信号的时频分析ppt课件

.,1,信号的时频分析：,信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。信号时频分析的主要方法：,.,2,.,3,.,4,Waves,.,5,傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.,.,6,.,7,.,8,窗口傅立叶变换（Gabor变换）：,窗口傅立叶变换的定义：假设f(t)L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：,窗口傅立叶变换的物理意义：若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(,b)给出的是f(t)在局部时间范围b-Dt/2,b+Dt/2内的频谱信息。有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。,.,9,连续小波变换：,连续小波变换的定义：假设信号f(t)L2(R)，则它的连续小波变换定义为：,尺度伸缩参数,时间平移参数,归一化因子,.,10,连续小波变换的逆变换,.,11,尺度和时移参数的离散化：,离散化后的小波变换：,怎样选择小波函数才能够重构信号：小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。,.,12,尺度和时移参数的离散化：,重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）：对任意的f(t)L2(R)，称j,k为一个框架，如果存在正参数A和B（0AB），使得：,分析小波,合成小波,.,13,标准正交小波基：,标准正交小波基的优点：变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。标准正交小波基与它的对偶相同。计算简单：,.,14,多分辨分析,空间,一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波Mallat算法一维双正交多分辨分析,.,15,一维正交多分辨分析,常用多分辨分析（MultiresolutionAnalysis,MRA）构造正交小波基,MRA,(非正交)尺度函数,正交尺度函数,低通滤波器,高通滤波器,小波函数,Mallat算法,正交化,两尺度方程,小波方程,.,16,MRA,令,中的一个函数子空间序列。若下列条件成立：,，,1)单调性：,，,2)逼近性：,，,3)伸缩性：,4)平移不变性：,5)Riesz基存在性：,存在函数,使,，,构成,的一个Riesz基（不一定是正交的）。,称为尺度函数。,多分辨分析。,.,17,MRA（续）,.,18,两个重要的完备的内积空间,线性空间:集合+代数运算（加法与数乘）内积空间:线性空间+内积运算完备的内积空间:内积空间+对limit运算封闭,.,19,.,20,.,21,泛函分析基础,Banach空间Hilbert空间空间的基底广义函数线性算子,.,22,代数,集上的运算(集X上)内部运算是XXX的一个映射外部运算是AXX的一个映射(A是另一集),.,23,距离空间,矩离空间是一个集合X连同一个满足下述条件的一个映射d:XXR(1)正性d(x,y)0,且d(x,y)0如且仅如xy(2)对称性d(x,y)d(y,x)(3)三角不等式d(x,z)d(x,y)d(y,z)同一个集合,可以引入不同的距离,.,24,距离空间中相关概念,Cauchy序列在距离空间X中,对于的序列,如果则称序列是Cauchy序列极限点Cauchy序列的极限点稠密A是X的子集,如A的闭包是X,称A在X稠密空间可分如果空间X有一个稠密子集,.,25,距离空间中相关概念(续),空间完备一个空间X称为是完备的,如果在这个空间中的每个Cauchy序列都收敛于X中的点。线性无关线性空间X一个子集A称为是线性无关的,如果A的每个非空子集关系推出对所有成立。,.,26,线性赋范空间,线性赋范空间设X是数域K上的线性空间,如果对于每个元素xX,相应一个实数x,对于x,yX,aK,有:(1)x0,如且仅如x0(2)axax(3)xyxy则称x是x的范数,又称线性空间X按范数构成线性赋范空间。,.,27,线性赋范空间相关问题,由范数导出距离在线性赋范空间中，能由范数导出距离d(x.y)xy这时线性赋范空间也是距离空间。按范数收敛线性赋范空间X中的序列收敛是指即按范数收敛。距离空间不必是赋范空间距离可不由范数引入。,.,28,Banach空间,Banach空间一个完备的线性赋范空间称为Banach空间。例1空间(1p)是满足的实(复)数序列a的集合，范数定义为例2空间(1p)是R上满足下述条件的可测函数类范数为,.,29,空间的重要不等式,Minkovski不等式是Holder不等式对于p1,q1,是CauchySchwarz不等式(p=q=2特殊情形)是,.,30,卷积,卷积(函数卷积)两个函数f,g的卷积定义为性质1如果f,g,那么f(x-y)g(y)对于所有xR,关于y是可积的。进而,可积,且,还有下述不等式成立性质2如果f是可积函数,g是有界的局部可积函数,则卷积是连续函数。,.,31,卷积性质(续),性质3如果f,g,h,那么下列性质成立:(1)(可交换)(2)(可结合)(3)(可分配),.,32,内积,内积设X为K(实或复)上的线性空间。在X上定义了内积是指，对于X中每一对元素f，g，都对应一个确定的复数，记为并满足下述性质:(1)对称性(2)线性(3)正性，且如且仅如其中表示a的复共轭。,.,33,Hilbert空间,内积空间引入了内积的线性空间称为内积空间。内积空间是线性赋范空间在内积空间中,对每个，由内积导入范数，定义为则X就变成了一个线性赋范空间。Hilbert空间一个完备的内积空间称为Hilbert空间。,.,34,Hilbert空间的例子与两向量正交,例1空间是Hilbert空间，内积定义为例2空间是Hilbert空间，内积定义为两向量正交内积空间中的两向量x与y称为是正交的，如果这时常写。,.,35,内积空间性质,Schwarz不等式则平行四边形等式则勾股定理，x与y正交，则,.,36,正交(向量)组,正交组X是一个内积空间,在X中的一个非零向量的集合S，如果S中任意两个不同元素x与y正交，则称S是X中的一个正交向量组。如果还有|x|=1对S中的所有x成立，则称S是规范正交(向量)组。规范正交序列形成规范正交组的一个有限或无限的序列称为规范正交序列。内积空间任一线性无关向量序列，都能使用Gram-Schmidt规范正交化过程，得到规范正交序列。,.,37,规范正交基,完全规范正交序列在内积空间X中的一个规范正交序列称为是完全的，如果对于每个，有规范正交基在内积空间X中的一个规范正交组S称为是规范正交基，如果对于每个X中的元素x都有唯一表示其中是S中不同元素。内积空间X中的一个完全规范正交序列是X中的一个规范正交基。,.,38,规范正交基的相关结论,在Hilbert空间H中的一个规范正交序列是完全的,如且仅如,对于所有推出Parseval公式在Hilbert空间H中的一个规范正交序列是完全的,iff对于每个成立。可分Hilbert空间一个Hilbert空间是可分的，如果它包含一个完全规范正交序列。在可分Hilbert空间中的每个正交集都是可数的。,.,39,空间的基底,研究Hilbert空间或Banach空间基底时，只考虑可分空间(即基底是可数的)。Schauder基设X是可分的Banach空间，对于，如果对于所有,存在唯一使则称构成X的一个Schauder基。无约束基一个基称为是无约束基,如果除了满足上述Schauder条件外,还满足:(1)由能推出(2)if且则可分Hilbert空间中,一个无约束基还称Riesz基。,.,40,Hilbert空间的Riesz基,一个Riesz基还能用下述等价要求特征化:存在使对于所有，有成立。上述条件加上线性无关才是Riesz基.规范正交基是A=B=1的Riesz基。对于Riesz基，计算是数值稳定的。Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基。,.,41,广义函数(Dirac函数),Dirac函数(x)(x)有下述的性质要找到通常意义下的函数满足上式是不可能的，但能找到通常意义下的函数序列，序列的极限满足上式。例子Gauss函数序列则有(x)称为广义函数。,.,42,广义函数(x)的基本性质