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.,1,贵州师范大学数学与计算机科学学院,3.4基本不等式,.,2,贵州师范大学数学与计算机科学学院,如图,这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标,会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。,问题引入,.,3,贵州师范大学数学与计算机科学学院,问2:RtAGB,RtBFC,RtCED,RtAHD是全等三角形,它们的面积和是S=,问3:S与S有什么样的关系?,从图形中易得,ss,即,问1:在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=,,问题探索,.,4,贵州师范大学数学与计算机科学学院,思考,探索新知,问:观察以上图形,我们能够得到什么结论呢?,发现:当时,等号成立。,1、重要不等式:一般地,当且仅当时,等号成立。,从而,我们得到:,.,5,贵州师范大学数学与计算机科学学院,2、基本不等式:若,那么就有即,等且仅当时,等号成立。,证明:要证只要证要证,只要证要证,只要证,分析法,.,6,贵州师范大学数学与计算机科学学院,说明:(1)适用范围:a0,b0;(2)阐释:两数的算术平均数大于等于两数几何平均数;(3)当且仅当a=b时,等号成立。,归纳总结,2.基本不等式:若,那么就有即,等且仅当时,等号成立。,1、重要不等式:一般地,当且仅当时,等号成立。,.,7,分析:(1)面积确定,长与宽取何值,篱笆最短:(2)周长确定,长与宽取何值,菜园面积最大:,贵州师范大学数学与计算机科学学院,例1:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?(2)一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?,.,8,贵州师范大学数学与计算机科学学院,解:设长为m,宽为m,(1)由题知,而篱笆长为由基本不等式知从而有等号当且仅当,时成立。(2)由题知,而菜园面积为由基本不等式知从而有,当且仅当时,等号成立。,.,9,贵州师范大学数学与计算机科学学院,巩固练习,1.,当取什么值,的值最小?最小值是多少?,2.已知直角三角形的面积等于50,两直角边各为多少时,两直角边的和最小,最小值是多少?,.,10,贵州师范大学数学与计算机科学学院,能力提高,例2:已知,求的最小值。,练习:,.,11,贵州师范大学数学与计算机科学学院,课堂小结,1
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