,0,PointSize0.03g2=Plott,x,0,8Showg1,g2,2020年5月19日星期二,76,1、一元函数作图,Plotf(x),x,xmin,xmax,选项-选项值,六、图形与动画,利用选项可对图形进行个性化设置，Plot命令的所有选项及默认选项值可用下面命令得到：OptionsPlot,下面给出常用选项及默认选项值：,2020年5月19日星期二,77,PlotLabel无图形的标题.,AspectRatio1/1.618图形高宽比（高/宽）.,AxesLabel无横、纵坐标轴名字.,常用选项及默认选项值：,选项默认选项值含义,PlotPoints25图形计算的点数(精度).,PlotRange自动图形的纵坐标范围.,AxesOrigin自动设置坐标轴交叉位置.,PlotStyle自动图形的样式，值为表.,DisplayFunction$DisplayFunction是否显示图形.,(注：默认值为显示图形，值为Identity时不显示图形),AxesTrue是否显示坐标轴.,2020年5月19日星期二,78,样式选项PlotStyle的常用值：,Thicknessd线的宽度，0d1.,Dashingd1,d2画虚线，0d11，0d11.（画出d1长度，隐藏d2长度，循环画线）,RGBColorR,G,B通过红绿蓝规定线条颜色.0R1，0G1，0B1.,注：以上选项在其它图形命令中也可使用，但PlotStyle不能在Show命令中使用。,2020年5月19日星期二,79,如：PlotSinx,x,0,2Pi,AxesLabel-x,y,PlotLabel-正弦函数y=sinx,PlotStyle-RGBColor1,0,0,Thickness0.02,Dashing0.04,0.03,2020年5月19日星期二,80,如：（数据拟合后画出图形进行比较，先不显示图形）d=1,2,3,-1,5,-2,7,1;t=Fitd,1,x,x2,xg1=ListPlotd,PlotStyle-RGBColor1,0,0,PointSize0.03,DisplayFunction-Identity;g2=Plott,x,0,8,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,AxesLabel-x,t,DisplayFunction-$DisplayFunction,2020年5月19日星期二,81,如：Plot1/x,x,-1,1,Plot1/x,x,-1,1,PlotRange-10,10,2020年5月19日星期二,82,2、平面曲线的参数方程作图,ParametricPlotx(t),y(t),t,tmin,tmax,如：ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi,ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi,AspectRatio-1或Automatic,2020年5月19日星期二,83,3、利用图形函数包作图,载入图形函数包的方法：Graphics包名。,(1)极坐标方程作图GraphicsGraphicsPolarPlotf(t),t,tmin,tmax,如：GraphicsGraphicsPolarPlot2Cost,t,-Pi/2,Pi/2(圆)PolarPlot1+Cost,t,0,2Pi(心形线),注：也可将极坐标方程化为参数方程后用ParametricPlot画出其图形。,2020年5月19日星期二,84,(2)画直方图与饼形图GraphicsGraphics直方图：BarChart数组1,数组2,数组n饼形图：PieChart数组,如：GraphicsGraphicsBarChart1,-2,5,3,3,1,4,PieChart15,12,23,8,2020年5月19日星期二,85,(3)隐函数作图GraphicsImplicitPlotImplicitPlot隐函数方程,x,xmin,xmax,如：False不要网格线Shading-False不要曲面上的阴影PlotRange-z1,z2设置竖坐标范围ViewPoint-x0,y0,z0设置观察点,2020年5月19日星期二,87,如：Plot3DSinx*y,x,-Pi,Pi,y,-Pi,Pi,PlotPoints-30,Plot3D10Sinx+Siny,x,-3,3,y,-5,5,ViewPoint-1,-1,3,PlotPoints-20,Shading-False,2020年5月19日星期二,88,5、空间曲线的参数方程作图,ParametricPlot3Dx(t),y(t),z(t),t,tmin,tmax,如：螺旋线可用下面命令画出：,ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,t,0,10Pi,空间中的一个椭圆：ParametricPlot3D2Cost,2Sint,Cost,t,0,2Pi,2020年5月19日星期二,89,6、空间曲面的参数方程作图,ParametricPlot3Dx(u,v),y(u,v),z(u,v),u,umin,umax,v,vmin,vmax,如：球面：ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,u,0,2*Pi,v,-Pi/2,Pi/2,旋转抛物面：ParametricPlot3Dv*Cosu,v*Sinu,v2,u,0,2Pi,v,0,2,PlotPoints-30,2020年5月19日星期二,90,圆锥面：ParametricPlot3Dv*Cosu,v*Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,2,PlotPoints-30,双曲抛物面：ParametricPlot3Du,v,u2-v2,u,-1,1,v,-1,1,圆柱面：ParametricPlot3DCosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,2,单叶双曲面：ParametricPlot3DSecu*Sinv,Secu*Cosv,Tanu,u,-1,1,v,0,2Pi,2020年5月19日星期二,91,抛物柱面：ParametricPlot3Du2,v,u,u,-2,2,v,-3,3,平面：ParametricPlot3D2u,v,u+v,u,-1,1,v,-2,2,平面(zox坐标面)：ParametricPlot3Du,1,v,u,-1,1,v,-1,1,缪比乌斯带(单侧曲面)：ParametricPlot3D(2+v*Cosu/2)*Cosu,(2+v*Cosu/2)*Sinu,v*Sinu/2/2,u,0,2Pi,v,-1,1,2020年5月19日星期二,92,曲面相交：g1=ParametricPlot3Dv*Cosu,v*Sinu,v2,u,0,2*Pi,v,0,2,PlotPoints-20g2=Plot3D3.5,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-20Showg1,g2,f=Ifx2+y220;Showg1,g3,g4=ParametricPlot3Dv*Cosu,v*Sinu,3.5,u,0,2Pi,v,0,Sqrt3.5;Showg1,g4,2020年5月19日星期二,93,7、动画的产生与保存,(1)动画的产生画出一系列图形，双击其中一个即可产生动画效果。,如：（滚动的正弦曲线）Fori=0,iFalse,ViewPoint-1,i,1,2020年5月19日星期二,94,动画演示1：Fori=0,iFalse,Boxed-False,PlotRange-0,4,PlotPoints-40Fori=3.5,i0,i=i-1/2,Plot3Di*Exp-1*(x2+y2),x,-3,3,y,-3,3,Axes-False,Boxed-False,PlotRange-0,4,PlotPoints-40,2020年5月19日星期二,95,动画演示2：Fori=1/3,iFalse,Boxed-False,PlotRange-0,1Fori=2,i=1/3,i=i-1/4,ParametricPlot3Dv*Cosu,v*Sinu,1-vi,u,0,2Pi,v,0,1,Axes-False,Boxed-False,PlotRange-0,1,2020年5月19日星期二,96,动画演示3：Fori=1,i1,PlotRange-1,1,-1,1,0,Pi,2020年5月19日星期二,97,动画演示4：Fori=0,iFalse,Boxed-False,PlotRange-2,2,PlotPoints-30,或用Table产生图形序列：TablePlot3DSinSqrtx2+y2+i,x,-10,10,y,-10,10,Axes-False,Boxed-False,PlotRange-2,2,PlotPoints-30,i,0,2Pi,Pi/4,2020年5月19日星期二,98,(2)动画的保存可用导出命令Export将若干个图形保存为GIF格式文件。,Export“文件名.gif”,图形表,ConversionOptions-选项,常用选项：“Loop”-True：是否循环播放“AnimationDisplayTime”-t：每帧显示时间(t秒),2020年5月19日星期二,99,如：Fori=1,iFalse,Boxed-False,PlotRange-4,4,PlotPoints-40ExportD:dh1.gif,Tableti,i,1,2Pi-0.1,Pi/4,ConversionOptions-Loop-True,AnimationDisplayTime-0.02,2020年5月19日星期二,100,或：p=TablePlot3DSinSqrtx2+y2+i,x,-15,15,y,-15,15,Axes-False,Boxed-False,PlotRange-4,4,PlotPoints-40,ViewPoint-2,1,8,i,0,2Pi,Pi/4ExportD:dh2.gif,p,ConversionOptions-Loop-True,AnimationDisplayTime-0.02,2020年5月19日星期二,101,第四章数学建模中的应用,一、梯子的最大长度,如图，室内一条a=1米宽的通道与b=2米宽的通道相交成直角，一个梯子需水平绕过拐角，试问梯子的最大长度是多少？,2020年5月19日星期二,102,设梯子长度为L，则，问题,转化为求L(x)在区间上的最小值。,先画出函数L(x)的图形，以观察极小值点的大概位置，编写程序如下：a=1;b=2;L=a/Cosx+b/Sinx;PlotL,x,0,Pi/2,由图可知，极小值点在x=1附近。,2020年5月19日星期二,103,由程序的计算结果可知能通过拐角的最大梯子长度为4.16米。,下面求L(x)在x=1附近的极小值，编写程序如下：m=FindMinimumL,x,1Print梯子的最大长度是：,m1,米,思考：1、若拐角不是直角，而是120，则能通过拐角的最大梯子长度为多少米？2、若拐角为直角，将梯子换为宽度为k=0.4米的手推车，则车的最大长度为多少米？,2020年5月19日星期二,104,二、空中电缆的长度,在相距100米的两个塔上高度相等的两个点之间悬挂一根电缆，在电缆的中间下垂10米，计算两塔之间电缆的长度。,以电缆的最低点为坐标原点建立如图坐标系。,由条件可知，点(-50,0)、(0,0)、(50,0)在电缆形成的曲线上，用抛物线模拟电缆曲线，然后计算这段抛物线的长度。,2020年5月19日星期二,105,通过数据拟合求出抛物线的方程，再利用定积分求曲线的长度。编写程序如下：,d=-50,10,0,0,50,10;y=Fitd,1,x,x2,x;L=IntegrateSqrt1+(Dy,x)2,x,-50,50;PrintL=,NL,6,m,注：电缆曲线实际是悬链线，上面用抛物线拟合的方法简单易行，误差较小(悬链线长度为102.619米)。,2020年5月19日星期二,106,三、追击问题,一敌舰沿正北方向航行时，我方军舰恰位与敌舰的正西方1海里处，我方军舰向敌舰发射制导鱼雷。敌舰速度为0.42海里/分，鱼雷速度是敌舰速度的2倍，试问敌舰航行多远时将被鱼雷击中？,建立如图坐标系，当鱼雷在P(x,y)点时，敌舰航行到M点，P、M的起始位置分别位于(0,0)、(1,0)。,2020年5月19日星期二,107,利用计算机模拟鱼雷追击敌舰的过程。即把时间离散化，计算各时刻鱼雷和敌舰的位置P和M，当鱼雷和敌舰距离小于0.02海里时，则认为鱼雷已经追上敌舰。,设敌舰速度为v，在时刻tk敌舰位置为Mk(1,v*tk)，鱼雷位置为Pk(xk,yk)。取时间间隔为dt=2秒。,由于P点的运动方向始终指向M，则P的运动方向为,则,2020年5月19日星期二,108,计算机模拟的过程就是每隔一个时间间隔就计算鱼雷和敌舰的位置，直至追上敌舰。编写程序如下：,x0=0;y0=0;mx=1;my0=0;dt=2;v=0.42/60;t0=0;zs=0.02;k=0;pmx=mx-xk;pmy=myk-yk;d=Sqrtpmx2+pmy2;Whiled=zs,tk+1=tk+dt;myk+1=my0+v*tk+1;xk+1=xk+2v*dt*pmx/d