系统模型与模型化

系统模型与模型化,虽然没有统一的定义，但如果把某种或某些事物所构成的体系或系统叫做一个现实原型，那么模型就是对这种现实模型的抽象或模仿。注意模型既反映原型，又不等于原型，或者说它是原型的一种近似。如，地球仪是地球原型的本质和特征的一种近似或集中反映。,什么是模型,什么是模型,1、系统模型一般不是系统对象本身，而是现实系统的描述、模仿和抽象。2、系统模型是由反映系统本质或特征的主要因素构成的。3、系统模型集中体现了这些主要因素之间的关系。,模型的含义很广泛：自然科学和工程技术中：概念、公式、定律、理论等。社会科学中：学说、原理、政策、小说、美术、语言Newton第二定律是物体在力的作用下，其运动规律这个原型的一种模型；计算机是人的某些功能或智能这个原型的一种模型；一张照片是某种实体（如人）的反映；一场戏剧是某类事件的再现；吃饭这句话是人往嘴里面送东西，达到充饥的动作的抽象,人类认识和构造客观世界的两种研究方法实验法和模型法。使用系统模型的目的:系统开发的需要（预测、分析、优化和评价）经济上的考虑安全性、稳定性上的考虑时间上的考虑系统模型容易操作，分析结果易于理解注意：模型经过了分析人员对客体的抽象，因而必须再拿到现实中去检验。,为什么要使用系统模型,系统模型的分类,系统模型的分类,现实模型,实体模型,比例模型,图表模型,网络模型,相似模型,文字模型,逻辑模型,解析模型,物理模型,数学模型,增加,研究速度现实性修改的方便性建模时间抽象性建模费用,减少,系统模型与模型化,模型化构建系统模型的过程及方法。要注意兼顾到现实性和易处理性。,系统建模,系统建模既是一种技术又是一种艺术！是一种创造性劳动.系统建模应遵循的原则（1）切题（抓住主要矛盾）（2）清晰（关系、结构）（3）精度要求适当（4）花费要少,2.建模一般过程,（1）明确建模目的和要求；（2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系；（3）选择模型方法；（4）确定模型结构；（5）估计模型参数；（6）模型试运行；（7）对模型进行实验研究；（8）对模型进行必要修正。,3.建模的主要方法(1)推理分析法（“白箱”问题）(2)实验法（“黑箱”或“灰箱”问题）(3)混合法(4)老手法(5)辩证法(6),岛A,半岛B,陆地C,陆地D,A,B,C,D,七桥问题,一笔画问题（用图论方法可知无解）,几何模拟,4.模型的简化,减少变量，去掉次要变量。改变变量性质（如连续变量离散化）合并变量改变函数关系改变约束条件。,几种典型的系统模型,ISM（InterpretativeStructuralModeling）SS（StateSpace）SD（SystemDynamics）CA（ConflictAnalysis）新进展软计算或“拟人”方法（人工神经网络、遗传算法等）；新型网络技术（Petri网等）；,结构模型化技术,结构模型化基础,结构分析：是系统分析的重要内容，是对系统全面认识的基础，是系统优化分析、设计与管理的基础。比较有代表性的系统结构分析方法有：关联树（如问题树、目标树、决策树）法、解释结构模型化（ISM）方法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。本部分要求大家主要学习和掌握ISM方法（实用化方法、规范方法）。,所谓结构模型，就是应用有向连接图来描述系统各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统的模型。描述形式：有向连接图、矩阵形式,结构模型,示例,总人口期望寿命死亡率出生率医疗水平,结构模型的特征,结构模型是一种图形模型（几何模型）结构模型是一种定性为主的模型结构模型可以用矩阵形式描述，从而使得定量与定性相结合结构模型比较适宜于描述以社会科学为对象的系统结构的描述,解释结构模型法,Interpretativestructuralmodeling，简称ISM特点是，将系统构造成一个多级递阶的结构模型,最后用文字加以解释说明。可以把模糊不清的思想、看法转化为直观的具有良好结构关系的模型。,ISM实用化方法,初步分析,规范分析,综合分析,ISM实用化方法原理图,ISM,图的基本概念,图:由点和点与点之间的连线组成。若点与点之间的连线没有方向，称为边，由此构成的图为无向图。G=（V，E）,次：一个点关联的边数称为该点的次。,链：是一个点、边交错序列,如（v1,e2,v2,e3,v4).中间点,圈：链中，若起始点和终了点是同一个点，则称为圈。例如(v1,e2,v2,e3,v4,e4,v3,e1,v1)。,例,v1,v2,v3,v4,v5,v6,e2,e4,e5,e6,e7,e8,e1,e3,e9,e10,若点与点之间的连线有方向，称为弧，由此构成的图为有向图。D=（V，A）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,e2,e4,e5,e6,e7,e8,e1,e3,例,树：一个无圈的连通图称为树。树图G=（V,E）的点数记为p，边数记为q，则q=p-1。,例如,树,一个图非常直观，但是不容易计算，特别不容易在计算机上进行计算，一个有效的解决办法是将图表示成矩阵形式，通常采用的矩阵是邻接矩阵。,图的矩阵表示,图的矩阵表示法,邻接矩阵表示图的顶点之间的邻接关系，它是一个nxn的矩阵，如果两个顶点之间有边相连时，记为1，否则为0。,图G=（V，E），构造矩阵,称矩阵A为G的邻接矩阵。,v1,v2,v3,v4,2,5,6,4,3,4,v1v2v3v4v10111v21110v31101v41010,无向图的邻接矩阵是对称矩阵。,其邻接矩阵为：,系统结构的基本表达方式,集合表达有向图表达矩阵表达,系统结构的集合表达,某系统由n个要素（S1，S2，Sn）组成。其集合为S,则有：S=S1，S2，Sn系统中诸多要素有机的联系在一起，并且一般都以两个要素间的二元关系为基础。系统中两要素（Si，Sj）之间的二元关系Rij(简记为R)存在以下几种情况：影响关系、因果关系、先后关系、隶属关系,一般的，二元关系存在以下几种情形：SiRSj，即Si与Sj有某种关系。SiRSj，即Si与Sj无该种关系。SiRSj，即Si与Sj的关系不确定。,二元关系的传递性：通常二元关系具有传递性，即：如果SiRSj，且SjRSk，则有SiRSk强连接关系如果对某两个要素，既有SiRSj，又有SjRSi，即Si与Sj和Sj和Si互有关系,则称这种相互关联的二元关系为强连接关系，具有强连接关系的各要素之间存在互替性。,为便于表达所有要素之间的二元关系，我们把满足某种二元关系SiRSj的要素对记为（Si，Sj），而把系统中的二元关系的集合记为一般情况下，（Si，Sj）和（Sj，Si）表示不同的要素对。这样，我们就可以用系统的要素集合和这些要素之间的某种二元关系集合来表示系统的某种基本结构S=S1，S2，Sn,系统结构的有向图表达,用节点表示构成系统的各个要素，用有向弧表示要素间的二元关系（例：如果SiRSj，则有向弧从i节点指向j节点），即形成了系统结构的有向图表达。,例4-1某系统由七个要素（S1，S2，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：S=S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7Rb=（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）,5,1,6,2,3,7,4,系统结构的矩阵表达,邻接矩阵可达矩阵,邻接矩阵,图的基本的矩阵表示，描述图中各节点两两间的关系邻接矩阵A的元素aij定义：,邻接矩阵示例,5,1,6,2,3,7,4,邻接矩阵特点,汇点：矩阵A中元素全为零的行所对应的节点源点：矩阵A中元素全为零的列所对应的节点对应每节点的行中，元素值为1的数量，就是离开该节点的有向边数；列中1的数量，就是进入该节点的有向边数,可达矩阵,用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过一定长度的通路后可以到达的程度。即描述系统要素之间经过任意长路经可以到大的程度，也即两要素之间是否存在一条有向通路。可达矩阵M=(mij)n*n,可达矩阵的构造,对邻接矩阵A通过布尔代数运算得到。可达矩阵R可用邻接矩阵A加上单位阵I，经过演算后求得,设A1=(A+I)A2=(A+I)2=A12Ar-1=(A+I)r-1=A1r-1如：A1A2Ar-1=Ar(rn-1)则：Ar-1=M称为可达矩阵，表明各节点间经过长度不大于（n-1）的通路可以到达的程度，对于节点数为n的图，最长的通路其长度不超过（n-1）,缩减可达矩阵,在可达矩阵中存在两个节点相应的行、列元素值分别完全相同，则说明这两个节点构成回路集，只要选择其中的一个节点即可代表回路集中的其他节点，这样就可简化可达矩阵，称为缩减可达矩阵。,邻接矩阵示例,ISM的工作程序,组织实施ISM的小组。设定问题。选择构成系统的要素。根据要素明细表作构思模型，并建立邻接矩阵和可达矩阵。对可达矩阵进行分解后建立结构模型。根据结构模型，在各个要素位置填上对应的文字内容建立解释结构模型。,建立递阶结构模型的规范方法,建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。现以例4-1所示问题为例说明：与图4-5对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：,5,1,6,2,3,7,4,1234567,1234567,M=,返回,1.区域划分,区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i=1，2，n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的要素。有关要素集合的定义如下：,可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其定义式为：R（Si）=Sj|SjS，mij=1，j=1，2，ni=1，2，n先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定义式为：A（Si）=Sj|SjS，mji=1，j=1，2，ni=1，2，n共同集C（Si）。系统要素Si的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C（Si）。其定义式为：C（Si）=Sj|SjS，mij=1，mji=1，j=1，2，ni=1，2，n,示例,系统要素Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之间的关系如图4-7所示：,图4-7可达集、先行集、共同集关系示意图,Si,A（Si）,C（Si）,R（Si）,起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为：B（S）=Si|SiS，C（Si）=A（Si），i=1，2，n如在图4-5所对应的可达矩阵中，B（S）=S3，S7。当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图4-7中的阴影部分C（Si）覆盖到了整个A（Si）（R（Si）区域。这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）就行了。,利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu）R（bv）（为空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu）R（bv）=，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。利用终止集E（S）来判断区域能否划分，只要判定“A（eu）A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任意两个要素）是否为空集即可。区域划分的结果可记为：（S）=P1，P2，Pk，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P）。,为对给出的与图4-5所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要素Si（简记作i，i=1，2，7）的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），并据此写出系统要素集合的起始集B（S），如表4-1所示：,表4-1可达集、先行集、共同集和起始集例表,因为B（S）=S3，S7,且有R（S3）R（S7）=S3，S4，S5，S6S1，S2，S7=，所以S3及S4，S5，S6，S7与S1，S2分属两个相对独立的区域，即有：（S）=P1，P2=S3，S4，S5，S6S1，S2，S7。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：,O,O,2.级位划分,区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1，L2，Lk表示从高到低的各级要素集合（其中k为最大级位数），则级位划分的结果可写出：（P）=L1，L2，Lk。某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Lk）。,为此，令LO=（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1=Si|SiP-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，nL2=Si|SiP-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），inLk=Si|SiP-L0-L1-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），in（4-3）式（4-3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-Lk-1中的要素形成的子矩阵（部分图）求得的共同集和可达集。经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M（L）。,如对例4-1中P1=S3，S4，S5，S6进行级位划分的过程示于表4-2中。,表4-2级位划分过程表,对该区域进行级位划分的结果为：（P1）=L1，L2，L3=S5，S4，S6，S3同理可得对P2=S1，S2，S7进行级位划分的结果为：（P）=L1，L2，L3=S1，S2，S7这时的可达矩阵为：,3.提取骨架矩阵,提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M（L）的缩约和检出，建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A。这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵M（L）的缩检共分三步，即：检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减矩阵M（L）如对原例M（L）中的强连接要素集合S4，S6作缩减处理（把S4作为代表要素，去掉S6）后的新的矩阵为：,543127,543127,M（L）=,L1L2L3,L1L2L3,0,0,去掉M（L）中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M（L）。如在原例的M（L）中，已有第二级要素（S4，S2）到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M（L）中35和71的“1”改为“0”，得：,543127,543127,M（L）=,L1L2L3,L1L2L3,0,0,进一步去掉M（L）中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A。如对原例有：,543127,543127,A=M（L）-I=,L1L2L3,L1L2L3,0,0,4.绘制多级递阶有向图D（A）,根据骨架矩阵A，绘制出多级递阶有向图D（A），即建立系统要素的递阶结构模型。绘图一般分为如下三步：分区域从上到下逐级排列系统构成要素。同级加入被删除的与某要素（如原例中的S4）有强连接关系的要素（如S6），及表征它们相互关系的有向弧。按A所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A）。,原例的递阶结构模型：以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：MM（P）M（L）M（L）M（L）AD（A）,S1,S2,S7,S3,S4,S5,S6,第1级第2级第3级,区域划分,级位划分,强连接要素缩减,剔出超级关系,去掉自身关系,绘图,（块三角）,（区域块三角）,（区域下三角）,结束,另一种方法,1、可达矩阵2、缩减可达矩阵（如果可达矩阵中不同元素对应的行和列都相同，则其有向图中这些元素构成回路,只需在这些元素中任意选择其中一个，去掉组成回路的其它元素，同时在可达矩阵中把这些被去掉元素所对应的行和列删除，形成不存在回路的可达矩阵）3、层次级别的划分4、根据级别划分结果，按级别由高到低划出每一级别中的节点，相同级别的节点在同一水平线上。5、按照重新排列后的可达矩阵，画出相邻两级之间的连接，找出在两级关系分块矩阵中的1元素所对应的节点对，由下级到上级在他们之间画一根带有箭头的连线。6、对于跨级连线的画法同上一步，但每画一条线前均需判断该边是否能根据已画出的连线由传递性推出，若能则不必画出这条线。7、把有向图中因为构成回路而去掉的那些元素加入到结构模型中，并同原来保留的元素所对应的节点相连。8、最后，根据各要素的实际意义，将多级递阶有向图直接转化为解释结构模型。,值得指出的是，对于一般的工程系统来说，它是由许多要素根据一定的工艺机理组合而成，这样系统的邻接矩阵不难得到。对于社会经济系统，一般来说，可达矩阵容易得到。因为根据人们的实践经验和直觉判断，比较容易知道两个要素有无关系，至于这种关系是直接的还是间接的，则不需十分清楚，也不容易判断，也就是说邻接矩阵不易得到。在这种情况下，可直接构成可达矩阵，经过处理直接得到结构模型，然后在结构模型上填入要素名称，即为解释结构模型。,R,根据可达矩阵画出结构模型,图3.16由可达矩阵作出的结构模型图,讨论人口系统中影响总人口增长的各种因素分析，也即考虑总人口的变化受哪些因素的影响。经过广泛讨论,主要考虑以下因素：期望寿命；医疗保健水平；国民生育能力；计划生育政策；国民思想风俗；食物营养；环境污染程度；国民收入；国民素质；出生率；死亡率。如果把总人口考虑进去，则构成了第12个因素。根据有关人员的经验和对话过程，并经过多次的讨论以确定它们之间的关系，如下图所示。试建立该问题的解释结构模型。,结构模型应用实例：,V,去掉要素12后,去掉要素10，11后,去掉要素1，3，4后,R,根据排序的可达矩阵画出结构模型,L1L2L3L4,结构模型,解释结构模型,总人口系统是一个具有4级（层）的多级递阶系统。直接因素是出生率和死亡率,状态空间模型,状态空间模型,研究动态系统的行为，有两种既有联系又有区别的方法输入输出法和状态变量法。输入输出法适用于对一类十分复杂、内部结构不清楚、物理法则不适用的系统建模，通过输入输出的观测数据来建模，这种情况下的建模又称为系统辨识，多重回归分析就是这种建模方法之一。,输入输出法,通过考察输入输出关系建立模型，例如回归分析设令有a和b，即可写出回归方程。,通常用于黑箱,输入输出法不便于探讨系统内部有何种行为，有时不仅要考虑输入输出，还要考虑系统内部状态及其变化，状态空间法就是这类方法。此外，有时系统的输出不仅取决于输入，还取决于系统的状态，这时也需要有状态变量来描述系统的状态。,考虑一个离散系统，在任一时刻的输出等于在这以前系统输入的最大值与最小值之差。显然，此系统是动态的，因为它在时刻t的输出，不仅取决于该时刻的输入x(t)。现在要问：要计算输出y(t)，应知道系统在过去有多少输入?令x1(t)和x2(t)分别表示x(0)、x(1)、x(t-2)、x(t-1)中最大值和最小值，则在时刻t的输出值是：,状态空间模型,定义系统的状态是影响到将来行为的历史总结。因此，知道系统在任一时刻的状态，就能知道该时间后的系统行为(当输入已知时)。系统的状态可由一些称为状态变量的变量来描述。对应地，系统的模型称为状态空间模型。,系统的状态变量,系统的状态变量，是能够完整的确定系统状态所必需的一组最少的变量。为完全描述tt0时系统行为所需变量的最小集合，构成状态空间，完全描述的条件包括：tt0时系统的输入；t0时刻系统中所有变量的值（初始条件）知道初始条件，如何刻画状态？只需知道状态变量的变化，如何知道？（状态变量的导数）,状态空间模型举例,M,F(t),Kx1(t),Bx2(t),例1连续系统设位移为x1(t)，速度为x2(t)，则有,即,写成矩阵形式,状态方程,输出方程,微方方程与连续变量的状态空间表达式,连续动态系统的数学模型是微分方程，刻划系统的动态变量(状态变量的导数或高阶导数)对状态变量有依存关系以及状态变量之间相互影响。,有状态方程,线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一元高阶方程，也可以使用多元一阶联立方程组来描述。其一般形式为：,若U=0，即系统未加输入，则该系统为自由系统；否则为强制系统。若A、B、C、D矩阵中的元素有些或全部是时间的函数，则为线性时变系统；否则为线性定常系统。,离散系统的状态空间描述,在状态空间描述中，系统的模型通常分为两部分：联系状态变量、输入变量与输出变量的一组方程，称为输出方程；联系状态变量与输入变量的一组方程，称为状态方程。设离散系统的状态变量为x1(t)、x2(t)、xn(t)，在任一时刻t，系统的输出y(t)可由这些状态变量在t的数值和输入u(t)得出。,这就是输出方程。,系统状态将随时间而变化，因此状态变量的值要修正。计算时刻(t+1)的状态变量，由时刻t的状态变量值和时刻t的输入值决定，即：,