自动控制理论第四版教案(夏德钤翁贻方版)

第一章自动控制的一般概念,1-1自动控制的基本原理与方式,1、自动控制技术及应用（1）什么是自动控制无人直接参与利用外加设备或装置（控制器）使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控量）自动按预定的规律运行外作用被控量（2）自动控制技术的应用工业、农业、导航、核动力生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领域,控制器,被控对象,2、自动控制理论自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学（1）经典控制理论（以反馈理论为基础）（军事）以传递函数为基础研究单输入-单输出（SISO）线性定常系统的分析和设计（2）现代控制理论（宇航）以状态空间描述为基础主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题（3）智能控制理论（发展方向）以控制论、信息论、仿生学为基础,3、反馈控制理论（1）自动控制系统被控对象、控制器按一定的方式连接所组成的系统最基本的连接方式是反馈方式，按该方式连接的系统称为反馈控制系统,（2）反馈控制原理控制器对被控对象施加的控制作用取自被控量的反馈信息，用来不断修正被控量与输入量之间的偏差，从而对被控对象进行控制。例1人取物,反馈控制原理就是偏差控制原理通常，我们把取出输出量送回到输入端，并与输入信号相比较产生偏差的过程，称为反馈。在工程实践中，为实现反馈控制，必须配有以下设备：测量元件比较元件统称为控制装置执行元件,4、反馈控制系统的基本组成（1）外作用有用输入：决定系统被控量的变化规律扰动：破坏有用输入对系统的控制。如：电源电压的波动、飞行中的气流、航海中的波浪等（2）给定元件给出与期望的被控量相对应的系统输入量（参据量）如书的位置（3）校正元件（补偿元件）结构和参数便于调整的元部件，以串联或反馈方式连接在系统中,5、自动控制系统的基本控制方式（1）反馈控制方式可抑制任何内、外扰动，控制精度较高特点：减少、消除偏差（2）开环控制方式控制器与被控对象之间只有顺向作用，没有反向联系特点：输出量不对系统控制作用发生影响抗扰性差、精度不高，但结构简单、成本低按给定量控制：控制作用直接由系统输入量产生对应输入输出（电扇调档）按扰动控制：利用可测量的扰动量，产生一种补偿作用，（顺馈控制）以减少或抵消扰动对输出量的影响。（3）复合控制方式按偏差控制与按扰动控制相结合,1-2自动控制系统举例,飞机示意图,给定电位器,反馈电位器,给定装置,放大器,舵机,飞机,反馈电位器,垂直陀螺仪,0,c,扰动,俯仰角控制系统方块图,飞机方块图,液位控制系统,控制器,减速器,电动机,电位器,浮子,用水开关,Q2,Q1,c,if,SM,1-3自动控制系统的分类,按控制方式：开环、反馈、复合按元件类型：机械、电气、液压、气动、生物按系统功能：温度控制、压力控制、位置控制按系统性能：线性和非线性、连续和离散、定常和时变按参据量：恒值控制、随动、程序控制,1、线性连续控制系统用线性微分方程描述P11定常、时变式中，是被控量，是系统输入量。系数是常数时，称为定常系统；系数随时间变化时，称为时变系统。（1）恒值控制系统（调节器）参据量是常值，要求被控量也为常值设计重点是研究各种扰动对被控对象的影响及抗扰动措施（2）随动系统（跟踪系统）参据量是预先未知的随时间任意变化的函数，要求被控量以尽可能小的误差跟随参据量变化。重点研究被控量跟随的快速性和准确性伺服系统：随动系统被控量是机械位置或其导数,（3）程序控制系统参据量是按预定规律随时间变化的函数，要求被控量迅速、准确地加以复现。2、线性定常离散控制系统差分方程描述P12式中，n为差分方程的次数，为常系数；分别为输入和输出采样序列。3、非线性控制系统,1-4对控制系统的基本要求,1、基本要求的提法稳、准、快（1）稳定性一个稳定的系统，其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减少并趋于零。线性控制系统的稳定性由系统结构决定，与外界因素无关储能元件惯性元件振荡的产生控制装置被控对象的惯性期望值被控量过渡过程,被控量恢复期望值或跟踪参据量有一个时间过程，即过渡过程,（2）快速性稳的前提下，对过渡过程的形式和快慢提出要求例如：高射炮随动系统快飞机自动驾驶仪不能太快动态性能（3）准确性由于系统结构、外作用形式摩擦、间隙等非线性因素的影响，过渡过程结束后，被控量的稳态值与期望值之间会存在误差，称为稳态误差。,2、典型外作用为便于研究和比较控制系统的性能，常选用几种确定性函数作为典型外作用。可选作典型外作用的函数应具备以下3个条件：1）在现场或实验室容易得到；2）系统在该函数作用下的性能能代表实际工作条件下的性能；3）数学表达式简单，便于理论计算。,（1）阶跃函数单位阶跃函数（2）斜坡函数（3）脉冲函数单位脉冲函数（4）正弦函数,第二章控制系统的数学模型,控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型：代数方程变量各阶导数为零动态数学模型：微分方程描述变量各阶导数间的关系自动控制理论中，数学模型有多种形式：时域：微分方程、差分方程复数域：传递函数、结构图频域：频率特性控制系统建模的方法：分析法：利用物理定律实验法：人为地给系统施加某种测量信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型逼近。系统辩识,2-1控制系统的时域数学模型,1、控制系统微分方程的建立（1）举例例1：电路无源网络试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程解：设回路电流为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为消去中间变量，便得到描述网络输入输出关系的微分方程为,例2：弹簧-质量-阻尼器机械移位系统试列写质量m在外力作用下，位移的运动方程解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为、，由牛顿运动定律有式中是阻尼器的阻尼力是弹簧的弹力其中，是阻尼系数，是弹性系数消去中间变量并整理后，得系统的微分方程为：,综合出列写系统微分方程的步骤如下：1）根据组成系统各元部件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定系统输入量和输出量；2）分析各元部件工作所遵循的物理定律，列写相应的微分方程；3）消去中间变量，得出输出量与输入量之间关系的微分方程；4）化微分方程为标准形式：输入量有关项方程右端输出量有关项方程左端两端变量导数项降幂排列（2）相似系统不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。具有相同形式数学模型的系统即为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。,3、线性系统的基本特性（1）线性系统：用线性微分方程描述的系统式中：是系统输出，是系统输入系数是常数（线性定常系统）（2）线性系统的基本性质：可应用叠加原理叠加性、均匀性（齐次性）例：设作用时，作用时，叠加性：当、同时作用时，均匀性：当时，线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。,4、线性定常微分方程的求解（1）经典法：高等数学（2）拉氏变换法用拉氏变换法求解线性微分方程的步骤：1）考虑初始条件，对微分方程的每一项分别进行拉氏变换微分方程s的代数方程；2）由s的代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；3）对输出量拉氏变换函数进行拉氏反变换，得出输出量时域表达式，即为所求微分方程的解。例：P25例2-6复习拉氏变换P597附录,拉氏变换与拉氏反变换,一、拉氏变换-11、定义为复频率2、拉氏变换定理（1）线性性质设、，、为常数，则（2）微分定理设，则有,（3）积分定理设，则有式中为的各重积分在时的值。如果，则有,（4）初值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则（5）终值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则（6）位移定理实域中移位定理复域中移位定理,（7）相似定理设，为实常数，则（8）卷积定理设、，则有总结P603表A-2拉氏变换的基本性质,二、拉氏反变换1、定义2、求拉氏反变换由象函数求原函数可根据上面的拉氏反变换公式计算。对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表，查出相应的原函数。工程实践中，求复杂象函数的原函数时，通常先用部分分式展开法将复杂象函数展成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。P604606表A-3常用函数拉氏变换对照表,3、举例P606609一般，象函数是复变量的有理代数分式，即式中，都是实常数，是正整数，通常，。为了将化为部分分式形式，先将分母因式分解，有是的根，即的极点。,（1）无重根此时，可展开为个简单的部分分式之和，即式中，为待定常数，称为在极点处的留数，可按下式计算：根据拉氏变换的线性性质，可求得原函数为,例1：求的原函数。解：用留数公式可算得：经拉氏反变换求得原函数,例2：求的原函数。解：式中经拉氏反变换求得原函数若的分母是的二次多项式，通常将分母配成二项平方和的形式，并作为一个整体来求原函数（直接化为正弦、余弦的形式）。比如本例的可写为应用位移定理并查拉氏变换对照表，可求得原函数为,（2）有重根设有个重根，则可写为式中，待定系数按下式计算：,而系数按单根计算公式计算，即因此，原函数为,例3：求的原函数。解：用留数公式算得经拉氏反变换可求得原函数为,5、非线性微分方程的线性化切线法（小偏差法）：实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。特别适合于连续变化的非线性特性函数。方法：泰勒级数设在（）连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为当增量很小时（小偏差），可忽略其高次幂，有，用偏差形式表示有略去增量符，便得函数在工作点A附近的线性方程为：,NOTE：增量线性化方程，仅仅研究小偏差的运动情况，也就是说只研究相对于平衡状态下，系统输入量和输出量的运动特性。事实上，大多数控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，此时，被控量与期望值保持一致，控制系统不进行动作。一旦被控量与期望值产生偏差，控制系统便开始控制动作，以减少或消除该偏差。因此，该偏差只是“小偏差”。偏差控制P28例2-7,6、运动的模态（振型）下面讨论微分方程解的结构数学上，线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分方程的解（通解）之和，其中齐次方程的解代表对象的自由运动。自由运动：零输入强迫运动：零初态通解由微分方程的特征根决定。如果微分方程的特征根是，且没有重根，则把函数定义为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。每种模态代表一种类型的运动形态，齐次方程的通解则是它们的线性组合，即其中，是由初始条件决定的常数。如果特征根中有共轭复根，则共轭复态与可写成实函数模态与的形式。,等式右边为0,2-2控制系统的复数域数学模型,微分方程：时间域描述系统动态性能，直观、便于用计算机求解。系统的结构或参数变化时，要重新列写或求解微分方程。传递函数：复数域数学模型，不仅可表征系统的动态性能，而且可用以研究系统结构或参数变化对系统性能的影响。频域法、根轨迹,1、传递函数的定义和性质（1）定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。线性定常系统常用以下n阶微分方程描述：其中，为输出，为输入是与系统结构和参数有关的常数（实数）零初始条件下进行拉氏变换得：据定义得系统传递函数（记作）为,举例来说明求取传递函数的方法。例列写如图所示的RLC串联电路的微分方程。解：1.确定输入量和输出量输入量为输出量为电容C上的电压2.例出微分方程设回路电流为，根据基尔霍夫定律，有3.消去中间变量，经整理后可得输入、输出关系的微分方程为当初始条件为零时，拉氏变换为传递函数为,（2）传递函数的性质1）传递函数是复变量的真有理分式函数，即；2）传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统的结构和参数，与输入无关，也不反映系统内部的任何信息。3）传递函数与微分方程有相通性零初始条件下4）传递函数的拉氏反变换是脉冲响应脉冲响应：系统在单位脉冲作用下的输出，,（3）零初始条件的讨论控制系统的初始条件有两方面的含义：1）输入量在时才作用于系统，在时，输入量及其各阶导数均为零；2）指输入量加于系统前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在时的值亦为0。（4）用传递函数求系统在给定输入时的零初态响应卷积定理式中，是系统的脉冲响应P32例2-10,2、传递函数的零点和极点用于根轨迹用于频域法零点极点传递系数或根轨迹增益在频域法表示中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点，时间常数传递系数或增益例如：,3、传递函数的极点与零点对输出的影响（1）传递函数的极点为相应微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统的自由运动（零输入响应）的模态。在强迫运动（零初态响应）中，也会包含这些自由运动的模态。现举例说明：设某系统的传递函数为显然，其极点，零点，自由运动的模态是和。当即时，可求得系统的零初始条件响应为,式中，前两项具有与输入函数相同的模态，后两项中包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可认为这两项是受输入函数激发而形成的。由此可见：传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。（2）传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应中所占的比重，从而影响响应曲线的形状。P33-34例子和图越接近原点，距极点越远，作用就越明显，自由运动模态在输出中占的比重就越大。4、典型元部件的传递函数（自学）,2-3控制系统的结构图和信号流图,结构图和信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，表示了系统各变量间的因果关系及对各变量进行的运算，是描述复杂系统的一种简便数学模型。（1）系统结构图的组成方框、信号线信号线表示信号的流向或引出点（测量点）比较点：对两个或两个以上的信号进行+、运算方框（环节）：对信号进行数学变换，方框中为元部件或系统的传递函数。,（2）结构图的绘制1）列写组成系统的各元部件的微分方程或传递函数，并用方框表示；2）根据元部件的信号流向用信号线依此将各方框连接起来。P42-44例如-11例2-12系统结构图实质上是系统原理图与数学方程两者的结合，既补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算。从系统结构图可方便地求得系统的传递函数。,2、结构图的等效变换和简化（1）方框的基本连接方式与等效变换（2）结构图的简化移动引出点或比较点，交换或合并比较点，以便方便进行串、并联及反馈运算。P45-50表2-1结构图等效变换规则简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则：变换前后前向通路中传函的乘积应保持不变；变换前后回路中传函的乘积应保持不变；引出点移动时应保证引出的信号不变。,结构图三种基本形式,串联,并联,反馈,结构图等效变换方法,引出点移动,G1,G2,G3,G4,H3,H2,H1,a,b,请你写出结果,行吗？,比较点移动,错！,G2,无用功,向同类移动,G1,作用分解,3、信号流图的组成及性质（1）信号流图的组成信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络，起源于梅森用图示法来描述一个或一组线性代数方程。节点代表方程式中的变量，用“”表示；支路是连接两节点的有向线段，用支路增益表示方程式中两变量的因果关系。一般（方程式左端变量作为果）结果=原因（右端变量作为因）（2）信号流图的基本性质1）节点标志系统的变量。每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和；而从同一节点流出的信号均用该节点的变量表示。2）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。3）信号在支路上只能沿箭头方向传递。4）对给定系统，节点设置是任意的，所以，信号流图不惟一。,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),C(s),R(s),=,1,+,+,信号流图,（3）信号流图中的常用术语源节点（输入节点、源点）：只有信号输出的支路（输出支路），而没有信号输入的支路（输入支路）陷节点（输出节点、汇点）：只有输入支路，而没有输出支路混合节点：既有输入支路，又有输出支路前向通路：源点汇点，每个节点只经过一次的通路前向通路增益：前向通路上各支路增益之乘积回路：起点、终点为同一节点，且信号通过每节点不多于一次的闭合通路回路增益：回路中所有支路增益之乘积自回路：只通过一个节点或只包括一条支路的回路不接触回路：没有任何公共节点的两个（或多个）回路,4、信号流图的绘制（1）由系统微分方程绘制信号流图拉氏变换微分方程代数方程；对系统的每个变量指定一节点，并按因果关系正确排列其位置；用相应增益的支路，根据代数方程中各变量的关系将各节点连接起来。P55例2-17（2）由系统结构图绘制信号流图1）在结构图的信号线上用小圆圈标出传递的信号节点2）用标有传函的线段代替结构图中的方框支路P56图2-41,NOTE：从系统结构图绘制信号流图时应尽量精简节点的数目。支路增益为1的两相邻节点，一般可和为一个节点，但源节点和陷节点不能被合并掉；比如图2-41中的和在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节点即可；P57图2-42a）图若在比较点之前有引出点，则需在引出点和比较点各设一个节点P57图2-42b）举例：P57例2-18,5、梅森（Mason）公式控制工程中常用梅森（Mason）公式直接求取从源点到汇点的传函，而不需简化信号流图或结构图。Mason公式可直接用于结构图（1）梅森（Mason）公式式中：从源点到汇点的传函：从源点到汇点的前向通路总数：从源点到汇点的第条前向通路增益：信号流图特征式：流图余因子式，它等于信号流图特征式中除去与第条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。,式中：流图中所有单独回路增益之和；所有互不接触回路中,每次取其中两个回路的回路增益乘积之和所有互不接触回路中,每次取其中三个回路的回路增益乘积之和（2）举例P60-62例2-19-例2-22,Pk从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数,梅逊公式介绍,=,其中:,k求法:,k=1-LA+LBLC-LDLELF+,梅逊公式例,P1=1,1=1+G2H2,P11=?,E(s)=,(G2H3),R(s),N(s),(1+G2H2),(-G3G2H3),+,+,P2=-G3G2H3,2=1,P22=?,梅逊公式求E(s),P1=G2H3,1=1,6、闭环系统的传递函数反馈控制系统的典型结构图（1）输入信号下的闭环传函（令）（2）扰动作用下的闭环传函（令）叠加原理：,（3）闭环系统的误差传递函数误差传函的定义：以误差信号作为输出量的传递函数。（）（）,第3章线性系统的时域分析法,建模后分析时域分析法（第3章）根轨迹法（第4章）频域分析法（第5章）时域法直接在时间域对系统进行分析，优点是直观、准确。,3-1系统时域响应的性能指标,1、典型输入信号一般说来，我们是针对某一类输入信号来设计控制系统的。比如：室温控制输入信号为要求的室温水位控制输入信号为要求的水位（阶跃信号）但大多数控制系统的输入信号是以无法预测的方式变化的，比如防空火炮系统，敌机的位置和速度都是无法预测的，给系统的分析和设计带来了困难。为便于分析和设计，同时也便于对各种控制系统的性能进行比较，我们有必要假定一些基本的输入形式，作为典型输入信号。,（1）典型输入信号：是根据系统经常遇到的输入形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。（2）常用典型输入信号阶跃函数阶跃函数的数学表达式为0t0Rt0当幅值R=1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，用1(t)表示。斜坡函数斜坡函数又称速度函数，其数学表达式为0t0Rtt0当R=1时称为单位斜坡函数。,抛物线函数抛物线函数又称加速度函数，其数学表达式为0t0t其面积为R，当R=1且趋于0时，就得到理想单位脉冲信号，记为(t)，其幅值为无穷大，面积等于1。,理想单位脉冲信号在工程上是不存在的，实际上，只要脉冲宽度比系统的时间常数小很多即可近以认为是理想单位脉冲信号。正弦函数。正弦函数的数学表达式为，其中A为正弦信号的振幅，为角频率。正弦函数是频率特性法（第五章）的基础。P77表3-1典型输入信号时域、复频域表达式（3）实际应用时，究竟选取哪一种典型输入信号呢？这取决于系统常处的工作状态，而且在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的输入信号。工作状态突然改变或突然受恒定输入作用阶跃信号输入信号随时间逐渐变化斜坡信号输入信号为冲击输入量时脉冲信号输入作用周期性变化正弦信号,（4）同一系统，在不同形式输入作用下的响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。因此，我们通常选取单位阶跃信号作为典型输入作用，以便在统一的基础上对各种控制系统的性能进行研究和比较。2、动态过程和稳态过程（1）动态过程（也叫过渡过程）：在典型输入信号作用下，系统输出量由初态终态的响应过程。动态过程的形式有：衰减、发散、等幅振荡系统稳定性、快速性、阻尼等（2）稳态过程（稳态响应）：在典型输入信号作用下，当时，系统输出量的表现形式。它表征了系统输出量最终复现输入量的程度稳态误差,3、动态性能（稳、快）和稳态性能（准）（1）动态性能通常在阶跃信号下，测定或计算系统的动态性能。相应地，系统在单位阶跃信号作用下，描述动态过程随时间变化状况的指标，称为动态性能指标。常用动态性能指标有：1）延迟时间：2）上升时间：由的时间第1次上升到的时间，即3）峰值时间：响应超过达到第1个峰值的时间4）调节时间：响应保持在（或）以内5）超调量：,响应速度：、阻尼（惯性、摩擦等）程度：综合反映速度与阻尼:（2）稳态性能：稳态误差：时，系统的输出量系统的输入量或输入量的确定函数，则存在稳态误差（两者间的差值）。稳态误差可度量系统的控制精度或抗扰能力。通常在阶跃信号、斜坡信号或加速度信号作用下测量或计算系统的稳态误差。,B,动态性能指标定义1,上升时间tr,调节时间ts,动态性能指标定义2,动态性能指标定义3,3-2一阶系统的时域分析,一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统1、一阶系统的数学模型微分方程：传递函数（零初始条件）：为时间常数2、一阶系统的单位阶跃响应（1）单位阶跃响应响应曲线见下页,一阶系统时域分析,单位脉冲响应,单位阶跃响应,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(3T)=0.95h(),h(2T)=0.865h(),h(4T)=0.982h(),单位斜坡响应,T,c(t)=t-T+Te-t/T,r(t)=(t)r(t)=1(t)r(t)=t,从响应曲线一阶系统单位阶跃响应的特点所以，可用实验方法来测定一阶系统的时间常数，或判定所测系统是否是一阶系统。初始斜率特性也常用于确定一阶系统的时间常数。,（2）一阶系统的动态性能指标1）延迟时间由2）上升时间3）调节时间从响应曲线中、不存在小结：反映了一阶系统大的惯性，（惯性）、，响应过程越快。,3、一阶系统的单位脉冲响应因为，当，即时（记作）所以，常用被测系统的单位脉冲响应系统的闭环传函。,4、一阶系统的单位斜坡响应，稳态分量5、一阶系统的单位加速度响应，由响应曲线误差发散,稳态误差为越准,P83表3-2一阶系统对典型输入信号的输出响应由此可得到线性定常系统的一个重要特性，即：系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应大的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由输出的初始条件决定。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式都进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。,3-3二阶系统的时域分析,可以用二阶微分方程来描述的系统，称为二阶系统。这是工程上比较常见的一种系统，如，电枢控制的直流电动机，RLC电路和弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统等。同时许多高阶系统在一定的条件下也可近似看成二阶系统，因此深入分析二阶系统的特性具有极其重要的意义。1、二阶系统的数学模型（标准形式）,2、二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的响应形式取决于其特征根，即特征方程的解,位于右半平面系统的动态过程为发散振荡（）或单调发散（）形式，二阶系统不稳定。（无阻尼），位于虚轴上即时等幅振荡临界稳定时，二阶系统稳定，以下分别讨论,（1）欠阻尼（）二阶系统的单位阶跃响应令，则衰减系数阻尼振荡频率当时，欠阻尼单位阶跃响应为衰减振荡形式，衰减系数,（2）临界阻尼（）二阶系统的单位阶跃响应时，为两相等的负实根临界阻尼单位阶跃响应为无超调单调上升过程。,（3）过阻尼（）二阶系统的单位阶跃响应为两不相等负实根令，则其中，系数，非振荡单调上升，无超调。,01,1,0,1,二阶系统单位阶跃响应定性分析,2,(s)=,s2+2ns+n2,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,零阻尼,（4）不同阻尼下二阶系统单位阶跃响应曲线比较结论：无超调单调上升过程越小，上升时间越短，响应速度越快时、通常取0.4-0.8为宜若二阶系统相同，不同，则振荡特性相同（横坐标为）但响应速度不同（同，即越大，响应速度越快）,欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算,n,-n,01时：,（00.8）,3、欠阻尼（）二阶系统的动态过程分析（常用单位阶跃响应来度量）阻尼角（1）延迟时间的计算由的表达式（、）关系曲线P88图3-12利用曲线拟合，在较大范围内，近似有当时，工程上近似有,或结论：若不变，越小（即、离虚轴越近），越小；若不变（不变），越大（即、离原点越远），越小。（2）上升时间的计算（第1次上升到终值的时间）即一定（一定）一定,（3）峰值时间的计算由即（）取,（4）超调量的计算将代入得：（）可见，仅与有关，一般取时，介于之间。工程上常以=0.7作为设计的依据，=0.707称为最佳阻尼参数。,（5）调节时间的计算包络线根据定义，取取总结：二阶系统各动态性能指标是矛盾的，与（）响应速度与阻尼程度要进行折衷或补偿P90例3-1,4、过阻尼（）二阶系统的动态过程分析适用场合：低增益、大惯性、不希望出现超调高阶系统近似（1）延迟时间的计算工程近似计算公式（2）上升时间的计算（）曲线拟合近似,（3）调节时间的计算利用P92图3-17过阻尼二阶系统的调节时间特性由已知的、（、即、）查图3-17若（即）系统可等效为具有（即）闭环极点的一阶系统，此时，当时，由由图3-17P92例3-2,7、非零初始条件下二阶系统的响应过程（只讲重要结论）其中，：零初始条件响应分量：非零初始条件响应分量当时，,其中，时，有其中，,重要结论：非零初始条件响应分量形式与以前分析的零初始条件分量一致，分析所得各项结论也必与所得相应结论一致。因此，若仅限于分析系统自身的固有特性，可不考虑非零初始条件对响应过程的影响。,用高阶微分方程描述，很难求出表达式闭环主导极点二阶系统1、三阶系统的单位阶跃响应（自学）2、高阶系统的单位阶跃响应的一般形式因式分解,3-4高阶系统的时域分析,因为、均为实系数为实数或共轭复数实际控制系统中，所有的闭环极点通常都不相同所以（）单位阶跃响应：,设初始条件为零结论：1）高阶系统的响应曲线由一阶和二阶系统的时间响应函数项组成，且所有闭环极点位于平面左半平面时，系统稳定，稳态输出量为。2）闭环极点负实部绝对值越大（离虚轴越远），其对应响应分量衰减越快。3）高阶系统时间响应的类型取决于系统闭环极点的性质和大小，而时间响应的形状则与闭环零点有关。（零点影响中留数的大小和符号）P105例3-6,3、闭环主导极点（稳定均在左半平面）（1）闭环主导极点定义：距离虚轴最近，且周围无闭环零点；其他闭环极点远离虚轴。其对应的响应分量随时间推移衰减缓慢，在系统时间响应过程中起主导作用。（2）闭环主导极点可以是实数极点，也可以是共轭复数极点。但在控制工程实践中，考虑到各种性能指标的要求，通常把高阶系统的开环增益调整到使系统具有一对闭环共轭复数主导极点。此时可用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。（3）高阶系统单位阶跃响应的近似表达式设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点：（）,（）已考虑闭环零点与非闭环主导极点对系统响应过程的影响4、高阶系统的动态性能估算前提：系统有一对共轭复数主导极点；非主导极点离虚轴的距离3倍主导极点离虚轴的距离方可用上式做估算,（1）峰值时间的计算推导：由即,而，所以有：,结论：1）闭环零点的作用是减少峰值时间；2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间；3）若闭环零极点彼此接近，它们对系统响应速度的影响相互削弱；4）若系统无闭环零点和非闭环主导极点二阶系统（2）超调量（）的计算闭环非主导极点影响修正系数闭环零点影响修正系数,公式推导：，据定义有在推导公式过程中当时,又所以（）,令，则结论：1）闭环零点会使，即系统阻尼（P108）2）闭环非主导极点会使，即系统阻尼（P108）3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则二阶系统,（3）调节时间的计算据定义而得：其中：，,结论：1）若离虚轴较近，则较大，2）若靠近虚轴，且，则（4）总结：1）闭环零点对系统动态性能总的影响是：、，该作用随接近虚轴而加剧；2）闭环非主导极点对系统动态性能的总影响是：、。,3-5线性系统的稳定性分析,1、稳定性的基本概念1）平衡状态稳定性任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。稳定性是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。举例P109单摆a、稳定平衡点d、不稳定平衡点大范围稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动消失后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态；小范围稳定：只有扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在扰动消失后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态。对于线性系统，大范围稳定与小范围稳定是一致的。,2）运动稳定性指系统在不受任何外界输入作用下（自由运动），系统运动方程的解在时间时的渐近行为即齐次微分方程的“解”系统方程的“运动”发散系统不稳定收敛系统稳定对于线性系统，平衡状态稳定性与运动稳定性是一致的。3）据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可叙述如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,2、线性系统稳定的充要条件闭环系统特征方程所有的根均具有负实部，或者说，系统闭环极点均严格位于左半平面。3、Routh判据不需要求出系统的所有特征根，而是根据线性系统特征方程的系数间接判断系统的特征根是否全部位于左半平面。设线性系统的特征方程为构造Routh表,Routh稳定判据：线性系统稳定的充要条件是：Routh表中第1列各值为正。若Routh表中第1列出现有小于0的数值，则系统不稳定，且第1列各数值符号改变的次数为系统特征方程正实部根的数目（即位于右半平面的闭环极点数）举例见下张幻灯片劳斯阵第一列各系数不全大于零，因此系统不稳定。第一列系数符号改变2次，表明系统有两个正实部的根。,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳斯表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,劳斯表,劳斯表特点,4每两行个数相等,1右移一位降两阶,2行列式第一列不动,3次对角线减主对角线,5分母总是上一行第一个元素,6一行可同乘以或同除以某正数,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,均大于零!,4、Routh稳定判据的特殊情况（1）Routh表中某行的第1列项为0，而其余项不全为0（或都不为0）比如：1-302解决方案1：用乘以原特征方程（为任意正数）新特征方程，再对新特征方程用Routh判据。比如P115解决方案2：以（无限小的正数）替代0，再继续用Routh判据,（2）Routh表中出现全0行比如对全零行的上一行构造辅助方程，并将辅助方程对求导，用所得导数方程的系数替代全0行，再继续计算Routh表中其他系数。说明：Routh表中出现全0行表示特征方程存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，且这些根可根据辅助方程求得。比如上例中,劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳斯表,5,1,7,5,6,6,6,0,1劳斯表何时会出现零行?,2出现零行怎么办?,3如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数:2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3,5、Routh稳定判据的应用Routh判据不能表明系统特征根离虚轴的距离。若系统有特征根离虚轴太近，中很小，系统的过渡过程将很缓慢，甚至会出现强烈的振荡，为使稳定系统具有良好的动态响应，希望左半平面上的闭环极点离虚轴有一定的距离，比如（），通常称为给定稳定度。（1）用Routh判据判别系统的特征根是否全部位于垂线之左。方法是用新变量，即代入原特征方程，得到一个以为变量的新特征方程，然后对新特征方程应用Routh判据。（2）应用Routh判据还可以确定系统的一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。P117例3-10,3-6线性系统的稳态误差计算,原理性稳态误差的计算方法静态误差系数动态误差系数附加稳态误差（由非线性因素引起）1、误差与稳态误差（1）误差的两种定义方法1）在系统输入端定义（常用）2）在输出端定义系统输出量的期望值与实际值之差,误差定义,输入端定义：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),输出端定义：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C实=Cn(s),（2）误差的时域表达式暂态分量时为0（稳定）稳态分量系统稳态误差定义为，记为,（3）系统稳态误差定义为，记为用拉氏变换终值定理求稳态误差条件是：除在原点处有唯一极点外，在右半平面及虚轴上解析，即的极点均位于左半平面（除坐标原点处的极点外）。P119例3-11,2、系统类型系统开环传函开环增益时间常数开环系统在坐标原点处的极点重数根据来划分系统类型0型系统1型系统2型系统（除航天控制系统外，3型及以上系统几乎不用）该分类法可揭示系统跟踪不同输入信号的能力,下面计算不同输入信号作用下，0、1、2型系统的稳态误差。实际输入多为这三者的组合假设系统稳定，在输入下可用终值定理,3、阶跃输入作用下系统的稳态误差（也称位置误差）定义静态位置误差系数则有()显然0型系统1型系统、2型系统,4、斜坡输入作用下系统的稳态误差（也称速度误差）定义静态速度误差系数则有（）显然0型系统1型系统2型系统,5、加速度输入作用下系统的稳态误差（也称加速度误差）定义静态加速度误差系数则有（）显然0型系统、1型系统2型系统,P124表3-5采用高型别的系统对提高系统的控制精度有利，但应以保证系统的稳定性为前提，同时还要兼顾系统的动态性能。P123例3-13Note：在系统误差分析中，只有当输入信号是阶跃、斜坡、加速度函数或是这三种函数的线性组合时，静态误差系数才有意义。,6、动态误差系数问题的提出：静态误差系数只能用于3种形式输入信号作用下系统稳态误差的计算，且不能表示随时间变化的规律。利用动态误差系数法，可以研究几乎任意输入信号作用下系统稳态误差分量的变化，因此也称广义误差系数。,（1）将在的邻域内按泰勒级数展开，得误差级数，收敛于的邻域，即定义0、1、2为动态误差系数经拉氏反变换得,（2）动态误差系数的一种简便求法将系统的开环传函按的升幂排列，即则对上式进行长除，得的一个升幂级数即为动态误差系数习惯上称为动态位置误差系数为动态速度误差系数为动态加速度误差系数,（3）在一个特定的系统中，可建立某些动态误差系数与静态误差系数间的关系：0型系统1型系统2型系统,证明：以0型系统为例此时对上式进行长除P126例3-14,7、扰动作用下系统的稳态误差在扰动信号作用下，系统的理想输出应为0，故以上系统在扰动作用下的输出端误差为记，则有,动态误差级数设有其中系统对扰动的动态误差系数同理可用终值定理（只要在右半平面及虚轴上解析）计算系统在扰动作用下的稳态误差P128例3-15、例3-16,8、减小或消除稳态误差的措施（几个结论）（1）增大系统开环增益或扰动作用点之前的前向通道增益用表3-5（P124）及例3-15（P128）可说明（2）在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节（提高系统的型）结论：（P130）系统主反馈通道传函不含的零、极点时只要在系统前向通道中设置个串联积分环节，必可消除系统在输入信号作用下的稳态误差。当、时，只要、为0，则,系统主反馈通道传函含有个积分环节，即响应扰动信号的型系统、为系统前向通道的积分环节数目，即如果在扰动作用点之前的前向通道（即）或主反馈通道（即）中设置（）个积分环节，必可消除系统在扰动信号作用下的稳态误差。原因：或含有个的零点时，必有或,（3）采用串级控制抑制内回路扰动（自学）（4）采用复合控制（见第6章复合校正）,减小和消除误差的方法(1,2),1按扰动的全补偿,令R(s)=0,En(s)=-C(s)=,令分子=0，得Gn(s)=-(T1s+1)/k1,这就是按扰动的全补偿,t从0全过程,各种干扰信号,2按扰动的稳态补偿,设系统稳定，N(s)=1/s,则,Gn(s)=-1/k1,令N(s)=0,Er(s)=,令分子=0，得Gr(s)=,s(T2s+1)/k2,3按输入的全补偿,设系统稳定，R(s)=1/s2则,4按输入的稳态补偿,减小和消除误差的方法(3,4),误差定义,输入端定义：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),输出端定义：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C实=Cn(s),典型输入下的稳态误差与静态误差系数,R(s)=R/s,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,R(s)=V/s2,r(t)=At2/2,R(s)=A/s3,取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,r(t)=At2/2,型,0型,型,R1(t),Vt,0,0,0,At2/2,k,k,0,静态误差系数,稳态误差,小结：,1,2,3,非单位反馈怎么办？,啥时能用表格？,表中误差为无穷时系统还稳定吗?,第4章线性系统的根轨迹法,第4章线性系统的根轨迹法根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的一种图解方法4-1根轨迹法的基本概念1、根轨迹概念开环系统某一参数（通常是根轨迹增益）从变化时，闭环系统特征方程的根在平面上变化的轨迹。实质上是解决闭环特征方程的求根问题（尤其是高阶系统）求根的重要性：特征根（系统闭环极点）决定了系统的稳定性及稳态与动态性能指标。根轨迹概念举例：,注意：,K一变，一组根变；,K一停，一组根停；,一组根对应同一个K；,根轨迹概念,k=0时，s1=0,s2=2,0k0.5时，两个负实根；若s1=0.25,s2=?,k=0.5时，s1=s2=1,演示rltool,2、根轨迹与系统的性能（1）稳定性时，根轨迹在左半平面，则系统稳定注意临界稳定值的计算（2）稳态性能上章内容与系统开环增益有关根轨迹增益与开环增益P32-33（下张幻灯片）（3）动态性能上例中时，、为负实根过阻尼时，负实根临界阻尼时，、为共轭复根欠阻尼高阶系统用图解法求根轨迹,传递函数的零点和极点用于根轨迹用于频域法零点极点传递系数或根轨迹增益在频域法表示中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点，时间常数传递系数或增益,3、根轨迹方程开环传函为（）已知的开环零点已知的开环极点闭环传函特征方程为即即根轨迹方程,根轨迹方程实质上是一个向量方程，根据该方程，可以画出从变化时系统的连续根轨迹。，可化为如下两方程形式相角条件：，即幅值条件：即,其实，单凭相角条件就能绘出系统的根轨迹，只有当要确定根轨迹上各点对应的值时，才用幅值条件。,模值条件与相角条件的应用,-0.825=0.466n=2.34,s1=-0.825s2,3=