材力第6章习题解

29 习题 6-1 图 (kN) N F 150 100 x (a) 习题 6-2 图 O o A P F d l x (a) 第第 6 章章 弹性杆件位移分析弹性杆件位移分析 61 直径 d = 36mm 的钢杆 ABC 与铜杆 CD 在 C 处连接，杆受力如图所示。若不考虑杆的自重，试： 1求 C、D 二截面的铅垂位移； 2令 FP1 = 0，设 AC 段长度为 l1，杆全长为 l，杆的总伸长 EA lF l 2P ，写出 E 的表达式。 解：解： （1） 4 )( 4 )( 2 s N 2 s N d E lF d E lF uu BCBCABAB AC 947. 2 36 4 10200 300010100200010150 0 23 33 mm 286. 5 3610105 4250010100 947. 2 4 )( 23 3 2 c N d E lF uu CDCD CD mm （2） AE llF AE lF lll EA lF CDAC c 12P s 12P2P )( ，令 l l1 cs 11 EEE sc sc )1 (EE EE E 62 承受自重和集中载荷作用的柱如图所示， 其横截面积沿高度方向按 P 0 e)( 0 F xA AxA 变化， 其中为 材料的比重。试作下列量的变化曲线： 1轴力)( N xF x ； 2应力)(x x ； 3位移)(xu。 解：解： （1） 0 x F 0d)()d( NNN FAFF ded)(d P 0 0N F A AAF ded P 0 N P 0 0 )( - N F A xxF F AF P 0 P 0 e)e()( PPPPN F xA F xA FFFFxF （2） 0 P 0 PN P 0 P 0 e e )( )( )( A F A F xA xF x F xA F xA 30 (b) max f （3） 0 P 0 PN P 0 P 0 e e )( d)( d EA dxF dx EA F xEA xxF u F xA F xA C EA xF u 0 P ，当0| lx u。 0 P EA lF C ，则)()( 0 P xl EA F xu 6-3 长为 1.2m、横截面面积为 3 1010. 1 m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为 15.0mm 的钢杆 BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为 Es = 200GPa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上 C 处位移。 解：解：1.铝筒： aa P AE lF uu AB BA （其中 uA = 0） 935. 0 101010. 11070 102 . 11060 633 33 B umm 2钢杆：50. 4 15 4 10200 101 . 21060 935. 0 23 33 ss P AE lF uu BC BC mm 6-4 变截面圆锥杆下端 B 处固定，上端 A 处承受外力偶矩 T 作用，如图所 示，试证明 A 端扭转角表达式为 4 12 7 Gr Tl A 解：解：Mx = T 4 0 3 4 0 4 0 412 7 )1 ( 1 3 2 )1( d2 )(2 32 d rG Tl l x r Tl r l x G xT xrG xM l ll x BA 6-5 对于图 a、b、c、d 所示的坐标系，小挠度微分方程可写成EIMxw/d/d 22 形式有以下四种。 试判断哪一种是正确的。 （A）图 b 和 c； （B）图 b 和 a； （C）图 b 和 d； （D）图 c 和 d。 正确答案是 D 。 6-6 简支梁承受间断性分布载荷，如图所示。试用奇导函数写出其小挠度微分方程，并确定其中点挠 度。 习题 6-3 图 60kN P F B m2.1 a E P F x A (a) 习题 6-4 图 习题 6-5 图 s A s E C x kN60 P F m1.2 kN60 P F OB A (b) x 31 A E D C q x llll w q q B (a) 2 2 d d x M x EI l P F EI l P F (a) A B C 0 w P F B x P F C P 2F B )(1 B w )( 1 D D P F (b) 解：解：采用左手系：0 A M，ql l lql l ql F E 4 3 4 2 5 2 R （） 定初参数 E ，0| 4 lxA ww 0)34( ! 4 )24( ! 4 )4( ! 4 )4( ! 3 4 3 )4( 4443 ll q ll q ll q l ql lEI E 16 21 3 ql EI E 3 24 2 2424 0 816 21 1 )( 4443 3 lx q lx q lx q x ql x ql EI xw EI ql ww lxC 3 5 | 4 2 （） 6-7 具有中间铰的梁受力如图所示。 试画出挠度曲线的大致形状， 并用奇异函数表示其挠度曲线方程。 解：解： （1）作弯矩图（a） ，确定 2 2 d d x w图，画出挠曲线形状，由边界，中间铰和连续，以及 AB 上凹，BD 下凹 可画出图示挠曲线图（b） 。 （2）求支座反力：FRA = -FP（） ，MA = FPl（顺） ，FRC = 2FP（） AB 段： EI lF l lF l lF EI w B 3! 3! 2 1 )( P 3 3 P 2 P 0 （） 由连续条件： EI lF ww BB 3 )()( 3 P 01 （） 由0)(| 11 Clx ww，定初参数 B EI)( 1 。 0) ! 3 )( 3 ( 1 3P 1 3 P l F lEIEI EI lF EI B 6 )( 2 P 1 lF EI B MA 习题 6-6 图 习题 6-7 图 2 x w d d2 FRC FRA 32 EI EI2 RA F l P FFRA P F EI2 P 2F x A M lFM PA 2 l l P F w (a) AB 段挠曲线方程（原点在点 A） ： 3P2P 0 62 1 )(x F x lF EI xw（lx 0） BD 段挠曲线方程（原点在点 B） ： 33P 2 P 3 P 1 3663 1 )(lx F x F x lFlF EI xw P (0 6-8 变截面悬臂梁受力如图所示。试用奇异函数写出其挠度方程，并说明积分常数如何确定（不作具 体运算） 。 解：解：将阶梯梁化为等直截面梁（图 a） 支反力 FRA = FP（） ，MA = 2FPl（逆） 挠度方程，积分常数由固定端的挠度和转角均为零确定。 3P2P3P2 P 3P2P3P2P 6262 1 ! 3! 2! 3! 2 2 00 2 1 )( lx F lx lF x F lxF EI lx lF lx lF x F x lF EI xw (0 6-9 试用叠加法求下列各梁中截面 A 的挠度和截面 B 的转角。图中 q、l、EI 等为已知。 习题 6-9 图 解：解： （1） EI ql EI l ql EI lq ABBBB 12 ) 2 () 2 1 ( 6 )( )()()()( 3 2 3 2121 （逆） 习题 6-8 图 (a) (b) 2 2 1 ql A 2 )( B B A 2) ( 2 l 2 l B 2 l q 1 )( A w 8 2 ql 2 l 2 2 1 ql 2 )( A w 2 ql (a-1) (a-2) (a-3) q A B lll ql ql lll A B l BwA 33 )()( 3 )( B 2 2 ql lw BA 11 )()( 1 )( B q 2 )( A w (b-1) (b-1) (b-3) 2 )( A A 2 l 2 l B 2 )(B 2 2 1 ql (a-1) 2 l 2 2 1 ql 2 )( A w A (a-1) 33 l o q 习题 6-11 解图 l o q Rl F Rr F 习题 6-10 解图 FRr FRl q0 （2） EI ql EI l ql EI lql EI lql EI l q www AAA 384 7 2 ) 2 ( 2 1 3 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 8 8 ) 2 ( )()( 4 2232 2 4 21 （） （3） EI ql EI lql EI l ql BBB 1216 )2()( 3 )2( 2 )()( 32 31 （顺） （4） EI ql l EI lql EI ql l EI l ql wwww AAAA 24 5 16 )2)( 83 )2( 2 )()()( 424 2 321 （） 6-10 已知长度为 l 的等截面直梁的挠度方程 )7103( 360 )( 42240 lxlx EIl xq xw 试求：1梁的中间截面上的弯矩； 2最大弯矩（绝对值） ； 3分布载荷的变化规律； 4梁的支承状况。 解：解：)7103( 360 )( 42240 lxlx EIl xq xw （1） 66 d d )( 0 3 0 2 2 lxq l xq x w EIxM 166 ) 2 ( 6 ) 2 ( ) 2 ( 2 0 0 3 0 lq l lq l l q l M （2） 62d d )( 0 2 0 Q lq l xq x M xF 令 FQ = 0，0 62 0 2 0 lq l xq ，lx 3 3 27 3 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 ( 2 0030 max lq l lq l l q lMM （3）x l q x F xq 0 Q d d )(（） （4）0| 0x M，0 66 | 0 3 0 llq l lq M lx 两支座无集中力偶 66 0| 00 0QRl lqlq FF x （） 362 | 00 2 0 QRr lqlq l lq FF lx （） 最后得载荷，支座如图（a） 。 6-11 已知长度为 l 的等截面直梁的挠度方程为 )32( 48 )( 3230 llxx EI xq xw 试求：1梁内绝对值最大的弯矩和剪力值； 2端点 x = 0 和 x = l 处的支承状况。 解：解： （1）) 8 3 2 () 8 3 2 1 ( d d )( 2 0 20 2 2 xl x qxlx EI q EI x w EIxM ) 8 3 ( d d )( 0Q lxq x M xF 令 0)( Q xF 得lx 8 3 128 9 ) 8 3 ( 8 3 ) 8 3 ( 2 1 ) 8 3 ( 2 02 0max lq l l lqlMM 34 (a) (b) 习题 6-12 图 (c) (d) 习题 6-13 图 y x )(xyy x P F )(xy )(xw (a) A B a l 3 w l w q (a) 2 l 2 l A C D ll FPFP (a) qlllqFF lx 8 5 ) 8 3 (|)( 0QmaxQ （2）0| 0x M，lqF x00Q 8 3 | 左端可动铰支座。 8 | 2 0l q M lx ，qlF lx 8 5 | Q 右端固定。 6-12 已知刚度为 EI 的简支梁的挠度方程为 )2( 24 )( 3230 xlxl EI xq xw 据此推知的弯矩图有四种答案。试分析哪一种是正确的。 正确答案是 A 。 6-13 具有微小初曲率的悬臂梁，如图所示，梁的 EI 为已知。若欲使载荷 FP沿梁移动时，加力点始 终保持相同的高度，试求梁预先应弯成怎样的曲线。 （提示：可近似应用直梁的公式计算微弯梁的挠度。 ） 解：解：当 FP在 x 位置的挠度 EI xF xw 3 )( 3 P 预先弯成曲线)(xyy ，使 EI xF xwxy 3 )()( 3 P ，则力 FP始终能保持相同高度。 6-14 重为 W=FP的直梁放置在水平刚性平面上，受力后未提起部分仍与平面密合，梁的 EI 为已知。 试求提起部分的长度 a。 （提示：应用截面 A 处的变形条件。 ） 解：解：B 处弯矩为零（曲率为零） 0 2 1 3 2 qaa W MB 0 2 1 3 2 a l W a W 0a，得la 3 2 6-15 图示等截面直杆两端固定，承受轴向载荷。试分析下列轴力图中哪一个是正确的。 正确答案是 D 。 解解：由于对称： uC = 0 0 ACAC luu uA=0 0 AC l 0 )( 2P EA lXF EA l X 35 习题 6-15 图 习题 6-16 图 习题 6-17 图 A N1 F E B 150 100 1 l 2 l C h N2 F A C XP F N F x X P F X N F x P 3 1 F P 3 1 F P 3 2 F FNC= P 3 2 FX （拉） 作轴力图（利用对称） 。 6-16 等截面直杆两端固定，无外力及初始应力作用。当温度升高时，关于杆内任意横截面上任意点 的正应力和正应变有如下论述，试判断哪一种是正确的。 （A）0，0； （B）0，0； （C）0，0； （D）0，0。 正确答案是 B 。 解解：各点的轴向位移 0 T uuu ，0 d d x u 6-17 钢杆 BE 和 CD 具有相同的直径 d = 16mm，二者均可在刚性杆 ABC 中自由滑动，且在端部都有 螺距 h = 2.5mm 的单道螺纹，故可用螺母将两杆与刚性杆 ABC 连成一体。当螺母拧至使杆 ABC 处于铅垂 位置时，杆 BE 和 CD 中均未产生应力。已知弹性模量 E = 200GPa。试求当螺母 C 再拧紧一圈时，杆 CD 横截面上的正应力以及刚体 ABC 上点 C 的位移。 解：解：平衡方程0 A M，150FN1 = 250FN2 （1） 协调方程 150250 12 llh 即 1525 5 . 2 12 ll （2） 物理方程 1N 23 3 1N 1 0746. 0 16 4 10200 103000 F F l （3） 2N 23 3 2N 2 0 4 9 7. 0 1 6 4 1 02 0 0 2 0 0 01 0 F F l （4） （3） 、 （4）代入（2）100988. 1973. 4 2N1N FF （5） 联立（5） 、 （1）得 FN2 = 9.73kN（拉） 、FN1 = 16.22kN（拉） CD 杆正应力40.48 16 4 1073. 9 2 3 MPa（拉） 0 16. 273. 90497. 05 . 2 2 lhuCmm 6-18 铜芯与铝壳组成的结构如图所示，轴向载荷通过两端刚性板加在结构上。已知结构总长减少了 0.24mm。试求： 1所加轴向载荷的大小； 2铜芯横截面上的正应力。 解：解：设铜芯与铝壳之间无内压 36 习题 6-18 图 p F (a) 习题 6-19 图 习题 6-20 图 轴向应变 4 108 300 24. 0 1 .17210)2560( 4 10701081025 4 10105108 322343234 P FkN 铜芯应力8410105108 34 C MPa 6-19 由铝板和钢芯组成的组合柱上端承载、下端固定，如图所示。载荷 FP = 38kN 通过刚性板沿着柱的 中心线方向施加于其上。试确定钢芯与铝板横截面上的正应力。 解：解：设钢芯正应力为 s ，铝板正应力 a 3 Pas 103850)2020(5030F （1） 2 0 0 107010200 200 3 a 3 s （2） 解（1） 、 （2）得 s = 17.27MPa、 a = 6.05MPa 6-20 组合柱由钢和铸铁制成， 其横截面面积宽为 2b、 高为 2b 的正方形， 钢和铸铁各占一半 （bb 2） 。 载荷 FP通过刚性板加到组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为 Es = 196GPa，Ei = 98.0GPa。今欲使刚 性板保持水平位置，试求加力点的位置 x =？ 解：解：0 0 M，) 2 3 ()2() 2 ()2( is xbbb b xbb s i 23 2 xb bx （1） i i s s EE 2 1 1 9 6 98 s i （2） （2）代入（1）得xbbx2324 bx 6 5 6-21 图示结构中，杆 AC 为铝材 Aa = 200mm2，Ea = 70GPa， 6 1026 /，杆 DB 为不锈钢，As = 80mm2，Es = 190GPa， 6 1018 /。两杆间在室温 20下的间隙为 0.5mm，然后升温达 140。试求 铝杆横截面上的正应力以及铝杆的最终长度。 解：解：平衡方程 FNa = FNs 协调方程5 . 0 as uu 物理方程 Ns 56 3 Ns s 1065. 154. 02501201018 8010190 250 F F u Na 56 3 Na a 1014. 2936. 03001201026 2001070 300 F F u 代入 5 . 01014. 2936. 01065. 154. 0 Na 5 Ns 5 FF FNa = 25752 N 8 .128 10200 25752 6 a MPa 37 习题 6-21 图 300250 aN F 5 .0 s u a u Ns F (a) 习题 6-22 图 习题 6-23 图 A m A BC m4kNT D D m 250500 60 50 (a) 385.300)257521014. 2936. 0(300 5 a lmm 6-22 圆轴受扭如图所示，其扭矩图有四种答案。试判断哪一种是正确的。 正确答案是 A 。 解解：过轴中点处，垂直轴线平面为轴的对称面，则受扭轴在该面反对称的扭矩必为零，可分别画出左、 右端的扭矩图。 6-23 轴 AB 和 CD 在 B 处用法兰连接，在 A、D 二处为固定约束，受力及尺寸如图所示，材料的 G = 80GPa。试求轴 AB 和 CD 中的最大切应力和最大拉应力。 解：解：0TMM DA 6 104 DA MMNmm （1） 0 50 32 500 60 32 250 44 G M G M DA （2） （2）代入（1）12800109716. 3 3 A M MA = 3222878.5Nmm （3） AB：99.75 60 16 5 .3222878 3 maxmax MPa （3）代入（1）5 .7771215 .3222878104 6 D M Nmm CD：66.31 50 16 5 .777121 3 maxmax MPa 6-24 试求图示梁的约束力，并画出剪力图和弯矩图。 解：解： （a）变形协调方程 0)()( 21 AAA 0 463 0 l EI M EI lFX 8 0 M FX 支反力 l M l M M FF BA 0 0 0 RR 8 9 8 剪力图、弯矩图见图 a-1。 （b）0 B ：0) 2 ( ! 3! 2 1 32R lq l F lM EI A A 2 R 2448qllFM AA （1） wB = 0：0) 2 ( ! 4! 3! 2 1 43R2 lq l F l M EI AA 2 R 64192qllFM AA （2） 38 习题 6-24 图(b) 习题 6-24 图(a) 2 O M 2 l 2 )( A (a-2) A8 O M AR F B O M BR F (a-3) B O M 2 l 2 l l MO 8 9 A 8 O M (a-4) Q F x l MO 8 9 (a-5) O 16 7 M 8 O M 0 16 9 M M x (a-6) 习题 6-25 图 A M A 1 )( A (a-1) B 联立（1） 、 （2）解得 qlF qlM A A 32 3 192 5 R 2 其剪力图、弯矩图见图（b-1） 。 6-25 梁 AB 和 BC 在 B 处用铰链连接，A、C 两端固定，两 梁的弯曲刚度均为 EI， 受力及各部分尺寸均示于图中。 FP = 40kN， q = 20kN/m。试画出梁的剪力图和弯矩图。 解：解：变形协调 21 )()( BB ww EI F EI q w X B 3 4 8 4 )( 34 1 EI F EI F w X B 3 4 )243( 6 )2( )( 32 P 2 代入 8 4 10 6 4 4 3 2 4 P3 qF FX 75. 8) 48 420 46 1040 ( 2 3 3 4 2 X FkN 25.7175. 8420 R A FkN（） 1254 2 1 20475. 8 2 A MkNm（逆） 75.4875. 840 R C FkN（） 1 1 5475. 8240 C MkNm（顺） l 192 5 2 ql M 2 192 11 ql 48 2 ql 2 252.0ql (b-3) 48 2 ql A B AR F q A M m4 1 )( B w p F C M 2 )( B w