微分方程复习要点PPT课件

.,1,1一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,.,2,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,.,3,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法令，则原方程变为,.,4,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法令，则原方程变为,.,5,2可降阶的二阶微分方程,方法作次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法令，则原方程转变为,.,6,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法令，则原方程转变为,.,7,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)若是方程的线性无关解，则方程有通解,.,8,的一个特解,2)若是方程的特解，则方程有通解,3)若是方程的特解，,则为方程,.,9,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根，则方程的通解为,.,10,若方程有两个相同的实根，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根，则方程的通,解为,.,11,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中是一个与同次的多项式，而,.,12,设方程,则方程有特解,其中是次的多项式，而,按是否为特征方程的根而分别取1或0,.,13,二、例题选讲,解此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1求解方程,.,14,两边积分，得,即得原方程的通解,.,15,解原方程变形后为齐次方程,例2求解方程，,作变换，则有,.,16,移项，得,两边积分，得,将代入，有,.,17,即满足初始条件的解为,由初始条件，得，即原方程的解为,.,18,解原方程变形为,即,例3求微分方程的通解,此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,.,19,.,20,分离变量，得,两边积分，得,例4求解微分方程,解法1此方程为齐次方程，作代换，则有,.,21,故方程的通解为,即,由于,.,22,解法2方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令，则有,.,23,例5求解下列方程,即,方程的解为,1.；2.,解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为,.,24,即,所以，方程的通解为,.,25,方程变形为,即有,2.此方程中不含变量，作变换，则,.,26,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由，得方程的解为由,.,27,例6求下列方程的通解,解1.特征方程为,解得，由此得到方程的通解,1.；2.；,3.,.,28,则,2.特征方程为，因而齐次方程的通解为,由于为单根，故可设方程的特解为,.,29,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,.,30,代入到原方程，得,3.特征方程为，解得，所以齐次方,程的通解为,注意到不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,.,31,1一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,.,32,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,.,33,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法令，则原方程变为,.,34,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法令，则原方程变为,.,35,2可降阶的二阶微分方程,方法作次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法令，则原方程转变为,.,36,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法令，则原方程转变为,.,37,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)若是方程的线性无关解，则方程有通解,.,38,的一个特解,2)若是方程的特解，则方程有通解,3)若是方程的特解，,则为方程,.,39,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根，则方程的通解为,.,40,若方程有两个相同的实根，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根，则方程的通,解为,.,41,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中是一个与同次的多项式，而,.,42,设方程,则方程有特解,其中是次的多项式，而,按是否为特征方程的根而分别取1或0,.,43,二、例题选讲,解此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1求解方程,.,44,两边积分，得,即得原方程的通解,.,45,解原方程变形后为齐次方程,例2求解方程，,作变换，则有,.,46,移项，得,两边积分，得,将代入，有,.,47,即满足初始条件的解为,由初始条件，得，即原方程的解为,.,48,解原方程变形为,即,例3求微分方程的通解,此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,.,49,.,50,分离变量，得,两边积分，得,例4求解微分方程,解法1此方程为齐次方程，作代换，则有,.,51,故方程的通解为,即,由于,.,52,解法2方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令，则有,.,53,例5求解下列方程,即,方程的解为,1.；2.,解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为,.,54,即,所以，方程的通解为,.,55,方程变形为,即有,2.此方程中不含变量，作变换，则,.,56,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由，得方程的解为由,.,57,例6求下列方程的通解,解1.特征方程为,解得，由此得到方程的通解,1.；2.；,3.,.,58,则,2