材料力学作业及答案

轴向拉伸和压缩作业（1） 一、 以下哪种假设不属于材料力学的基本假设（ ） 【A】 均匀连续性假设 【B】 各向同性假设 【C】 小变形假设 【D】 线弹性假设 解：正确答案为【D】 。一门学科设置的目的主要是将实际问题当中的一些次要和微弱的影响 因素对研究结果的影响排除掉，例如钢材中的杂质的不均匀分布和空洞的存在等等，那么在 均匀连续的假设下，材料力学就认为钢材就是均匀的和连续的。 基本假设的另一个目的就是要把相关学科的研究限定在一定的范围之内，例如小变形的 假设就是将研究对象限定在受力后变形很小的材料上，例如钢材等等，这样，像橡皮筋之类 变形比较大的物体就不是材料力学的研究对象了。 线弹性是弹性体当受力的大小控制在一定范围内时表现出来的一种主要的力学性能，对 于材料力学主要研究的低碳钢等材料，一般都有明显的线弹性的阶段。材料力学主要研究材 料在这一阶段内工作时构件的力学行为，因此不需要对线弹性这一事实进行假设。但是一定 要懂得材料力学研究结果的适用范围是线弹性阶段，当受力较大的时候，材料就会进入非线 弹性的阶段，材料力学的研究结果就不再适用。 二、 杆件受力如图所示，计算BC段的轴力时分离体的最佳取法是（ ） 【A】 【B】 【C】 【D】 解：正确答案为【D】 ； 【A】 分离体上不能带有支座，因为支座处的支反力要影响分离体的平衡（如下图所示） ， 因此必须将支座去除，用相应的支反力取而代之； 【B】 用截面法计算轴力时，不要在集中力作用点上取截面，因为此处的受力比较复杂， 在材料力学中采用“突变”的形式来处理。在这种处理方式下，这个截面上的轴力 是不确定的， 在材料力学中绘制出来的集中力作用截面附近的轴力图， 如下图所示， 此时只需要求出集中力作用截面左右两条线代表的轴力值即可，因此，应该在集中 力作用截面的左右两侧取计算截面。 ，而不要把计算截面取在集中力的作用截面上。 【C】 就受力分析的目的而言，这样取分离体不算错，但是材料力学与理论力学不同，前 者要考虑构件内力的符号，而本选项所假设的未知轴力是负的，这样求出轴力的正 负正好与拉为正压为负的规则相反，容易出错，因此不如将未知轴力假设为正的， 这样求出正的就 正的轴力，求出山负的就是负的轴力。 三、 杆件受力如图所示，试回答如下几个问题。 1、 确定整根杆件的轴力，需要分作几段来计算？（ ） 【A】1 段。 【B】2 段。 【C】3 段。 【D】任意段。 2、 计算 CD 段的轴力时，正确的隔离体是（ ） 【A】 【B】 【C】 3、 BC 段的轴力等于（ ） 【A】 F 【B】 -F 【C】 2F 【D】 -2F 解：1.正确答案为【C】 单根杆件上作用有多个载荷时，需要选取截面的位置，其原则是所选取的截面应该能够全面地反应 整段杆件的受力情况。从一个方面讲，集中力左右截面上的轴力要发生突变，因此集中力左右应该分成 不同的段落，即取不同的截面来计算。所以本题中应以 B 和 C 截面为界，AB、BC、CD 段内各取一个截面 进行计算。从另一个方面讲，在没有外力作用的区段，轴力是一个常量（轴力图是一条水平线），因此 在这种区段内只需要取一个截面就可以求出整段所有截面上的轴力了，本题就属于这种情况，只需要分 3 段（取 3 个截面）即可；有均布载荷作用的区段，轴力服从同一个一次函数（轴力图是一条斜直线）， 因此也只需要在这一段内任意取一个截面（这个截面的位置用 x 表示），就可以确定出这个函数了。 2正确答案为【B】。 【A】 这是一个常见的错误， 你可能认为在 CD 段内取计算截面时， 截面与原图中表示外力的箭头相交了， 所取的隔离体上包含了箭头线的一部分，那么隔离体上就应该加上这个外力。其实不然，根据中学的物 理大家就知道，力是有作用点的，集中力只作用在作用点这一点上，箭头线只是用来表示力的存在的， 并不是说整个箭头的范围内都有这个力的作用。用截面法取出隔离体后，某个外力是否应该画到这个隔 离体上， 要看力的作用点是否落在你取的隔离体上。 以本题为例， 右侧的那个 2F 力的作用点在 C 截面， 那么在 CD 段内取计算截面的时候，如果取截面右侧的部分为隔离体，那么这个力的作用点就不在你所 取的隔离体上，因此隔离体上就不应该有 2F 这个外力。 【C】这个选项所表示的隔离体实际上取了两个截面，一个是为了计算 CD 段轴力在 CD 内取的一个计算 截面，这就是隔离体右侧的 m-m 截面，那么左侧那个截面呢？显然取自 BC 段，既然用截面把杆件截断 了，那么这个截面上就会作用有内力，显然在这个截面上少画了一个内力。 另一个方面即便是把左侧这个截面上的轴力画上去，那还要看它是否是已知的，如果这个内力你已 经求出来了，那么通过水平方向上的平衡方程是能够求出右侧截面上的未知轴力的，但是如果左侧截面 上的内力你预先还没有求出来，那么平衡方程中就会有两个未知数，解不出结果来。因此像本题所示的 单根杆件的问题，一般只用一个截面把杆件截断，取其中一部分为隔离体来列平衡方程，而不要取两个 截面。当然你说这个题目把杆件截断之后我取左侧为隔离体，而左侧有支座怎么办？那当然要把支座从 隔离体上去掉，同时用支座反力来代替，这时你得先把支座反力求出来。 3正确答案为【B】。 【A】这个选项的问题在于没有考虑轴力的符号，轴力的正负号必须严格按照“拉为正压为负”的原则 来确定，如果你是目测的那么一定要小心，不要忘了轴力的符号；如果是取隔离体列平衡方程算的，那 么要注意，横截面上未知的（要求的那个）轴力一定按其正向（拉力）来假设，否则很容易把符号弄反。 【C】和【D】有两个共同的错误，就是在目测轴力时按照所取截面左右最靠近的外力来确定轴力，例如 BC 段中间取的计算截面的左右两侧都有一个 2F 的外力作用，因此就认为 BC 段上轴力就是 2Fo 所以，在 不熟练的情况下，一般不要通过简单的目测来确定轴力，还是得取隔离体、用平衡方程来计算。 四、 已知一杆件的轴力图如图所示，试回答以下几个问题。 1. 在 0x2 的区段上， （ ） 【A】 有集中力作用。 【B】 有集中力偶作用。 【C】 有均布载荷作用。 【D】 没有外力作用。 2、在 x=2 的截面上轴力图发生突变，表明该截面上有集中力，则该截面中力代数和的大小为（ ）， 其方向向（ ） 【A】20kN，左 【B】20kN，右 【C】40kN，左 【D】40kN，右 3、 以下表示杆件左端面可能情况的图中，错误的是（ ） 【A】 【B】 【C】 【D】 解： 1正确答案为【D】。 【A】集中力作用的截面上轴力图有突变，而本小题所指区段的轴力图没有发生突变，所以可以肯定没 有 中力作用。 【B】轴向拉（压）变形的定义中就明确规定，杆件只能受集中力或分布力的作用，不能作用有集中力 偶。 【C】分布载荷作用区段的轴力图会是一条水平线吗？ 2正确答案为【D】。 首先集中力作用截面上的轴力图要发生突变，而且突变的幅度等于该截面上作用的集中力的代数和， 由于本题中 x=2m 截面上的轴力由 20kN 变化到了-20kN，突变的幅度为 40kN，由此可以判断出来该截面 上集中力的合力为 40kN，当然也可能就是一个 40kN 的集中力。 至于方向的话，我们可以看下面的图。在集中力作用截面的左侧取一个计算截面时得到如下图（1) 所示的隔离体，而在集中力作用截面的右侧取一个计算截 面时得到的隔离体则如图（2）所示，要使（2）图中求出 的轴力为-40kN，那么作用在 x=2m 截面上的集中力就只能 是向右的。 就一般而言，如果轴力图从左至右画，那么杆件上方 向向左的集中力引起轴力图在集中力作用截面上向上突变，反之亦反。 3正确答案为【A】。 从轴力图可以看出，杆件的左端面上有集中力作用，这个集中力可能是一个外部载荷，也可能是 一个支座，因为从受力和平衡的角度来看，支座的作用就是在相关的方向上提供一个反力。 选项A是一个活动铰支座，它只能提供竖向反力，而不能提供水平方向的集中力，所以这个选 项就是本题要选出的错误情况。 选项B、C和D的效果都是在左端面上作用一个集中力，所以都与本题所提供的轴力图 是一致的。 五、 求图示杆件各段的轴力。 1BC 段轴力为 。 2以 A 截面作 x 轴的坐标原点，则 CD 段的轴力 N F= 。 3下面哪种说法是正确的？ AB 截面上的轴力为 2F； BB 截面上的轴力为-2F； CB 截面上的轴力为 F； DB 截面上的轴力发生突变。 4.BC 段的轴力图为 A0； B水平线； C斜直线； D发生突变。 5CD 段的轴力图为 A0； B水平线； C斜直线； D发生突变。 解：在 AB、BC 和 DE 段的轴力时分别取分离体如下图所示： BC 段上没有外力作用，故 BC 段的轴力为常量 P，轴力图为一水平线； 又 B 截面上有集中力作用，因此 B 截面上的轴力发生突变；BC 段上没有载荷作用，故轴力图应为一条水 平线；CD 段上有均布载荷作用，故轴力图应为一条斜直线。 轴向拉伸和压缩作业（2） 一、 拉（压）杆的横截面上的正应力可以用以下的公式计算的原因是（ ） N F A A平面假设 B均匀连续假设 C各顶同性假设 D小变形假设 解：正确答案为【A】 。 实验表明，位于拉（压）杆表面上的点变形程度是相同的，对于杆件内部的点，材料力学只能进行 假设，假设横截面面上所有的点变形程度都是相同的，变形前位于同一个横截面上的点变形之后仍然位 于同一个横截面上，这就是所谓的拉压杆变形的平面假设。从这个假设出发可以得到一个重要的推论， 这就是横截面上所有点的受力都是相同的，这样就可以某个横截面受到的轴力除以横截面上的点数，来 得到横截面上每个点受的力。但是在几何学上，点是没有大小的，是无法计数的，因此我们改用一个能 够反映点的多少的量，即横截面面积来计算正应力，这就是下面的公式了： N F A 当然，后来理论分析和计算也表明上述平面假设是成立的。 二、等直空心圆截面杆受到轴向拉伸作用，材料的受力在线弹性范围内，则（ ）。 A外径和内径都增大 B外径和内径都减小 C外径增大，内径减小 D外径减小，内径增大 解：正确答案为B 。 当杆件受到拉压作用时，轴向伸长横向就压缩，轴向缩短横向就四周膨胀，这一变形规律适用于落 在与轴线垂直的 横截面内的所有线段，包括圆截面杆的直径、方形截面杆的边长和横截面的周长，以 及横截面上任意亮点之间的距离，这两点之间的连线甚至可以跨过没有材料的空心区域。在本题中，无 论是外径还是内径都属于是横截面上的线段，都符合上述变形规律，因此在轴向被拉长的情况下，内外 径都是减小的。 二、 拉压刚度为 EA 的杆件受力如图所示，则杆件轴向的最大线应变为（ ） 。 解：正确答案为【A】。 B问题出在分子上的 3，在用胡克定律计算变形时分子上要用轴力，而不能用杆件上作用的外力。 C这是一个常见的错误，很多同学会仿照对变形进行分段累加的算法来计算线应变，要注意变形有累 加意义，即一段杆件的总的变形量等于每个分段变形量的代数和；但是线应变指的是在一个很小的范围 内杆件的变形程度，可以简单地将线应变理解成是属于某个截面的。当一段杆件受力均匀时，这段杆件 各个横截面上的线应变都是相等的，你可以笼统地说这段杆件的线应变是多少，但是当两段杆件的轴力 不同时，只能说两段杆件的线应变个各是多少，而不能把两段杆件的线应变加起来。不要说是两段杆件 的线应变，即便是把两个截面不同的线应变加起来都没有任何力学意义。就像汽车在公路上行驶，在第 一段上是一个速度，在第二段上是另一个速度，显然把这两个速度加起来是没有什么意义的。 D当两段杆件的变形程度不同时，不能像本选项那样将两段杆件连在一起，一次性计算线应变，必须 是各算各的。 为了保险起见，建议大家用 E 的公式来计算线应变。从这个公式可以看出，当材料相同的时， 线应变的变化规律与正应力的变化规律相同，正应力发生变化的截面上，线应变也将发生变化。 三、图示立柱由横截面面积分别为 A 和 2A 的 AB 和 BC 段组成，已知材料的容重为，弹性模量为 E，则 B 截面在自重作用下的罗季位移为 B = 。 解：C 截面的铅垂位移是由于立柱受自重作用产生压缩引起的。为此，首先需要计算立柱在自重作用下 的轴力如下图所示。 由于自重是均布载荷，因此立柱中的轴力是线性变化的（斜直线），此时 立柱的压缩变形需要采用积分的方法进行计算，但是计算结果正好就是利用轴 力图的面积，因为 对本题而言， 显然，利用轴力图面积的计算方法比起积分运算来讲更为简洁，不容易出错。对于轴力均匀分布的 情况，上述算法同样成立，只是由于此时可以直接用胡克定律计算，不需要积分，因此用轴力图的面积 来计算没有太大的便宜。 四、一个铣有通槽的阶梯状轴如图所示。已知 3 147 10FN，45dmm，50Dmm，12bmm，则杆 中的最大正应力为 max （不计应力集中的影响）。 解：由于阶梯轴不同区段上的横截面面积不同，因此应分段计算其横截面上的正应力： 对截面直径为 d 的实心段，有： 对于开有通槽的部分，必须用有效面积来计算正应力，故： 两者之间取一个较大者最为最大正应力。 五、已知 12 2 ,AA AA，弹性模量为 E，受轴力作用时整根杆件的伸长量l ，最大的伸长线应 变 max 。 解：整个杆的伸长量应为两段的伸长量之和： 对于同种材料制作的杆件， 由单向应力状态下的胡克定律可知， 线应变只与横截面上的正应力有关， 由于两段杆件的轴力相同，因此细的一段上的应力比粗的一段上的应力大，所示细的一段上的线应变比 对于粗的一段大，故 六、 杆件 ABCD 是用 EGPa 的铝合金制成，AC 段的横截面面积 Amm ，CD 段的横截面 面积 Amm ，受力如图所示。 解：）计算轴力 这个题目至少有以下几个关注点： 1胡克定律 N F l l EA 的使用要求在计算长度了的范围内其余三个量均为常数，像本题这样在整根杆件 m 的范围内轴力 FN是不同的，截面的尺寸也不同时，就必须分段来计算了，必须保证在每个计算 段内，这三个量均为常数，好在变形是可以分段累加的（代数和）。 2变形是指构件形状的改变，在这里当然就是指长度的变化；位移则是指位置的改变，二者既有联系 又有区别。变形只能针对构件来说，而不能针对截面一个点来说；位移则可以针对截面或一个点来说， 当然如果整根构件都没有变形，也可以说一个构件的位移，例如刚体的位移。 3线应变反映了变形的程度，它既跟受力的大小有关，又跟截面的尺寸有关，因此线应变也只能放在 一个受力和截面均相同的一个区段里面来计算，像本题这样的受力和截面有变化区段是不放在一起计算 线应变的。就一般意义来讲，当构件的受力和截面尺寸可以任意变化时，线应变就只能在无穷小的范围 内来计算了。 七、一混合屋架的受力如图所示，AC 和 BC 杆用钢筋混凝土制成，AE、EG 和 GB 均用Xmm 等边角钢 制成，已知屋架承受的均布载20 kN q m 。试求拉杆 AE 和 EG 横截面上的正应力。 【分析】如果将屋架承受的均布载荷改为如下图所示的形式，结果会不会发生什么变化呢？如果在下图 所示的形式的基础上，再将载荷作用的方向改为与屋面垂直，结果又如何呢？ 轴向拉伸和压缩作业（） 一、 试解答下列问题。 对轴向受拉的圆截面杆件，若直径的相对变形为，则对应的沿圆周方向的线应变 一直径为 d10mm 的圆截面受拉杆件，直径减小 0.0025 mm，如材料的弹性模量 E210GPa,横 向变形因数，则此时外加载荷 对一空心圆截面钢杆，外径 D12Omm，内径 d60mm，如受拉伸加载时产生的纵向应变为 ，并且材料的横向变形因数，则此时的壁厚 二、 图示水平放置的刚性杆与 1、2 杆相连，1、2 杆的 E=210GPa，横截面面积 A1=A2=100mm 2， 1.2,25lmm FkN。 （1） 则 C 点的铅垂位移 C 点的水平位移铅垂位移 若在结构上增加一相同材料的杆件 3，且 2 3 120Amm，此时 C 点的水平位移铅垂位移 解： (1）首先必须分析杆系的受力，由刚性杆 AB 的静力平衡有方程： 此时 3 杆虽不变形，但各杆间的变形要协调，因此变形图如图（d）所示，故 C 点的铅垂和水平位 移分别为： 注意：此时虽然杆系的位置与变形前有所不同，1、2 杆已不在铅垂位置，但由于发生的是都小变形 （与原长相比），因此平衡方程仍按变形前的位置列出。在求 C 点的水平位移时，角度仍取变形前的夹 角 45 0。 三、 图示析架杆件 1 和 2 用 Q235 钢制成， d1=20mm， d2=15mm， 170MPa。 试确定结构的许可载荷F。 2）求 F 的最大容许值 根据杆的强度要求可得杆的承载力： 综合考虑两根杆件的强度，结构的承载力由杆的强度控制，也即杆先于杆达到强度，并使整 个结构发生破坏。 故：FF2=58.0kN 【分析】这个题目中包含一个重要的工程和力学概念，就是随着载荷的增加，结构中的两根杆件并不是 同时达到强度的，因为从受力分析的结果可知，两根杆件的受力与载荷 F 的关系是由平衡条件唯一确定 的，载荷是按照（1）和（2）式所建立的关系分配给两根杆件的，又由于两根杆件的横截面面积也不同， 因此两根杆件表现出来的强度是不同的，其中的任意一根杆件破坏都将导致整个结构失去承载力，所以 结构的承载力只能根据强度低（横界面上正应力大）的一根杆件来确定。千万不可按(3）和（4）式求 出两根杆件所能承受的最大轴力之后，根据相关的角度合成来得到结构的最大许可载荷。 如果载荷 F 的作用方向是任意的，那么在这种情况下，结构的许可载荷F又该如何计算呢，请同 学们自己考虑一下。 四 、 图示结构中， BD 为刚性杆， AC 杆由 A3 钢制成， E=20OGPa， 直径 d=12mm。 已知0.5lmm，30， F=5kN。试求刚性杆 D 端的铅垂位移。 （2） 计算 AC 杆的变形 五、一结构受力如图所示，ED 为刚性杆，杆件 1 和 2 均由两根等边角钢组成。已知材料的容许应力 解：首先分析 AD 和 AB 杆的受力情况。由刚性杆 ED 的静力平衡有： 六、材料为 A3 钢的拉伸试件，直径 d=10mm，工作段长度100lmm。当试验机上载荷读数达到 F=10kN 时，量得工作段得伸长0.0607lmm ，直径的缩小为0.0017dmm 。已知材料得比例极限为 200 p MPa。试求材料的弹性模量 E 和横向变形系数v。 因210 p MPa，材料仍在线弹性范围内工作，可用胡克定律来计算材料的弹性模 E。 由题中的已知条件可得： 扭转作业（） 一、 解：正确答案为B。 用右手螺旋法则可以判断出该横截面上作用的扭矩是顺时针方向旋转的，因此切应力对圆心构成的 矩也应该是顺时针方向旋转的，所以选顶C和D肯定不对。 另外空心圆截面内径处的扭转切应力并不为零，它同样服从三角形的分布规律，整个空心圆截面上 切应力的分布规律仍然是圆心处为零，外圆周处达到最大，中间呈三角形的规律分布，只是由于内径以 内这块区域内没有材料，当然不可能产生切应力，但是内径到外径之间有材料的区域内切应力的分布规 律不变。 二、受力体内某点发生的变形如下图所示，虚线为变形前的位置，实线是变形后的位置，则下图正确示 切应变 的图是 。 解：正确答案为D。 A此图表示的该点只发生了刚体的转动，原来的方的，受力后仍然是方的，所以此图表示的切应变为 零。 B切应变是指直角的改变量，即受力前确定两条互相垂直的线段，受力后如果这两条线段的夹角发生 变化，那么这两条线段在直角范围内的改变量就是切应变，本选顶中原来的图形就不是两条互相垂直的 线段，因此图中所标的角度全部算作是切应变就不对了 C此图中的竖向线和水平线的位置都发生了变化，整个直角的变化量是。 三、实心圆轴的直径 d=100mm，长1lm，其两端所受外力偶矩14kN m，材料的切变模量 G=80GPa。 （1） （2） （3） （4） 解： 四、图示传动轴，转速 n=200r/min，转向如图所示，2 轮为主动轮，输入功率 P2=60kW，1、3、4、5 为 从动轮，输出功率分别为 1345 18;12;22;8PkW PkW PkW PkW。 （1）。 （3） （4）关于此传动轴的扭矩图下面的几种说法中正确是 。 A2、3 轮之间的扭矩图发生突变，3、4 轮之间的扭矩图是水平线 B2、3 轮之间的扭矩图是水平线，绝对值最大的扭矩发生在 3、4 轮之间的轴段上 C2、3 轮之间的扭矩图是水平线，绝对值最大的扭矩发生在 2、3 轮之间的轴段上 D2、3 轮之间的扭矩图是斜直线，3 轮所在截面上的扭矩图发生突变 （5）设想另外有一根传动轴，主动轮 1 的功率为 20kNm，两个从动轮 2 和 3 的功率依次为 12kNm 和 8kNm,则 3 个轮子在此传动轴上最佳的布置方案是 。 （2） 同理可求出其它轴段上的扭矩。 全轴的轴力图如下图所示。从扭矩图中可以看出 2、3 轮之间的扭矩图为水平线，绝对值最大的扭矩发 生在 2、3 轮之间的轴段上，大小为一 2.86 kNm。 另外传动轴上皮带轮位置应根据其功率的大小来进行分布，例如本题第 5 问中的三个皮带轮在传动 轴上最佳的布置方案是： 其特点就是将功率大的皮带轮（一般是主动轮）安排在中央，这样可以使传动轴上扭矩比较小，否 则将功率大的皮带轮安排在轴的两端，那么紧邻该轮的传动轴上就会出现较大的扭矩。 五、 （1） （2） （3） （4） ， 在上式中分母上的最大切应力时，有： 六、 虽然第 1 段比第 2 段的扭矩大，但是第 1 段比第 2 段粗，因此无法直接判断哪段杆件上的切应力更 大一些，所以只有把两段杆件内的最大切应力全部算出来，再比较。 七、图示圆杆，外力矩 C 7.2,2.99,4.21 AB MkN m MkN m MkN m。容许应力 70MPa，单位长 弯曲应力作业（1） 一、纯弯曲的 T 形截面铸铁梁，如图所示，其放置方式最合理的是 。 解：正确答案为A。 首先C和D的效果肯定是一样的，他们与A和B相比，C和D获得的惯性矩比 A和B所能获得惯性矩小，因为C和D的材料大量集中的中性轴的附近，这部分材料对惯性 矩的贡献较小，所以C和D不是最合理的。 就A和B来比较，由于梁受到的是正弯矩的作用，此时梁的下部受拉，上部受压，考虑到铸铁 材料抗压性能远远优于其抗拉性能，因此梁的放置方案应尽量使梁的下部产生的较小拉应力，为此就必 须中性轴的位置篇向梁的下部，那么只有A能够获得这种效果。 二、 解：1正确答案为B 首先不论材料的拉压弹性模量是否相等，梁在发生弯曲变形时，平截面假定仍然成立，即变形前位 于同一个横截面上的点，变形后仍然保持在同一个横截面上，只是该截面在变形时绕中性轴转过了一个 微小的角度，从立面图上看就是原来处于垂直位置上的截面发生了倾斜。 选项D中描述的变形情况是，截面发生折断，与平截面假设和实际情况不符。 其次就要考虑受拉和受压区的大小问题。由于材料的拉压弹性模量不同，中性轴位 置的确定就不再遵循“为截面的形，白轴”的规律，对于矩形截面就意味着中性轴就 不再位于二分之一高度的位置上，因为中性划分出了受拉区和受压区，其大小必须保 证受拉区中拉应力的合力与受压区压应力的合力相等。由于材料的 ta EE，则由 E可知，同样大小的线应变产生的拉应力要比压应力大，因此受拉区必须比受压 区小，才能使拉压应力的总和相互抵消，如左图所示。故A和C均不对。 2正确答案为C。 参照上一个问题的解释， 不难判断中性轴肯定不在二分之一高度的位置上， 故选项 A 和选顶 B 肯定不对，由于受压区应比受拉区大，即中性轴应该偏下，故选顶D也不正确。 （3） （6） （7） 三、 （1） （1） （2） （4） （5） 解：当移动载荷作用在 A 点时，在梁的 B 截面上产生最大的负弯矩，如图（2）所示，最大负弯矩的绝 对值： 四、一铸铁梁受到两个集中力 P 作用如图所示，已知横截面对中性轴的惯性矩 44 10453 10 z Imm，铸 铁的容许拉应力30 l MPa，允许压应力90 a MPa。试求梁的容许荷载F之值。 2）计算应力 C、D 截面上应力最大，由于材料的拉压强度不同，截面上下不对称，因此两个截面均需校核，而不 能仅对弯矩绝对值最大的 D 截面进行校核。 C 截面只需校核下表面的强度，由于该截面的弯矩小、上表面的距离也短，故上表面不会起控制作 用。 上式中的 10 6是将弯矩的单位由 kN m化为N mm时产生的，这地方要特别小心。 D 截面上下表面的应力均需校核。 上表面有最大的拉应力： 上式中的 10 6是将弯矩的单位由 kN m化为N mm时产生的，这地方要特别小心。 下表面有最大的拉应力： 五、 矩形截面简支梁跨中受到集中力作用， 测得梁的 1/4 跨、 中性轴以下 h/4 的 D 处的纵向线应变为， 已知材料的弹性模量为 E，求集中力 F 的值。 弯曲应力作业（2） 一、 （1） （2） 若梁的横截面为直径为 d （中面直径） 、 厚度为 t 的薄壁圆环， 则横截面上的最大切应力 max = 。 （3） 二、试回答以下问题。 （1） 矩形截面梁其截面受负弯矩作用， 该横截面上的弯曲正应力在梁高度方向上的变化规律为 。 （2）矩形横截面梁截面上的弯曲切应力在梁高度方向上的变化规律为 。 （3） （4）T 形截面梁横截面上有竖直方向的剪力作用，则横截面上弯曲切应力的分布规律为 。 （5）T 形截面梁横截面上有竖直向上的剪力作用，则横截面上弯曲切应力的分布规律为 。 解： 1正确答案为B。 弯曲正应力沿梁高方向呈三角形分布，中性轴处为零，上下边缘达到最大，故C肯定不对；又 由于截面上作用的负弯矩，故中性轴以上部分受拉，中性轴以下部分受压。 2正确答案为C。 矩形截面梁横截面上的弯曲切应力沿梁高方向呈抛物线规律分布， 中性轴处最大， 上下表面处为零， 这一点正好与弯曲正应力相反。其它大多数截面，如 T 形和工字形截面梁横截面上的最大弯曲切应力也 都发生在中性轴处。 3正确答案为c。 薄壁圆环截面上的弯曲切应力的分布呈以下几个特点： 1）沿壁厚方向近似为均匀分布； 2）方向与周边相切； 3）横截面上的剪力为竖直方向时，竖向对称轴两侧的切应力左右对称； 4）最大值发生在中性轴处，且上下与竖向对称轴重合的部分切应力为零。 4正确答案为A。 腹板上的切应力沿高度方向呈抛物线的规律分布，中性轴处达到最大，下边缘为零，但应注意顶板 与腹板的交界处的切应力不为零。另外顶板上的有水平切应力的作用，大小呈三角形规律变化，靠近腹 板处达到最大，从到顶板的悬臂边缘衰减为零。 5正确答案为C。 首先根据横截面上剪力的方向确定顺着剪力方位上的切应力的方向，由于本题横截面上的剪力是向上的， 因此腹板上切应力的方向就是向上的，故A和B肯定不对。然后再来确定顶板上与剪力方向垂直方 位上的切应力。由于弯曲切应力要在横截面上形成一种切应力流，因此，切应力顺着腹板从下面流到顶 板和腹板的交界处后应该向左右两侧分开。 三、槽型截面如图所示，受到竖直向下剪力的作用，试回答下面问题。图中尺寸单位为：mm。 （1）腹板上 a 点的切应力方向为 。 A竖直向上。 B竖直向下。 C水平向左。 D水平向右。 （2） （3） （4） 解：像槽型、工字型和 T 型等薄壁截面，弯曲剪力引起的切应力主要都是沿着薄壁狭长的方向，而壁厚 方向上的切应力可以略去不计。 1正确答案为B。 A 点位于截面的腹板部分，腹板上的切应力主要是顺着腹板方向的，而顺着剪力方向上的切应力方 向与剪力的方向相同，因此是竖直向下的。 2正确答案为B。 求 a 点处的切应加寸要用到的静矩可以有多种算法，比如可以求单根腹板（140mm 高，不包括顶板 和腹板交界处的那个小的正方形区域）对中性轴的面积矩，此时计算切应力公式分母上 b 应该用 10mm。 也可以求整块顶板（宽为 200mm）对中性轴的面积矩，因为这个静矩与下面的两块腹板对中性轴的 静矩是相同的，因此此时计算切应力公式分母上 b 应该用 20mm，即两块腹板的厚度。 还可以求整块顶板（宽为 200mm）和一块腹板对中性轴的面积矩之和，这个静矩与第一种方法求得 的静矩大小相等，但符号相反，因为这种方法取静矩的面积与第一种方法取静矩的面积加起来就是整个 槽型截面的面积，而整个槽型截面对中性轴的静矩等于 O。 所以选项中只有B的算法是错误的。 3正确答案为D。 b 点位于截面的腹顶板部分，顶板上的切应力主要是顺着顶板方向的，顶板上的切应力与剪力方向 垂直，因此顶板上切应力的方向就要根据“应力流”的概念来确定了，由于腹板上的切应力向下流，由 此可知顶板上的切应力就必须从中间向两侧流，因此 b 点切应力的方向应该是水平向右的。 4正确答案为A。 求 b 点处的切应力时要用到的静矩也可以有多种算法，比如可以求单根腹板（150mm 高，包括顶板 和腹板交界处的那个小的正方形区域）对中性轴的面积矩。 也可以求顶板上从，轴到 b 点之间的面积（宽为 90mm）对中性轴的静矩，因为这块面积与第一种算 法中用到的面加起来就是右半个槽型截面，由于槽型截面是左右对称的，所以半个槽型截面对中性轴的 静矩为 0，因此这种算法得到的静矩与第一种方法得到的静矩大小相等，只是符号相反。 还可以求顶板（宽为 190mm，不包括点以右的部分）和左腹板对中性轴的面积矩之和，这个静矩与 第一种方法求得的静矩大小相等，但符号相反，因为这种方法取静矩的面积与第一种方法取静矩的面积 加起来就是整个槽型截面的面积，而整个槽型截面对中性轴的静矩等于 0。 所以选项中只有A的算法是错误的。 四、图示矩形截面悬臂梁是用三块木板胶合而成的，在自由端作用有集中力 F，已知材料为红松，其弯 曲容许正应力 10MPa，容许切应力 1.1MPa；胶合缝的容许切应力 1 0.35MPa，试求该梁的 容许载荷F。 注意：上式中的 10 6是将弯矩的单位由 kN m化为N mm时产生的，这地方要特别小心。 注意：上式中的 10 6是将弯矩的单位由 kN m化为N mm时产生的，这地方要特别小心。 梁弯曲时的位移作业（1） 一、 解：正确答案为D。 由梁的挠曲线近似微分方程( )EIvM x 可知： 1）弯矩的正负决定了挠曲函数的凹凸方向，在图示坐标系下，正弯矩区段的挠曲函数应该是向下 凸的，负弯矩区段的挠曲函数应该是向上凸的； 2）在弯矩为零的区段，挠曲函数为直线，即此梁段不发生弯曲变形；相反，在弯矩不为零的区段， 挠曲函数必定为曲线； 3）挠曲函数在弯矩为零的截面处出现反弯点。 对照上述规律： A和B：此梁同时有正负弯矩区，故其挠曲函数不应该是同一种凹凸方向，又由于梁上有弯矩 为零的截面，故挠曲函数还应该存在反弯点； C：此梁的挠曲线不应该存在直线段，因为对应区段的弯距并不为零。 二、 已知梁的抗弯刚度为 EI， 受力后的挠曲线函数为 432 434yxxx， 则该梁的弯矩方程 M(x)= 。 作用在梁上的均布载荷的集度为 q= 。 三、 （1） （2） 四、利用积分法计算图示梁的挠曲线函数。 （1） （2）对所有梁段的挠曲线微分方程积分后，总共产生 个积分常数，因此需要寻找 位移条件。 （3）。 （4） （5） 解：本题所示的梁可以看成是悬臂梁 ABC 与外伸梁 CDEG 组成的，只是这里的外伸梁的其中一个铰支座 架在了悬臂梁的自由端。 用积分法求梁的挠曲线时要分成 AB、BC、CD、DE 和 EG 五段，分五段来写弯矩方程，当然也得分五 段来设挠曲函数。 求解每段挠曲线的微分方程时都要积分两次，因此总共得到 l0 个积分常数，因此就必须寻找 l0 个 位移条件来确定这 10 个积分常数。其中 B 和 D 两个截面处梁都是连续的，因此在这两个截面处都有位 移连续条件： C 截面有一个中间铰，此处只有挠度相等的连续条件，转角并不相等，即： E 截面有一个半铰，此处的梁是连续的，而没有断开，但是由于梁与支座相连，所以左右梁段的挠 曲函数到这个截面都必须为 O，但是转角并不为 O，而只是相等，因此此处的位移条件应该有三个： 五、 解：在已知的弯曲变形计算公式中只有计算悬臂梁自由端位移的公式，而没有计算悬臂梁中间截面的公 式，因此必须通过等效变换将原来的问题变成已有公式所适用的图式。为此只有 将 CB 段切掉，使 C 截面变成自由端，这样才能运用已有公式。但是在切掉 CB 段 的同时，必须注意要将原来作用在 CB 段上的载荷简化到切口 C 截面上，如下图所 示。 简化到切口 C 截面上的载荷其实也就是在切断之前 C 截面上的内力。 完成上述变换后，原来需要在 ACB 梁上来计算的 C 截面的挠度就可以改到在左图所示的悬臂梁上来 求 C 截面的挠度了。因此有： 注意：计算 C 截面的各项变形时，计算长度应为/2l。 六、 截面的几何性质作业（1） 一、 解： 有两种解法， 一种是采用如下图所示的方法， 将扇形 OBC 沿 OC 边截下， 并将其补到 OAD 处，将该处缺少的一快扇形补全，这样得到图形仍然是一 个半圆形。由于在原来位置上扇形对 x 轴的惯性矩与在新的位置上扇形对 x 轴的惯性矩相等，故有： 二、梯形截面，尺寸如图所示，单位为 mm。 （1） （2） （3） （4） （5） 三、试回答下面的问题。 （1） （2） （3） （4） 解：1正确答案为D。 当 x 或 y 轴当中有一根轴为截面的对称轴时，0 xy I A截面有对称轴时，形心一定落在对称轴上，而且截面对此对称轴的静矩为零，但不能笼统地说 截面的静矩为零，因为截面对其它轴的静矩不为零。 B从极惯性矩的定义式可知，极惯性矩是指面积与到矩心距离的平方的乘积，其值恒为正，不可 能为零。 C从惯性矩的定义式可知，J 赓性矩是指面积与到取矩的轴的距离平方的乘积，其值恒为正，不可 能为零。 2正确答案为A。 过形心的轴都是形心轴，形心轴不见得是主轴，所以对两根互相垂直的形心轴的 J 赓性积不见得为 零，所以A是错误的。 B惯性积涉及到两根轴，这两根轴中只要有一根是对称轴，那么截面对包含这根对称轴在内两根 互相垂直的对称轴的惯性积一定为零，因此，本选项是正确的。 C什么是主轴？主轴就是指惯性积为零的两根轴，因此，截面对两根互相垂直的主轴的惯性积一 定为零，故本选顶是正确的。 D正方形的任意一根形心轴都是主轴，因此，正方形截面对任意两根互相垂直形心轴的惯性积一 定为零，故本选项是正确的。 3正确。 由平移公式可知，在一组平行的轴系中，截面对形心轴的惯性矩是最小的，因此不管是哪个方向， 截面都是对该方向上的形心轴的惯性矩是最小的，因此接下来只需要对过形心的不同方向轴的惯性矩进 行比较即可；由于过同一点的不同方向的坐标轴中，截面对主轴的主矩一个是其中的极小值，另一个是 极大值，由此可以肯定，较小的形心主矩是所有惯性矩中的最小值，但同时要注意较大的形心主矩并不 是所有惯性矩中的最大值。 4错误。 分析见第 3 题。 四、 注意：在计算半圆的惯性矩时，且不可直接将半圆对直径边的，惯性矩直接通过平移公式，计算对 z 轴惯性矩，而应首先求出半圆对过自身形心的轴的惯性矩，然后再向 z 轴平移。 简单的超静定问题作业（1） 一、 （1） （2） （3），那么几 何方程为 。 （4） 解：该结构是一个一次超静定的结构，求解超静定结构的关键在于正确的列写平衡方程和几何方程，然 后将几何方程转换为补充方程。根据超静定的成因不同，列平衡方程和几何方程的思路和方法也不同， 要注意掌握其中的规律。 对于有刚性构件的结构，一般都是取刚性构件为隔离体，对刚性构件列平衡方程，因此有： 对于有刚性构件的结构，几何方程应根据“变形协调”的思路去思考，即寻找由刚性构件确定出来 的变形规律。就本题而言，由对称性可知，结构受力后刚性梁将向下平动，因此可以得出几何方程为： 当然有的同学会说，我能否把当成几何方程来列呢，虽然说这个条件也是结构变形和位移 必须满足的条件，但是由于你已经利用了对称性，将此问题确定为一次超静定的结构，其实就已经利用 了： 所以，此时再将当做几何方程来列，就没有用了。 最后，如何三根杆件不仅材料和横截面面积相同，长度也相同，那么可以根据他们的变形量相等， 推论出他们轴力也相等，但由于此结构中和其他两根杆件的长度不同，所以变形相同的情况下，车由 力并不相等，而因为： 二、 （1） （2） （3） 三、图示超静定结构， （1） 、 （2）两杆的拉压刚度均为 EA，AB 轴的直径为 d，材料切变模量为 G。 （1）若1 、2 杆的变形量为l，AB 轴上 B 截面的扭转角为，则解此超静定结构所需要的几何方程 为 。 （2） （3） 解：这是一个一次超静定的问题。 可以将两根杆件与圆轴的连接处解开， 圆轴受到外力矩作用后发生扭转变形， 端面 B 发生如图 （2） 所示的转动，同时两根杆件受拉，发生伸长的变形。由图 （2）所示的变形可以列出几何方程： 四 、图示为一两端固定的阶梯关圆轴，AC 段的极惯性矩为 1p I，CB 段的极惯性矩为 2p I。若在 C 截面作 用一集中力偶 M，试求 B 截面的反力偶矩 B M。 解：这是一个超静定结构，从归类来讲属于由多余支座引起的超静定，因此一般是解除多余的约束，例 如解除 B 截面的支座，并以其反力矩 B M来代替，如下图所示： 其实，这个问题的解法与一个阶梯状的拉压两端固定的 情况是类似的，只不过内力由轴力变成扭矩，变形由伸缩量 变成了扭转角。按照由多余支座引起的超静定问题的解法可 知，这个间题的几何方程为被解除约束的支座截面的变形为 零，即： 接下来的任务是要利用扭转胡克定律，将上述几何方程转换成补充方程，也即要求出上式中阶梯状 圆轴在外力偶和反力矩的共同作用下 B 截面的转角： 五、图示钢杆 CD 和 EF 的长度和横截面面积分别相同。结构示受力时，刚性杆 AB 位于水平位置。已知 3 73 10FN，每根钢杆的横截面面积 2 1351Amm，试求两杆的轴力和横截面上的正应力。 解：该问题属于一次超静定问题。 六 、两端固定的阶梯关钢杆，粗细两段的横截面面积分别为 2 1 600Amm， 2 2 300Amm， 1 43FkN， 2 21FkN，材料的弹性模量 E=210GPa。试求 AD、DC 和 CB 段轴力 1N F、 2N F和 3N F。 （要求：解除右端的固 定支座，并以支座反力 B F为基本未知数。） 应力状态和强度理论作业（1） 一、对于一点的应力状态，有。 A最大正应力作用面上的切应力为零 B最大切应力作用面上的正应力为零 C两个斜截面上切应力大小相等、符号相反，则这两个斜截面互相垂直 D两个互相垂直的斜截面上的正应力之和为定值 解：正确答案为【A】 最大正应力肯定是主应力，而主应力就是指作用在主平面上的正应力，主平面就是切应力为零的斜 截面，所以最大正应力作用面上的切应力一定为零。 B在三向应力圆中，由第一和第三主应力构成的、最大的那个应力圆圆周的最高点代表的就是最 大切应力作用截面，由于应力圆在水平方向上的位置可以是任意的，所以一般情况下这个最大切应力作 用截面上的正应力（横坐标）不会为零的，除非大圆的圆心正好于坐标原点 重合。 C根据切应力互等定理， 两个互相垂直的斜截面上的切应力大小相等， 符号相反，但是反过来说并不成立，如下图所示，位于虚线与应力圆圆周上 下两个交点处的截面上，切应力大小相等，符号相反，但是 a.b 代表的两个 斜截面并不垂直。 D两个互相垂直的斜截面上的正应力之和为定值的关系非常有用， 但是 这个特殊关系的成立是有条件的，那就是这两个斜截面必须位于同一个应力 圆的圆周上，因为此时这两个互相垂直的斜截面正好位于这个应力圆的某一 根直径的两个端点上，其正应力之和正好是该应力圆圆心坐标的两倍，所以 是定值。但是，两个互相垂直的斜截面不在同一个应力圆的圆周上，例如下 图中的主单元体，那么就没有正应力之和为定值关系，例如： 因为第一主平面和第二主平面在一个应力圆的圆周上，而第三主平面则在另外的一个应力圆的圆周 上，所以就没有正应力之和为定值关系了。 二 、受力体内一点的应力状态如图所示，应力单位为 MPa。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解：利用公式法求斜截面上的应力时要注意各个应力分量和斜截面的符号。 x 是指起始截面，即0 截面上的切应力，在图示应力状态中，一般也就是将单元体的右侧面作 为起始南，因此本题中的 x 是负的。另外，倾角是相对于起始面定义的，图中标出的 60 0 是相对于水 平截面的，