既不离散也不连续的随机变量

目录中文摘要1英文摘要1一、引言2二、随机变量及其分布2（一）随机变量及其分布21随机变量的概念22分布函数的定义33分布函数的性质3（二）离散型随机变量31离散型随机变量及其分布的定义32分布列的基本性质43用分布函数判别离散型随机变量的一种方法6（三）非离散型随机变量61连续型随机变量及密度函数的定义72密度函数的性质73连续型随机变量分布函数的特征84。非离散非连续的随机变量8三、既不离散也不连续的随机变量及其判别9（一）随机变量的判别9（二）既不离散也不连续的随机变量的判别9（三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例10四、结束语12参考文献13 既不离散也不连续的随机变量彭惠敏摘要：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性质、数字特征及其必要条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对随机变量的分类有更为深刻的理解。关键词：离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量；分布函数Neither Discrete Nor Continuous Random VariablePeng Hui-minAbstract: Through the study of the classification of random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, that is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth understanding of the classification of the random variables to the beginners.Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function一、引言除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，还有既不离散也不连续的随机变量，有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以讨论”，所以很多教科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连续型两类随机变量，造成很大的误解。应该说，随机变量分为离散型和非离散型随机变量，在非离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量，除此之外还有既不离散也不连续的随机变量。在我们所研究的随机变量中，主要有两类，这就是离散型随机变量和连续型随机变量。二、随机变量及其分布（一）随机变量及其分布1随机变量的概念设是随机试验，它的样本空间是如果对于每一个都有一个实数和它相对应，这样就得到一个上的实值函数，称为随机变量。随机变量按其取值情况可分为两类:离散型随机变量和非离散型随机量。如果随机变量的所有可能取值为有限个或可列个，则称为离散型随机变量。非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，其中的一种对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。 是一个随机变量，如果存在上的非负可积函数，使的分布函数，则称为连续型随机变量， 是的概率密度函数。既不离散也不连续的随机变量，一般教科书都不详细介绍。这种随机变量不常用，概率分布不易表达，用分布列只能表示其离散的部分，用密度函数只能表示其连续的部分，只有通过其分布函数才能将分布表达清楚，而分布函数是初学者的难点。2分布函数的定义设为随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数。3分布函数的性质任意分布函数都有如下三条基本性质：（1） 单调性 是定义在整个实轴上的单调非递减函数，即对任意的，有.（2） 有界性 对任意的，有，且,.（3） 右连续性 是的右连续函数，即对任意的，有即这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。（二）离散型随机变量1离散型随机变量及其分布的定义假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。设是一个离散随机变量，如果的所有可能取值是则称取的概率为的概率分布列或简称分布列，记为.分布列也可用如下列表方式来表示： 或记成2分布列的基本性质（1）非负性 （2）正则性 .以上两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布列的充要条件。由离散型随机变量的分布列很容易写出的分布函数它的图形是有限级（或无穷极）的阶梯函数。是一个跳跃函数，它在处有跳跃度.可见可以唯一决定和例1、设随机变量的分布列为试求的概率分布列及， ，并写出的分布函数。解：，.的图形如图所示，它是一条阶梯型的曲线，在可能取值-1，2，3处有右连续的跳跃点，其跳跃度分别为在其可能取值点的概率：0.25，0.5，0.25. y -1 0 1 2 3 特别，常量可看作仅取一个值的随机变量，即.这个分布常称为单点分布或退化分布，它的分布函数是 1 0 c 单点分布函数图以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分布函数总是阶梯函数。结论1 若随机变量为离散型，那么其分布函数为阶梯函数。证明 为离散型随机变量 的分布列为， （不妨这里设） 下证（1）当时，； （2）当， 时，（常数），且. 事实上，（1）当时，;（2）当，时， . 这是取（有限）个值对应概率相加 其和一定存在，记为，即 当 时， 显然，. 综上可知，的分布函数为阶梯函数。3用分布函数判别离散型随机变量的一种方法 我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。 结论2 设随机变量的分布函数为.若是阶梯型函数，则为离散型随机变量。 证明 是的分布函数 一定是右连续 是阶梯函数 是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大的顺序排列起来的顺序为 则其中，为常数，下证， 为的分布列。（1）是单调不减的函数 （2）综合（1）、（2）可知： ， 是的分布列。（三）非离散型随机变量由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。1连续型随机变量及密度函数的定义假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间，则称其为连续随机变量。定义 设随机变量的分布函数为，如果存在实轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为的概率密度函数，简称密度函数，或称密度。2密度函数的性质（1）非负性 （2）正则性 （含有的可积性）。以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或判别某个函数是否成为密度函数的充要条件。例：向区间上任意投点，用表示点的坐标。设这个点落在中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关。求得分布函数和密度函数。解：记的分布函数为，则当时，因为是不可能事件，所以；当时，因为是必然事件，所以；当时，有，其中为比例系数。因为，所以得.于是的分布函数为下面求的密度函数.当或时，;当时，而在和处，可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率的计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是的密度函数为这个分布就是区间上的均匀分布，记为，其密度函数和分布函数的图形如下。 y y 0 0 的图形 的图形上的均匀分布3连续型随机变量分布函数的特征 结论3 设为连续型随机变量，是其分布函数，则是连续函数。 证明 是连续型随机变量的分布函数 由定义，存在非负可积函数，对有 又由变动积分上限函数的性质可知，连续 故是上的连续函数。4.非离散非连续的随机变量除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。 y10.5 0 1 既非离散又非连续的分布函数示例从图上看出，它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既是非离散的又是非连续的分布。这类分布函数常可分解为两个分布函数的凸组合，如上例中的分布函数可分解为其中 而是（离散）单点分布函数， 是（连续）均匀分布的分布函数。三、既不离散也不连续的随机变量及其判别（一）随机变量的判别由结论1的逆否命题可得，结论4 若随机变量的分布函数不是阶梯函数，则一定是非离散型随机变量。由结论3的逆否命题可得， 结论5 若随机变量的分布函数不是连续函数，则一定是非连续型随机变量。 （二）既不离散也不连续的随机变量的判别既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分布函数的特点。（1）分布函数是右连续，但却不是在每一个分段区间内是常函数，这一点区别于离散型随机变量的分布函数。（2）分布函数不是连续函数，在某些点处有跳跃性，这一点区别于连续型随机变量的分布函数。综上，我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。结论6 若随机变量的分布函数既不是阶梯函数又不是连续函数，则一定是既不离散也不连续的随机变量。例4 已知函数 证明：是既不离散也不连续的某个随机变量的分布函数。 证: 先证是的分布函数。(1)单调性：设，若，则 ;若，则;若，则，故;若，则，故;若，则;综上，. (2)有界性： (3)右连续性：只需考虑间断点处的连续性。 ，故右连续。 可作为某随机变量的分布函数。再证是非离散非连续随机变量的分布函数。易见是以为间断点的非连续函数，同时也非阶梯函数。故由结论6， 是既不离散也不连续的随机变量。 例5设随机变量的分布函数为问随机变量是离散型，还是连续型？证：利用分布函数的性质来判断此函数在处不连续，不是连续型随机变量。此分布函数在区间上不是常函数，不是离散型随机变量，故为既非离散又非连续的随机变量。（三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例在研究生入学考试中，对单纯的连续性和离散型随机变量的考查越来越少，反而对这种既不离散也不连续的随机变量考察加重，更注重考生们对知识点综合应用的能力，下面给出几个近几年考研中出现的此种类型的例子。1.（1997，11）：假设随机变量的绝对值不大于1，在事件 出现的条件下， 在内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求（1）的分布函数;(2) 取负值的概率.由于在和这两点可以作为离散型的情况来处理。在其它情况下可作为连续型的情况来处理，且在内服从均匀分布， 在此区间内取值的概率为.因此，X的分布函数为易见，既非阶梯函数又不是连续函数，所以由结论6可知，是既不离散也不连续的随机变量。2.（2002）假设以设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间（）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.解：设的分布参数为，由于，可知.易见.当时，；当时，;当时，.的分布函数3.（99，4，3分）假设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数（ ）（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点【分析】首先求出的分布函数为（参见上题）由于的分布函数恰好在处有一个间断点，因此应选（D）.4.设随机变量的绝对值不大于1，且，已知当时， 在其他取值范围内服从均匀分布，求分布函数.证：写出已知条件的数量关系。依题意， =，又除0点外， 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含0点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数，故有当时；当时，；当时；当时，=综上得5.设随机变量的分布函数则（ ）（A） 0. （B） (C) (D)【分析】 故应选（C）.的分布函数在处有分别有一个间断点，并且不是常函数，所以是既不离散也不连续的随机变量。考研中常遇到已知一个随机变量的分布，又知另一个随机变量与的函数关系，求随机变量的分布。这属于求随机变量函数的分布问题。如果是既不离散也不连续的随机变量混合型随机变量，则一般是求其分布函数。既不离散也不连续的随机变量是一类特殊的随机变量，一般形式比较复杂，但只要对其正确理解，求出其分布也就不难了。四、结束语本文总结了分布函数和离散型及连续型随机变量的相关知识，给出离散型和连续型随机变量的判别方法并证明，在此基础上