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文档简介

双曲抛物面,也称马鞍面,2.双曲抛物面,定义2,在直角坐标系下，由方程,（2）,所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（2）叫做双曲抛物面的标准方程，其中为任意的正常数.,显然曲面（2）关于面，面与轴对称，但是它没有对称中心.,对称性,用坐标平面曲截割曲面，就得,（5）,与坐标面的截线,是什么曲线？,这是一对相交于原点的直线，,方程可以进一步写为：,与,（5）,其次用坐标平面与来截割曲面,（6）,与,（7）,分别得方程,两抛物线.,这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线.,主抛物线的特点.,有相同的顶点与对称轴.,（6）,（7）,它们所在的平面互相垂直，,但两抛物线的开口方向不同，抛物线（6）沿z轴方向开口，而抛物线（7）的开口方向却与z轴方向相反.,x,y,z,o,x,y,z,o,双曲抛物面主截线,z=0,x=0,y=0,（8）,与坐标面平行的平面的截口,如果用平行于xoy面的平面,来截割曲面,截线方程为:,总是双曲线.,当时，,与x轴平行，,双曲线（8）的实轴,虚轴与y轴平行，,当时，,（8）,h0时顶点,双曲线（8）的实轴,（6）,虚轴与x轴平行，,与y轴平行，,顶点,在主抛物线（7）上,（7）,在主抛物线（6）上,因此，曲面被xoy平面分割成上下两部分，,下半部沿y轴的两个方向下降，,上半部沿x轴的两个方向上升，,所以双曲抛物面也叫做马鞍曲面.,曲面的大体形状象一只,马鞍子，,双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的结构，,我们再来观察用平行于xoz面的一组平行平面,来截割曲面,所得的截线方程,（9）,这时截线仍然为抛物线,与主抛物线(6)比较,（6）,1.与抛物线（6）是全等的，,2.平行于这个主抛物线所在的平面xoz,（9）,3.顶点,在另一主抛物线（7）上,（7）,即:抛物线(9)的顶点在(7)上,开口、大小与（6）相同且平行.它这样移动就生成整个马鞍面(双曲抛物面,看下面的演示,y,x,o,z,用z=a截曲面,用y=0截曲面,用x=b截曲面,平行截割法,（马鞍面）,双曲抛物面,平行截割法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,用z=a截曲面,用y=0截曲面,用x=b截曲面,平行截割法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,用z=a截曲面,用y=0截曲面,用x=b截曲面,椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。,解,两曲面的交线为,（1）,（2）,（2）代入（1）得
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