立体几何中的空间距离问题

,阳春市实验中学陈育学,立体几何中的距离问题,一、空间距离1.两点间的距离:连接两点的的长度.2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，的长度.3.点到平面的距离：自点向平面引垂线，的长度.4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,_的长度.,线段,点到垂足间线段,点到垂足间线段,到垂足间线段,点,5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的的长度.,线段,这点到垂足间线段,公垂线段,二、求距离的一般方法1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用平面几何方法求解.2.直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求的距离.,点面间,与异面直线都垂直且相交的直线有且只有一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度是两条异面直线的距离.,一异面直线的距离,如图所示：线段_为异面直线AA与BC的距离。,AB,在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，ABC=90.点D是BB1中点，则异面直线DA1与B1C1的距离是_.,练习1,例：如图8-7-4，S是ABC所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且SA平面ABC，SA3a，求点A到平面SBC的距离.图8-7-4,二点面距离的求法,解：方法一：如图8-7-5，作ADBC交BC延长线于点D，,连接SD.,图8-7-5,SA平面ABC，SABC.,又SAADA，BC平面SAD.又BC平面SBC，,平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.过点A作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理，可知：AH平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离.,于是h,方法三：如图8-7-6，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.,图8-7-6,在ABC中，ABBC2a，ABC120，,线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影，或等积法间接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键.,练习2,如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB=BC=AD=1,PA平面ABCD,且PA=1，点F在AD上，且CFPC.(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离.,（1）通过论证平面PAC平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长.（2）由于AD平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD平面PBC，找到过点A的垂线.,(1)连接AC.因为PA平面ABCD，所以PACF.又CFPC，PAPC=P，所以CF平面PAC，所以平面PFC平面PAC.过点A作AHPC于H，所以PH平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在RtPAC中，得AH=.,(2)因为BCAD，BC平面PBC，所以AD平面PBC.过A作AEPB于E，又AEBC,PBBC=B,所以AE平面PBC,所以AE的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所以AE=.,1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.,3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活.一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法.,小结,1.异面直线的距离2.点面、线面、面面距离的求法作业：完成南方新课堂习题集,【高考真题再现2015课标219题】如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在