椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

1 椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法 一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立） 例例 1 1：双曲线：双曲线的两个焦点为的两个焦点为，若，若为其上一点，且为其上一点，且，则双曲线离心，则双曲线离心 22 22 yx 1 a0,b0 ab 12 F ,FP 12 PF2 PF 率的取值范围为（率的取值范围为（ ）A.(1,3)A.(1,3)B.B.C.(3,+C.(3,+) )D.D.1,33, 【解析】，（当且仅当三点共线等号成立） 12 PF2 PF 12 PFPF2a 121 2 PFPFFF 12 PFF， ,选 B c 6a2ce3,e1 a 又e1,3 例例 2 2、如果椭圆、如果椭圆上存在一点上存在一点 P P，使得点，使得点 P P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭 22 22 yx 1 ab0 ab 圆的离心率的取值范围为圆的离心率的取值范围为（ ）A AB BC CD D(0,21 21,1)(0, 31 31,1) 解析解析设，由题意及椭圆第二定义可知 2 PFm 1 PFme 12 2a PFPFm(e1)2am e1 （当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得 2112 PFPFFF 12 PFF，mme2c 2a m e1 又, ,选 B 2a 1e2c e1 2 e2e10e21 e1 e21,1 二、二、利用三角函数有界性利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系结合余弦定理建立不等关系 例例 1 1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离 22 22 1(0,0) xy ab ab 12 ,F FP 12 2PFPF 心率的取值范围是（ ） (1,3)(1,3(3,)3,) 【解析】设，当点在右顶点处， 2 PFm 12 (0)FPFP 222 (2 )4cos2 54cos 2 mmmc e am 11,(1,3e 三、利用三、利用曲线的几何性质曲线的几何性质数形结合建立不等关系数形结合建立不等关系 例例 1 1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率 22 22 yx 1 a0,b0 ab 12 F ,FP 12 PF2 PF 的取值范围为（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,33, 解：,即在双曲线右支上恒存在点使得可知 12 PFPF2a 2 PF2aP 2 PF2a ，又,选 B 222 AFPF ,OFOAca2a c c3ae3 a e1e1,3 例例 2 2已知双曲线的左、右焦点分别是 F1、F2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离 22 22 1(0,0) xy ab ab 为 d，若 d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 解：由题意得因为，所以，从而 ， 2 。又因为 P 在右支上，所以。 。 。 例例 3 3椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂 直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （A） 2 0, 2 （B） 1 0,2 （C） 2 1,1 （D） 1,1 2 解析解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，而|FA|F w |PF|ac,ac 于是ac,ac即 acc2b2acc2 22 ab c cc 2 b c 222 222 accac acacc m 又 e(0,1)故 e 答案：D 1 1 1 2 c a cc aa 或 1,1 2 例例 4 4、已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使 22 22 1(0,0) xy ab ab 12 (,0),( ,0)FcF cP ，则该双曲线的离心率的取值范围是 12 21 sin sin PFFa PF Fc 【解析】（由正弦定理得） ， 2 12 211 sin sin PFPFF PF FPF 2 1 1PFa PFce 21 e PFPF 又，由双曲线性质知， 12 2 (1)PFPFa e 2 (1)2ePFa 2 2 1 a PF e 2 PFca ，即，得，又，得 2 1 a ca e 2 1 1 e e 2 210ee 1e (1,21)e 例例 5 5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，求离心 22 22 1(0) xy ab ab 12 FF、 12 FPF 率 e 的取值范围。 解析：P 点满足F1PF2=90，点 P 在以 F1F2为直径的圆上又P 是椭圆上一点，以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点， F1、F2是椭圆的焦点以 F1F2为直径的圆的半径 r 满足：r=cb，两边平方，得 c2b2 即 22 22 1(0) xy ab ab c2a2-c2 由此可得 ， ）e 2 2 1 3 四、利用圆锥曲线中四、利用圆锥曲线中的的范围建立不等关系范围建立不等关系、xy 例 1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值 22 22 1(0,0) xy ab ab 范围是（ ） (1,2 2,)(1,21 21,) 【解析】 22 000 (1) aa exaxexa cc 0 ,xa 2 (1) , a aea c 而双曲线的离心率， 2 1 1 112101212, a eeee ce 1e (1,21,e 例 2、设点 P 在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点 P 到左准线)0b, 0a ( 1 b y a x 2 2 2 2 21 FF、|PF| 1 的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。ld|PF| 2 解析：解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半|PF|d|PF| 2 2 1 |PF| |PF| d |PF| 1 21 e d |PF| 1 e |PF| |PF| 1 2 径公式得：，则，即，解得。e exa exa a ee a ) e1 ( x 2 01e2e221e1 归纳：归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上P1 b y a x 2 2 2 2 则；若点在双曲线的右支上则。axp1 b y a x 2 2 2 2 ax 例 2 设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，求离心率 22 22 1(0) xy ab ab 12 FF、 12 FPF e 的取值范围。 解析 1：设 P（x，y） ，又知，则FcFc 12 00（， ），（ ， ） 将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得 F PxcyF Pxcy F PFF PF P F P F P xc xcy xyc 12 1212 12 2 222 90 0 0 ()() ()() ， 由，知， 则， 即 得 x a ca b ab F PF xa a ca b ab a 2 2222 22 12 22 2222 22 2 90 0 0 但由椭圆范围及 知 即 4 可得，即，且 从而得，且 所以， ） cbcacca e c a e c a e 2222222 2 2 1 2 2 1 解析 2：由焦半径公式得 | | PFaexPFaex PFPFF F acxe xacxe xc ae xcx ca e Pxyxaxa 12 1 2 2 2 12 2 2222222 22222 22 2 22 224 2 2 0 ， 又由，所以有 即， 又点 （ ， ）在椭圆上，且，则知，即 0 2 2 2 1 22 2 2 ca e a e得， ） 例 3 已知椭圆=1（ab0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得APB=1200，求椭圆的离心 22 22 xy ab 率e的取值范围 解解：设P（x0，y0） ，由椭圆的对称性，不妨令 0x0a, 0y0bA（a，0） ，B（a，0） ，=，= PA k ax y 0 0 PB k ax y 0 0 APB=1200，tanAPB=-，又 tanAPB=，=， 3 1 PBPA PBPA kk kk 22 0 2 0 0 2 ayx ay 22 0 2 0 0 2 ayx ay 3 而点P在椭圆上，b2x02+a2y02=a2b2由、得y0=0y0b，0b )(3 2 22 2 ba ab )(3 2 22 2 ba ab ab0，2ab（a2-b2） ，即 4 a2b23 c4，整理得，3e4+4e2-40考虑 0e1，可解得e13 3 6 四、利用判别式建立不等关系四、利用判别式建立不等关系 例 1、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，求离心率 22 22 1(0) xy ab ab 12 FF、 12 FPF e 的取值范围。 解：由椭圆定义知| |PFPFaPFPFPFPFa 121 2 2 2 12 2 224 5 又由，知 则可得 这样，与是方程的两个实根，因此 F PF PFPFF Fc PFPFac PFPFuauac 12 1 2 2 2 12 22 12 22 12 222 90 4 2 220 | |() |() 480 1 2 2 2 222 2 2 2 aac e c a e () 因此，e ) 2 2 1 例 2、已知双曲线与直线 ：交于 P、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。)0a ( 1y a x 2 2 2 l1yx 解析：解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个x0a1 , 0a1y2y)a1 ( 2222 不同的交点则，即且，所以00)a2(a4)a1 (44 2222 2a 2 1a ，即且。 2 3 a 1 1 a c e 22 2 2 2 6 e 2e 五、利用五、利用均值不等式均值不等式建立不等关系建立不等关系 例例 1 1、已知椭圆(ab0)的两个焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，F1PF2=60则椭圆离心率 e 的 22 22 1 xy ab 取值范围 ； 解：设|PF1|=m，|PF2|=n 则根据椭圆的定义，得 m+n=2a， 又F1PF2中，F1PF2=60 由余弦定理，得 m2+n2-mn=4c2 联解，得mn 22 4() 3 ac 又mna2， a2，化简整理，得 a24c2，解之得e1 2 () 2 mn 22 4() 3 ac1 2 例例 2 2、已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，P 22 22 1(0,0) xy ab ab 21 FF、 |PF| |PF| 2 2 1 a8 则双曲线离心率的取值范围 。 解析：解析：，由均值定理知：当且仅当时取得a8a4 |PF| a4 |PF| |PF| )a2|PF(| |PF| |PF| 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a2|PF| 2 最小值，又所以，则。a8ac|PF| 2 aca23e1 6 例例 3 3、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点 P，使=900，则离心 22 22 1(0) xy ab ab 12 FF、 12 FPF 率 e 的取值范围 。 解析：由椭圆定义，有 平方后得2 12 aPFPF| | 42228 2 1 2 2 2 121 2 2 2 12 22 aPFPFPFPFPFPFF Fc|(| )| 得 c a 2 2 1 2 所以有， ）e 2 2 1 六、六、利用二次函数的性质利用二次函数的性质建立不等关系建立不等关系 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）1a 22 22 1 (1) xy aa e ( 2,2)( 2, 5)(2,5)(2, 5) 【解析】，根据二次函数值域可得 2 2 2 (1)1 1(1)1 a e aa 1 1,01a a 25e 七、利用非负数性质七、利用非负数性质 例例 已知过双曲线左焦点的直线 交双曲线于 P、Q 两点，且（为原)0b, 0a ( 1 b y a x 2 2 2 2 1 FlOQOP O 点） ，则双曲线离心率的取值范围 。 解析：解析：设，过左焦点的直线 方程：，代入双曲线)y,x(Q)y,x(P 2211 、 1 Flctyx 方程得：，由韦达定理得：，0btcyb2y)atb( 422222 222 2 21 atb tcb2 yy ，由 OPOQ 得， 2 2121 2 2121 222 4 21 c)yy(ctyyt) cty)(cty(xx, atb b yy 0yyxx 2121 即：，解得：，因为，所以，则0c atb ctb2 atb ) 1t (b 2 222 222 222 24 22 224 2 ba cab t 0t 2 0cab 224 ，所以。 2 53 e, 01e3e, 0cca3a 2244224 2 15 e 练习 1、设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（ A ） A，1) B.（，1) C.(0，) D.(0， 3 2 3 2 3 2 3 2 解：设，P（x1，y1） ，F1（-c，0） ，F2（c，0） ，c0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1 在PF1F2中，由余弦定理得 cos120 7 ，解得 x12 x12（0，a2， 222 11 11 ()()4 2()() aexaexc aexaex 22 2 43ca e 4c2-3a20且 e21 e，1) 3 2 2、设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过 12 、FF 22 22 1(0) xy ab ab P 1 PF 点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 2 F 2 (0, 2 3 (0, 3 2 ,1) 2 3 ,1) 3 【解析】设若为右准线与轴的交点，可知，即，又在右准线上可知，所以离Px 2 2 a cc c 2 1 3 e P 2 2 a cc c 心率的取值范围为 3 ,1) 3 3、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为若 ，则该椭圆离心率 22 22 1 xy ab 12 ,F Fx,M N 12 2MNFF 的取值范围是（ ） 1 (0, 2 2 (0, 2 1 ,1) 2 2 ,1) 2 【解析】因为两准线距离为，又因为，所以有，即，所以 2 2a c 12 2FFc 2 2 4 a c c 22 2ac 2 1 2 e 4、已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有 22 22 1(0,0) xy ab ab FF60 一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） (1,2(1,2)2,)(2,) 【解析】如图与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线 为过且倾斜 1 l 2 l 22 22 1 xy ab lF 角为的直线，要使 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使60ltan603 b a 2 1 ( )2 b e a 5、设点 P 在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心)0b, 0a ( 1 b y a x 2 2 2 2 21 FF、|PF|4|PF| 21 率的取值范围。 解析解析 1 1：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：a2|PF|PF| 21 |PF|4|PF| 21 ，由三角形性质得：解得：。a 3 2 |PF| , a 3 8 |PF| 21 |FF|PF|PF| 2121 c2a 3 2 a 3 8 3 5 e1 解析解析 2 2： ，点 P 在双曲线右支上由图 1 可知：，即a 3 2 |PF| , a 3 8 |PF| 21 ac|PF| 1 acPF | 2 ，两式相加得：，解得：。aca 3 2 , aca 3 8 ca 3 5 3 5 e1 F x y l 1 l 2 l 8 6、已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使 22 22 1(0,0) xy ab ab 12 (,0),( ,0)FcF cP ，则该双曲线的离心率的取值范围是 12 21 sin sin PFFa PF Fc 【解析】因为在 12 PFF 中，由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知，得 1211 ac PFPF ，即 12 aPFcPF ， 且知点 P 在双曲线的右支上，设点 00 (,)xy 由焦点半径公式，得 1020 ,PFaex PFexa 则 00 ()()a aexc exa 解得 0 ()(1) ()(1) a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 (1) (1) a e xaa e e 则 ，整理得 2 210,ee 解得 2121(1,)ee ，又 ，故椭圆的离心率 (1,21)e 7、若点 O 和点分别是双曲线的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则( 2,0)F 2 2 2 1(a0) a x y 的取值范围为 ( )OP FP A. B. C. D. 3-2 3,)32 3,) 7 -,) 4 7 ,) 4 解析解析: 因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点 P( 2,0)F 2 14a 2 3a 2 2 1 3 x y ，则有，解得，因为， 00 (,)xy 2 2 0 00 1(3) 3 x yx 2 2 0 00 1(3) 3 x yx 00 (2,)FPxy ，所以=，此二次函数对应的 00 (,)OPxy 2 000 (2)OP FPx xy 00 (2)x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值 0 3 4 x 0 3x