方程的根竞赛典型题

例：xR,求410+x+47-x=3的根.解：（换元法）设u=410+x，v=410+x, 则u4+v4=17 记为（1）式，u+v=3 记为（2）式因为（u2+v2）2-2u2v2=u4+v4=17即（(u+v)2-2uv）2-2u2v2=u4+v4=17 记为（3）式将（2）式代入（3）式中，可得（9-2uv）2-2u2v2=17可解得uv=2或者uv=16（舍去）联立方程uv=2 u+v=3.解得u=1且v=2或者u=2且v=1.当u=1且v=2时，u=410+x=1，解得x=-9；当u=2且v=1时，u=410+x=2，解得x=6.关于不定方程的题目：已知a,b,c是整数，且满足a+b=3,c2-2c+ab=-2,求a,b,c的值解：a+b=3 ab=-2-c2+2c构造方程x2-3x+(-2-c2+2c)=0 其中a,b为方程的两根 =9-4（-2-c2+2c)=17+4c2-8c=(2c-2)2+13x=32 =k2 (2c-2)2+13=k2即k2-(2c-2)2=13 所以(k+2c-2)(k-2c+2)=13k+2c-2=13k-2c+2=1 或 k+2c-2=1k-2c+2=13可得k=7c=4 或 k=7c=-2 x=5或-2 所以a,b,c的值为5，-2，4 或-2,5,4 或 5，-2，-2或 -2,5，-2例：定义在R的实值函数f(x)满足：12fxy+12fxz-fxfyz14,x,y,zR，求f(x).解： 令x=y=z=0，得12f0+12f0-f(0)214, 即f0-1220 ，所以 f0=12，同理令x=y=z=1，得12f1+12f1-f(1)214，即f1=12，令y=z=0，得12f0+12f0-fxf(0)14, 即fx12,令y=z=1，得12fx+12fx-fxf(1)14, 即fx12，所以，fx=12，xR.例：解方程8+5x7=6x-113解： 令6x-113=nnZ 则x=3n+116 则15n+10342=n 故n15n+10342n+1 解得61270，原方程可化为x2-6x-16=10a若a10，则原方程等价于x2-6x-16=10+a，可化为x2-6x-16=10+a，即x2-6x-1610+a=0，此时原方程只有4个解，不符合题意。若0a12 1 xy,则1x+1y2x 2由12得：2x12,得：x4,故x=3得： x1=3 , y1=3, z1=6 x2=3, y2=4, z2=12 x3=3, y3=5, z3=30例 求方程2x+73=2x-14的实数解 解 令2x-14=k,k为整数，则2x=4k+1,且有k+k+83=k显然k0,于是0k+831即 -8k-5得k=-8,-7,-6,从而x=-312,-272.例 求方程5（XY+YZ+ZX）=4XYZ的正整数解。解：方程两边同除以5XYZ可得 1X + 1Y +1Z = 45不妨设XYZ，则1X+ 1Y + 1Z = 45 3X 即X154，即X的取值范围为1 X 3当X=1时，原式为5（Y+YZ+Z）=4YZ，不符合题意当X=2时，1Y +1Z = 310，同理可得2Y 6验证知Y=4,5 从而Z=20,10当X=3时，可知方程无正整数解综上所述，原方程共有12组正整数解：（2,4,20），（2,20,4）（4,2,20），（20,2,4），（4,20,2），（20,4,2），（2,5,10），（5,2,10）（10,2,5），（5,10,2），（10,5,2），（2,10,5）例：若实数x,y满足4x+3y-2xx2+y2x2=0,则xy的值是？解：显然x0,原方程化为1+3y2x=yx2.令t=3y2x,则1+t=yx2,所以tZ,且yx=23t.得1+t=49t2.从而有1+t49t2t+2,解得：9-3418t-34或3t9+3418.而又tZ,则t=-1或3,即3y2x=-1或3y2x=3即yx=-23或2例：用柯西方程解函数方程解：设f (0)=a. 由所给的函数方程得由此又有 （1）设，就有代入（1），即得 这方程正是柯西函数方程. 所以有题目：f(x)+2f(1X)=4x,求f(x)解：令x= 1X f(1X)+2f(x)=4*1X=4X f(x)+2f(1X)=4x 2-=3f(x)= 8X -4xf(x)= 8-4X23X例：求不定方程x3+y3=1072的正整数解。解：因为x3+y3=2536，而536不是立方数。因此xy，不妨设yx，则83=512x310721331=113，即9x10.当x=9时，y3=1072-93=341=73；当x=10时，y3=1072-103=72，无整数解。所以原方程有两组正整数解x=9y=7；x=7y=9。求方程组x+y+z=0x3+y3+z3=-18的整数解.解：设x,y,z是方程t3+pt-q=0的三个根，其中p,q待定.分别将x,y,z代入方程得x3+px-q=0,y3+py-q=0,z3+pz-q=0.三个方程相加得x3+y3+z3+px+y+z-3q=0.将原方程代入得，-18-3q=0,故q=-6.由韦达定理得 xyz=-6=-123.因x+y+z=0,所以这三个数中必为两正一负，且负数的绝对值较大，应为-3，其余两数为1和2.因为x,y,z是对称的，所以方程组的整数解为：x=1,y=2,z=-3; x=1,y=-3,z=2; x=2,y=1,z=-3; x=2,y=-3,z=1; x=-3,y=1,z=2; x=-3,y=2,z=1.例：求出所有满足方程的整数解.解：因为，所以0（mod7）设Z，原方程可化为：所以所以41-2b、b均为完全平方数.所以经检验可得b=0或者b=16.所以原方程的解（）为：（0,0）、（588,784）例1：求满足方程x2+y2=x3的正整数对(x,y)的个数解：由x2+y2=x3有y2= x2(x-1)因此只有x-1为平方数，则方程有正整数解 x=k2+1令x-1=k2且 k为自然数 则 为方程的一组通解 y=k(k2+1)由于自然数有无限多个，故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个【例】若x、y是自然数，解方程x-2xy+y+5x+5y=1500.【解】因为(x-y)+5(x+y)=1500，所以(x-y)0(mod 5) 设x-y=5a(不妨设xy)，则有(x-y)+5(x+y)=25a+5(x+y)=1500 即x+y+5a=300，所以x+y0(mod 5) 设x+y=5b，则有5a+5b=300，即a+b=60 因为a，bN，所以有序实数对(a,b)可以为： (0,60)，(1,59)，(2,56)，(3,51)，(4,44)，(5,35)，(6,24)，(7,11) 所以有序实数对(x,y)=( 5a+b2, 5b-a2) (150,150)，(150,145)，(145,135)，(135,120)，(120,100)，(100,75)，(75,45)，(45,10) 从而原方程的解(x,y)共有15对，分别为：(150,150)，(150,145)，(145,135)，(135,120)，(120,100)，(100,75)，(75,45)，(45,10)，(145,150)，(120,135)，(100,120)，(75,100)，(45,75)，(10,45)例：x1、x2、x3是方程x3-x+1=0的根，问：x15+x25+x35=( -5 )解：由三次方程韦达定理得 x1+x2+x3=0 x1x2+x1x3+x2x3=-1 x1x2x3=-1 因为x1、x2、x3是方程x3-x+1=0的根 所以有x3=x-1 所以x5=x2x3=x2x-1=x3-x2=x-1-x2 x15+x25+x35 =x1-1-x12+x2-1-x22+x3-1-x32 =x1+x2+x3-(x12+x22+x32)-3 =x1+x2+x3-x1+x2+x32-2x1x2+x1x3+x2x3-3 =0-0+2-3 =-5求3x+1=2x -12的所有根的和。解：设2x - 12=n(n为整数)，则x=12n+14， 将上式代入原式，即3（12n+14）+1=n, 整理得：32n+74=n 则 n32n+74n+1, 即-72n-32,则满足条件的n有-3，-2. 从而x=-54,或x=-34, 故原式所有根的和为-2.例：求不定方程3x+2y+8z=40的整数解。解：3x=40-2y-8z=2（20-y-4z），x为偶数， x,y,z为正整数，8z40，z5，当z=4时，3x+2y=8, x3，x=2，y=1；当z=3时，3x+2y=16，x6，x=4，y=2或x=2，y=5；当z=2时，3x+2y=24，x8，x=6，y=3或x=4，y=6或x=2，y=9；当z=1时，3x+2y=32，x0,则由得n0, 设f（t）= ,则f（t）在（0，+）上是增函数，又f（m）=f（-n），所以m= -n，即3x-1+2x-3=0,所以x=.若m0,同理有m+n=0,x= ,但与m4 故(x2+y2)( x+y-8)6(x2+y2) 2(x2+y2)+8xy8+8xy 所以原方程无整数解. 当x+y-8-4时 (x2+y2)( x+y-8)-4(x2+y2) 8xy 0，原式化为 2x(2x+1+1)=(y+1)(y1). 则y+1与y1同为偶数且必有一个被4整除.故x3,且y-1和y+1其中之一被2x-1整除，但不被2x整除，于是有y=m2x-1+,其中m为正的奇数, =1.代入化简得 2x（1+2x+1）= (m2x-1+)2-1=22x-2m2+2xm+2-1=22x-2m2+2xm1+2x+1=2x-2m2+m1m=2x-2(m28). 若=1, m280,m=1.不满足上式. 故必=1,此时 1+m=2x-2(m28)2(m28),解得m3.但m=1不符合,只有m=3,x=4,y=23. 因此共有4组整数解(0,2),(4,23)例：求的整数解.解：可化为，即不妨设，则.从而或得或例1 求不定方程x2-12x+y2+2=0的正整数解.解：分析:通过观察x2-12x+y2+2=0，发现可以从两个方向解题，具体思路如下：（1） 因为x2-12x+y2+2=0是二元二次方程，且不含有xy这样的交叉项，所以x2-12x+y2+2=0可化成x+a2+y2=b（其中a， b是常数），从而有0y2b，0x-62b，故可能的解只有有限多组，然后用枚举法逐一验证即可解决问题.（2） 将x2-12x+y2+2=0看成关于x的一元二次方程，其中y2+2是常数项，那么就是含y的一个式子.又因为求的是整数解，所以可以利用是平方数求出y的值，进而求出x.解法一：方程变形为 x-62+y2=34 ，从而有 0y234，0x-620又 =7/4 (x+y)2=0 （使用基本不等式）由此可得x+y=0将3(x+y)=7/4 (x+y)2两边同时除以x+y得3=7/4(x+y)8/7=x+y=0则x+y=1代入3(x+y)=7(x2-xy+y2)可得-4 + 21 y - 21 y2=0，显然正整数解综上整数解为x=t,y=-t，t为整数例：证明：方程x4+y4=z2无正整数解。证明：假设x4+y4=z2存在正整数解，其中最小的解记为。因为(x2)2+(y2)2=z2，根据勾股方程的通解公式有x2=a2-b2，y2=2ab，z0=a2+b2，其中一奇一偶，（a，b）=1。从x2=a2-b2可以得到为奇数，为偶数，令b=2s，y2=2ab=4as，其中（a，s）=1，所以a=t2，s=q2，t，q=1。由x2=a2-b2得x2=t4-4q4，即x2+4q4=t4，又可以通过勾股方程的通解公式x=l2-m2，2q2=2lm，t2=l2+m2，l，m=1，注意到q2=lm，所以l=l02，m=m02，t2=l02+m02，而z0=t4+b2t，与的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。题目：求方程+2=0的所有整数解。思路分析：先看看如果（x,y,z）是解会