数字信号处理_证明题(32道)_1

题干证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFTx(n)， 证明：DFTX(n)=Nx(Nk)答案证：因为：所以： 由于： 所以：DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N1题干如果X(k)=DFTx(n)， 证明DFT的初值定理：答案证: 由IDFT定义式：可知：题干证明: 若x(n)为实序列， 则X(k)为共轭对称序列， 即。 答案证: 由DFT的共轭对称性。 将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则：X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其难：Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。 所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)=DFTx(n)=Xep(k)，即。题干证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(Nn)，且 则X(k)也实偶对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 则：X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则：ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n)所以： 当x(n)=x(Nn)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。 又实序列的DFT必然为共轭对称函数， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)，所以X(k)实偶对称。题干证明： 若x(n)实奇对称， 即x(n)=x(Nn)，且 则X(k)为纯虚函数并奇对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 则：X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则：ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n)所以：当x(n)=x(Nn)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯虚奇函数。题干证明频域循环移位性质：设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)， 则答案证：令m=k+l, 则题干证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFTx(n)， 则答案证：题干若X(K)=DFTx(n)N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。答案证明：，题干 其中:k,m为整数，N为自然数答案题干 答案证明： 题干 答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干证明: 答案证明：题干证明：答案证明：题干证明：答案证明：题干证明：答案证明：题干证明答案证明：题干证明DFT的线性性质即： 若则： 其中：a、b为常数答案证明：题干证明FT的线性性质。即设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么式中, a，b是常数答案证明：题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：答案证明：实序列的Fourier变换具有共轭对称性题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：答案证明：虚数Fourier变换具有共轭反对称性题干证明：答案证明：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ej)的实部XR(ej)题干证明：答案证明：序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ej)的虚部(包括j)。题干证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)则：Y(ej)=X(ej)H（ej）答案证明：令k=nm，则:题干设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)，则答案证明：因此：题干设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1证明;W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+Rw+=minRx+, Ry+ Rw-=maxRx-, Ry-答案证明：W(z) 的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。题干设m(n)=ax(n)+by(n)a, b为常数 X(z)=ZTx(n)Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n)Ry-|z|Ry+则:M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm-|z|Rm+Rm+=minRx+, Ry+;Rm-=maxRx-, Ry-答案证明：Rm-|z|Rm+Rm+=minRx+, Ry+;Rm-=maxRx-, Ry-题干证明：FT的周期性。即证明FT的周期是。答案证明： 为整数题干证明线性卷积服从交换律。 即证明下面等式成立：