高考数学复习：三角恒等变换

三角恒等变换【学法导航】高考资源网1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在高考资源网（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围高考资源网（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如， 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。3.三角函数恒等变形的基本策。高考资源网常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次高考资源网化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。高考资源网引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。高考资源网4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos= coscos（-）- sinsin（-） ，1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。高考资源网【专题综合】高考资源网例1. （05天津）已知，求及解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得高考资源网，即由题设条件，应用二倍角余弦公式得高考资源网 故由和式得，高考资源网因此，由两角和的正切公式高考资源网高考资源网解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即高考资源网由可得高考资源网由于，且，故a在第二象限于是，从而以下同解法一高考资源网小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到高考资源网2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形例2. 已知为锐角的三个内角，两向量，若与是共线向量. 高考资源网 （1）求的大小； （2）求函数取最大值时，的大小.解：（1）高考资源网， 高考资源网 （2）高考资源网高考资源网小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意高考资源网例3. 设关于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解、.(1)求的取值范围; (2)求tan()的值. 高考资源网解: (1)sinxcosx2(sinxcosx)2 sin(x), 方程化为sin(x).高考资源网方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解, 高考资源网sin(x)sin . 高考资源网又sin(x)1 (当等于和1时仅有一解), 高考资源网|1 . 且. 即|a|2且a. 高考资源网 a的取值范围是(2, )(, 2). 高考资源网 (2) 、 是方程的相异解, sincosa0 . 高考资源网sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 高考资源网 2sincos2sin高考资源网sin0, 又sin0, 高考资源网tan.tan().高考资源网小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2)这一条件.例4.中，已知内角，边.设内角,面积为.(1)若，求边的长；高考资源网(2)求的最大值. 高考资源网解：（1）由正弦定理得： （2）的内角和 ， 高考资源网 = 高考资源网 ，当即时，取得最大值.高考资源网小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力高考资源网例5.已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式任取，且，则不等式恒成立，即恒成立化简得由可知：，所以高考资源网上式恒成立的条件为：.高考资源网由于高考资源网高考资源网且当时，所以 ,高考资源网从而 ,高考资源网有 ,高考资源网故 的取值范围为.高考资源网【专题突破】高考资源网一、选择题高考资源网1若，则的值为（）2.=（ ）A. B. C. 2 D. 3.函数是（ ）A周期为的奇函数 B周期为的偶函数高考资源网C周期为的奇函数 D周期为的偶函数4求值（ ）A B C D5已知，则（ ）高考资源网A B C D6函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D.7在ABC中，则ABC为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判定高考资源网8设，则大小关系（ ）A B 高考资源网C D9函数是（ ）A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数高考资源网10已知，则的值为（ ）A B C D高考资源网11、已知，且，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D高考资源网12、已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 （ ）高考资源网A、 B、 C、 D、二、填空题13、已知，则 14、函数的最小值是 15、函数图像的对称中心是（写出通式） 16、关于函数，下列命题：、若存在，有时，成立；高考资源网、在区间上是单调递增；、函数的图像关于点成中心对称图像；、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题17.求证：18. 求值：高考资源网19.已知函数 （1）若，求的值； （2）求函数在上最大值和最小值20. 已知图像上相邻的两个对称轴的距离是高考资源网（1）求的值；（2）求函数上的最大值和最小值21. 设向量，若，求：（1）的值； （2）的值高考资源网22. 设函数学（1）求函数的最小正周期；高考资源网（2）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求高考资源网 出m的取值；若不存在，请说明理由高考资源网专题突破参考答案一、选择题1C 2 C 3C 4C 5.D ，6.D 高考资源网7.C 为钝角8.D ，9.C ，为奇函数，高考资源网10.B 高考资源网11.D12.A高考资源网二、填空题13、 14、高考资源网15、 16、三、解答题17. 解：证明：左边=右边，原题得证18解：解：原式 高考资源网19. 解：（1）由题意知： ，即高考资源网，即 ， 高考资源网，（2） ， 即 ，高考资源网，高考资源网20. 解：（2分）高考资源网高考资源网（1）因为函数的图象上相邻的两个对称轴间的距离是所以函数的最小正周期T=，则（2）高考资源网，高考资源网则当时，取得最小值1；高考资源