数理方程第二版 课后习题答案

第一章 曲线论1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略2. 求证常向量的微商等于零向量。证：设r=c，tI为常向量，因为limt0rt+t-r(t)t=limt0c-ct=0所以 r=0。 证毕3. 证明ddtr(t)(t)=rtt-r(t)(t)2(t)证：ddtr(t)(t)=ddt-1(t)r(t)=-2ttrt+-1trt=rtt-r(t)(t)2(t)证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。证：设r=rt=x(t)y(t)z(t)，tI为定义在区间I上的向量函数，因为rt在区间I上可导当且仅当数量函数 x(t)，y(t)和z(t)在区间I上可导。所以，t0I，根据数量函数的Lagrange中值定理，有xt=xt0+x(1)(t-t0)yt=yt0+y(2)(t-t0)zt=zt0+z(3)(t-t0)其中1，2，3介于t0与t之间。从而r=rt=x(t)y(t)z(t) =xt0+x(1)(t-t0)yt0+y(2)(t-t0)zt0+z(3)(t-t0) =xt0yt0zt0+x(1)y(2)z(3)(t-t0) =r0+(t-t0)上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中=x1y2z3。如果在区间I上处处有rt=x(t)y(t)z(t)=0，则在区间I上处处有xt=yt=zt=0，从而=x1y2z3=0，于是r=r0。 证毕5. 证明r=rt具有固定方向的充要条件是rr=0。证：必要性：设r=rt具有固定方向，则r=rt可表示为r=rt=(t)e，其中(t)为某个数量函数，e为单位常向量，于是rr= ttee=0。充分性：如果rr=0，可设r0，令r=rt=(t)e(t)，其中(t)为某个数量函数，e(t)为单位向量，因为r=tet+(t)e(t)，于是rr=0tettet+tet=02te(t)e(t)=0因为r0，故2t0，从而etet=0e(t)e(t)2=0e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)=0100e(t)2=e(t)2=0et=0e(t)=e为常向量，于是，r=rt=(t)e，即r=rt具有固定方向。 证毕6. 证明r=rt平行于固定平面的充要条件是r,r,r=0。证：必要性：设r=rt平行于固定平面，则存在一个常向量p，使得pr=0，对此式连续求导，依次可得 pr=0和 pr=0，从而r，r，和r共面，因此 r,r,r=0。充分性：设r,r,r=0，即rrr=0，其中，如果rr=0，根据第5题的结论知，r=rt具有固定方向，则r=rt可表示为r=rt=(t)e，其中(t)为某个数量函数，e为单位常向量，任取一个与e垂直的单位常向量c，于是作以n=ec为法向量过原点的平面，则r平行于。如果rr0，则r与r不共线，又由r,r,r=0 可知，r，r，和r共面，于是 r=(t)r+(t)r，其中(t)，(t)为数量函数，令n=rr，那么n=rr=(t)n，这说明n与n共线，从而nn=0，根据第5题的结论知，n具有固定方向，则n=nt可表示为n=nt=(t)e，其中(t)为某个数量函数，e为单位常向量，作以e为法向量，过原点的平面，则r平行于。 证毕2曲线的概念1. 求圆柱螺线r=cost,sint,t在点(1,0,0)的切线与法平面的方程。解：r=-sint,cost,1，点(1,0,0)对应于参数t=0，于是当t=0时，r=1,0,0，r=0,1,1，于是切线的方程为：x-10=y1=z1法平面的方程为y+z=02. 求三次曲线r=at,bt2,ct3在点t0处的切线和法平面的方程。解：r=a,2bt,3ct2，当t=t0时，r=at0,bt02,ct03，r=a,2bt0,3ct02，于是切线的方程为：x-aa=y-bt022bt0=z-ct033ct02法平面的方程为ax-a+2bt0y-bt02+3ct02z-ct03=03. 证明圆柱螺线r=a cost,a sint,bt的切线和z轴成固定角。证：r=-a sint,a cost,b令为切线与z轴之间的夹角，因为切线的方向向量为r=-a sint,a cost,b，z轴的方向向量为k=0,0,1，则cos=rk|r|k|=ba2+b2=arccosba2+b2证毕4. 求悬链线r=at,a cosht (-t+)从t=0起计算的弧长。解：r=a,asinhts=0t|r|dt=0ta2+(asinht)2dt=a0tcoshtdt=asinht5. 求抛物线y=bx2对应于-axa的一段的弧长。解：y=2bxs=-aa1+y2dx =-aa1+4b2x2dx=20a1+4b2x2dx=1b0a1+(2bx)2d(2bx)=1bbx1+4b2x2+12ln2bx+1+4b2x20a=a1+4a2b2+12bln2ab+1+4a2b26. 求星形线x=acost3，y=asint3的全弧长。解：s=402x2+y2dt=12a02sintcost dt=6a7. 求旋轮线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)对应于0t2一段的弧长。解：s=02x2+y2dt=2a021-costdt=2a02sint2dt=8a8. 求圆柱螺线r=3a cost,3a sint,4at (-t0 或 t3 空间曲线1. 求圆柱螺线r=a cost,a sint,bt在任意点的密切平面的方程。解：密切平面的方程为X-a costY-a sintZ-bt-asintacostb-acost-asint0=0即 absint(X-a cost)-abcost(Y-a sin t)+a2Z-bt=02. 求曲线r=t sint,t cost,t et在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。解：r=t sint,t cost,t etr=sint+tcost,cost-tsint,1+tetr=2cos t-t sint,-2sint-t cost,(2+t) et原点(0,0,0)对应于参数 t=0,于是在t=0处，r=0,0,0r=0,1,1r=21,0,1=r|r|=120,1,1=rr|rr|=131,1,-1=162,-1,1密切平面的方程为X+Y-Z=0副法线的方程为X1=Y1=Z-1法平面的方程为：Y+Z=0切线的方程为X0=Y1=Z1从切平面的方程为2X-Y+Z=0主法线的方程为X2=Y-1=Z13. 证明圆柱螺线r=a cost,a sint,bt的主法线和z轴垂直相交。证：r=a cost,a sint,btr=-a sint,a cost,br=-a cost,-a sint,0=r|r|=1a2+b2-a sint,a cost,b=rr|rr|=1a2+b2b sint,-b cost,a=- cost,- sint,0一方面，主法线的方程为X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0另一方面，过圆柱螺线r=a cost,a sint,bt上任意一点M(a cost,a sint,bt)作平面与z轴垂直，的方程为Z-bt=0，与z轴的交点为N(0,0,bt)，过M与N的直线显然与z轴垂直相交，而其方程为X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0这正是主法线的方程，故主法线和z轴垂直相交。 证毕4在曲线r=cos cost,cos sint,tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解：令a=cos , b=sin，则曲线的方程可表示为：C1: r=a cost,a sint,bt, a2+b2=1 设C1的副法线向量为，则有=rr|rr|=1a2+b2b sint,-b cost,a=b sint,-b cost,a根据题意，新曲线的方程可表示为C2: =r+=a cost+b sint,a sint-b cost,a+bt将a=cos , b=sin代入上式，整理后，得C2: =cost-, sint-,(sin)t+cos=-sint-,cost-,sin=-cost-, -sint-,0=sin sint-,-sincost-,1于是新曲线C2的密切平面为：sin sint-X-cos(t-)-sincost-Y-sin+Z-(sin)t -cos=0即：sin sint-X-sincost-Y+Z=(sin)t+cos5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。证：设曲线(C): r=r(s)为球心在原点，半径为a的球面上的曲线,其中s为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为r）处的基本向量为，。则有1 r2=a2上式两边关于s求导，得2 r=0设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为3 - r=0根据(2)式 =0 满足方程(3)，故法平面过原点。 证毕6. 证明过原点平行于圆柱螺线r=a cost,a sint,bt的副法线的直线的轨迹是锥面a2x2+y2=b2z2。证：r=a cost,a sint,btr=-a sint,a cost,br=-a cost,-a sint,0=r|r|=1a2+b2-a sint,a cost,b=rr|rr|=1a2+b2b sint,-b cost,a设过原点(0,0,0)且与平行的直线上的点为(X,Y,Z),则直线的方程为Xbsint=Y-bcost=Za化为参数方程，得XYZ=(bsint)u-(bsint)uau则有a2X2+Y2=b2Z2这说明直线上的点(X,Y,Z)都在锥面a2x2+y2=b2z2上。 证毕7. 求下列曲线的曲率和挠率。 1 r=a cosht,a sinht,at， 2 r=a3t-t3,3at2,a3t+t3解: 对于曲线(1)r=asinht,acosht,ar=acosht,asinht,0r=asinht,acosht,0k=|rr|r|3 = 12a(cosht)2=(r,r,r)|rr|2 = 12a(cosht)2对于曲线(2)r=3a1-t2,2t1+t2r=6a-t,1,tr=6a-1,0,1k=|rr|r|3 = 13a(t2+1)2=(r,r,r)|rr|2 = 13a(t2+1)28. 给定曲线r=(cost)3,sint3,cos2t，求（1）基本单位向量，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。解: 对于给定曲线，有1 r=-32sin2tcost,-sint,432 dr=-32sin2tcost,-sint,43dt3 ds=(dr)2 = 52|sin2t|dt 4 =drds=35cost,-sint,43其中，=15 =dds=ddtdtds=625|sin2t|-sint,-cost,06 =| = -sint,-cost,0 7 = =45cost,-sint,348 k=| = 625|sin2t|9 =dds=ddtdtds=825|sin2t|-sint,-cost,010 =- =-825|sin2t|根据(5)(6)(8)式可得=k，根据(6)(9)(10)式，可得=-，又根据(6)式，得 =dds=ddtdtds=25|sin2t|-cost,sint,0另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得-k+=25|sin2t|-cost,sint,0从而，=-k+。9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。证1：设曲线(C)的向量参数方程为：r= r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为r）处的基本向量为，。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为r0），所以r-r0与共线，进而有(1) r-r0=0上式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(2) kr-r0=0(2)式中的k为(C)在P点处的曲率。又(2)式中r-r00，这是因为如果r-r0=0，则r-r0同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。从而根据(2)式有k=0，即(C)是直线。 证毕证2：设曲线的方程为，因为曲线上任一点的切线经过一定点，则与共线，但，于是与共线，从而=0,由此可知具有固定的方向，即与一个常向量平行，于是=,或，这说明曲线上的点都在以为方向向量，过点的直线上，所以曲线为直线。 证毕10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。证：设曲线(C)的向量参数方程为：r= r(s)，其中s为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为r）处的基本向量为，。因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 rr0，而rr0k=rrr30即(C)上任何点的曲率k0。设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为r0），则r-r0为(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有(1) r-r0=0(1) 式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(2) r-r0=0(2)式中的为(C)在P点处的挠率。由(2)式可知，=0 或者r-r0=0但r-r00，因为如果r-r0=0 结合(1)式,可知r-r0与共线，于是 (3) r-r0=0(3)式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(4) kr-r0=0(4)式中的k为(C)在P点处的曲率。因为k0，所以r-r0=0 ，结合(3)知r-r0同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。这个矛盾说明r-r00，于是由(2)式可知，只能=0，曲线(C) 是平面曲线。 证毕11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量e，则此曲线是平面曲线。证1： 设曲线(C)的向量参数方程为：r= r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为r）处的基本向量为，。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量e，则有(1) e=0注意到=r ，(1)式两端关于s从s0到s求积分，得：(2) ers-rs0=0（2）式说明曲线(C)在以常向量e为法向量且过点rs0的平面上。 证毕证2：设曲线(C)的向量参数方程为：r= r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为r）处的基本向量为，。因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 rr0，而rr0k=rrr30即(C)上任何点的曲率k0。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量e，则(1) e=0上式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(2) ke=0因为k0，所以(3) e=0，结合(1)式可知e与共线，从而(4) e=0(4)式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(5) e=0(5)式中e0，否则，根据(3)式，e=0 和 e=0将同时成立，即既与e平行，又与e垂直，这是矛盾。于是只能是=0，所以曲线(C) 是平面曲线。 证毕 12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。证：设曲率为常数k的空间曲线(C)的向量参数方程为：r= r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P处的基本向量为，曲率半径为R=1/k，又设(C)的曲率中心的轨迹为，的曲率记为k，根据题意，的方程为1 =r+R(1)式两边关于s求导，得2 =R3 =R(-2+)4 k=| |3=1R(4)式说明的曲率k也是常数且k=k。 证毕13. 证明曲线(C)：r=1+3t+2t2,2-2t+5t2,1-t2为平面曲线，并求出它所在平面的方程。解：r=3+4t,-2+10t,-2tr=4,10,-2r=0,0,0=(r,r,r)(rr)2=0由上式可知，(C)为平面曲线。令t=0，则有r=1,2,1r=3,-2,0r=4,10,-2r=0,0,0rr=22,3,19(C)所在平面的方程为2x-1+3y-2+19z-1=0。14. 设在两条曲线C1和C2的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行， 证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，sI1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，sI2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线C1上的点P和区间I1内的参数s一一对应，曲线C2上的点Q和区间I2内的参数s一一对应，如果两条曲线的点P与Q之间建立了一一对应关系，则对应的参数s与s之间也建立了一一对应关系，从而1 s=s(s)设1，1，和1为曲线C1在点P处的基本向量， 2，2，和2为曲线C2在点Q处的基本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和，曲线C2在点Q处的曲率和挠率分别记k为和。如果两条曲线总保持在对应点P与Q处的切线平行，则有2 2=1，其中=1(2)式两边关于s求导，得3 k2dsds=k1从而，4 2=kkdsds1(4)式说明C1和C2在对应点P与Q处的主法线平行。又因为2= 22，由(2)式和(4)式，得5 2= 22=kkdsds1(5) 式说明C1和C2在对应点P与Q处的副法线平行。 证毕15. 设在两条曲线C1和C2的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，sI1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，sI2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线C1上的点P和区间I1内的参数s一一对应，曲线C2上的点Q和区间I2内的参数s一一对应，如果两条曲线的点P与Q之间建立了一一对应关系，则对应的参数s与s之间也建立了一一对应关系，从而1 s=s(s)设1，1，和1为曲线C1在点P处的基本向量， 2，2，和2为曲线C2在点Q处的基本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和，曲线C2在点Q处的曲率和挠率分别记k为和，如果两条曲线总保持在对应点P与Q处的主法线平行，则有2 2=1，其中=1根据(2)式，可得3 dds12=k12+1k2dsds=k22+1k1dsds=0设1与2之间的夹角为，则根据(3)式，4 cos=12=const(4)式说明C1和C2在对应点P与Q处的切线成固定角。 证毕16. 如果曲线C1的主法线是曲线C2的副法线，C1的曲率和挠率分别为k和，求证k=a(k2+2)其中a是常数。证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，sI1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，sI2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线C1上的点P和区间I1内的参数s一一对应，曲线C2上的点Q和区间I2内的参数s一一对应，如果两条曲线的点P与Q之间建立了一一对应关系，则对应的参数s与s之间也建立了一一对应关系，从而1 s=s(s)设1，1，和1为曲线C1在点P处的基本向量， 2，2，和2为曲线C2在点Q处的基本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和，曲线C2在点Q处的曲率和挠率分别记k为和。如果曲线C1的主法线是曲线C2的副法线，依题意，有下面两式成立：2 2= 1，其中=1。3 r2=r1(s)+t(s)1(s)(3)式两边关于s求导，得4 2dsds=1+t1+t-k1+1整理(4)式，可得5 2=1-ktdsds1+tdsds1+tdsds1利用(2)式，在(5)式两边与1作内积，得6 tdsds=0(6)式中由于dsds0故 t=0，从而t=a为常数，(5)式化为7 2=1-akdsds1+adsds1=A1+B1(7)式两边关于s求导，得8 k2dsds=A1+kA-B1+B1因为 2= 1，上式两边同时与1作内积，得9 kA-B=0根据(7)式，(9)式等价于k1-akdsds-adsds=0即k1-ak-a2=0从而，k=a(k2+2)。 证毕17. 曲线r=at-sint,a1-cost,4acost2在哪些点的曲率半径最大？解：解: 对于给定曲线，有1 r=a1-cost,sint,-2 sint2=a2sint22,2sint2cost2,-2 sint2 =2a sint2sint2,cost2,-12 dr=2a sint2sint2,cost2,-1dt3 ds=(dr)2 = 22a|sint2|dt 4 =drds=2sint2,cost2,-1其中，=15 =dds=ddtdtds=8a|sint2|cost2,-sint2,06 k=| = 18a|sint2|7 R=1k=8a|sint2|根据(7)式，当 t=(2k1)，k=0,1,2,时，R=8a最大。18. 已知曲线(C)：r=r(s)C3上一点r(s)的邻近一点r(s+s)，求点r(s+s)到点r(s)的密切平面、法平面的距离（设(C)在点r(s)的曲率和挠率分别为k和。）解：设曲线(C)在点r(s)的基本向量分别为，和，则点r(s+s) 到点r(s)的密切平面和法平面的距离分别为1 d1=rs+s-rs=|rss+12rss2+13!r(s)+s3|2 d2=rs+s-rs=|rss+12rss2+13!r(s)+s3|其中，lims0=0因为rs= ，rs=s=k，rs=ddsk=k+k-k+=-k2+k+k将它们代入(1)式和(2)式中，得3 d1=|13!ks3+13!s3|13!k|s|33 d2=|s-13!k2s3+13!s3|s-13!k2s3|19. 如果曲线C1：r= r(s) 为一般螺线，其中s为C1的自然参数。， 为C1上任意一点P处的基本向量，R为C1在P处曲率半径，证明：曲线C2：=R-ds也是一般螺线。证：曲线C2的方程两边关于s求导，得1 =R2 =R-kR3 =-kR2根据(1)式和(3)式，得5 2=|=其中=16 2=|=-7 2=2 2=-因为曲线C1：r= r(s) 为一般螺线，故存在一个常向量p 使得p=0 从而，8 p2=-p=0(8)式说明曲线C2也是一般螺线。 证毕20. 证明：一条曲线(C)：r= r(s)为一般螺线的充要条件是r,r,r(4)=0。证：充分性：如果r,r,r(4)=0，则曲线(C)： r=r(s)的挠率为零，(C)为平面曲线，于是存在一个常向量p，使得pr=0，但r=k，故kp=0，因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），从而k0，于是p=0，即(C) 为一般螺线。必要性： 如果(C)为一般螺线，存在一个常向量p 使得p=0，但=k-1=k-1r,从而，pr=0，继续关于s求导，可得：pr=0 ， pr(4)=0，于是r，r，r(4)共面，由此，r,r,r(4)=0。 证毕21. 证明：一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证：因为我们只研究不含逗留点的曲线，故所讨论的两条曲线的曲率均不为0，设曲线C1的方程为r1=r1(s)，sI1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，sI2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线C1上的点P和区间I1内的参数s一一对应，曲线C2上的点Q和区间I2内的参数s一一